第04講-建立空間直角坐標系和確定點坐標的方法(知識解讀+真題演練+課后鞏固)(原卷版)

第04講空間向量及其運算的坐標表示1．了解空間直角坐標系，能在空間直角坐標系中寫出所給定點、向量的坐標．2．掌握空間兩點間距離公式.3．會用向量的坐標解決一些簡單的幾何問題．1空間向量的直角坐標系(1)空間直角坐標系中的坐標在空間直角坐標系O?xyz中，對空間任一點A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標系中的坐標，記作(2)空間向量的直角坐標運算律①若a=(a1則a+b=λaa?aa⊥②若Ax1,③模長公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中⑤兩點間的距離公式若A(則|或d2建立直角坐標系的方法(1)利用共頂點的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標系(2)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標系(3)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標系3確定空間直角坐標系中點坐標的方法求點的坐標和設(shè)點坐標的方法是一致的，常見方法具體如下(1)射影法看所求點分別在x,y,z軸的投影對應(yīng)的數(shù)值.如求點P橫坐標x，過點P作PP1⊥平面xoy，再過點P1作P1或直接構(gòu)造長方體OP，即求出線段P1P3(2)公式法對中點、n等分點、重心等點可用公式求解；若點Ax則線段AB的中點坐標(x1+x2點P在線段AB上且AP=λPB，則P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直關(guān)系求某向量的坐標，再求點坐標；(ii)利用三角形法則或平行四邊形法則，求出某向量的坐標，再求點坐標；(iii)三點共線問題：如若點Ax1,y1,z1,Bx2(4)幾何法：把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，常見于利用相似三角形的性質(zhì).(5)待定系數(shù)法：設(shè)點P(x,y,z)，利用已知條件求出x,y,z.(6)函數(shù)法：常用于設(shè)動點坐標；動點P(a,b,c)在定直線AB上，把AB投影到空間坐標系中某個平面，如投影平面xoy，得到投影直線A'B'方程，從而達到動點P投影P'(a,b)中a,b的關(guān)系.以上的方法其實也是相通的，也還存在其他一些靈活的處理方法(比如平移法等)，都需要理解再靈活運用.【題型1建立直角坐標系的方法】利用共頂點的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標系【典題1】如圖，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB=4利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標系【典題2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標系【典題3】如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．【點撥】①同一道題目中建系的方法不是唯一，是優(yōu)是劣取決于關(guān)鍵點的坐標是否好求；②建系最根本的想法是找到兩兩垂直的三線，多關(guān)注題中有垂直關(guān)系的量，(1)垂直關(guān)系：長方體模型、等腰三角形的三線合一、菱形對角線相互垂直等；(2)若有線面垂直，則可考慮該面為平面xOy、xOz、yOz之一；(3)若有面面垂直，則可考慮兩面為平面xOy、xOz、yOz其中兩個.③若是分別以O(shè)A、OB、OC所所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則要先證明OA、OB、OC三線兩兩垂直，需要嚴謹些，不能想當然.鞏固練習(xí)1.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，2.如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，如何建立空間直角坐標系呢？3.如圖，三棱錐V－ABC的側(cè)棱長都相等，底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如何建立空間直角坐標系呢？【題型2確定空間直角坐標系中點坐標的方法】情況1求點的坐標【典題1】在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面體高為23，頂點D(1)A(2)G；(3)B；(4)若N為DD1上點，且ON⊥DD【點撥】(1)射影法：看所求點分別在x,y,z軸的投影對應(yīng)的數(shù)值；一般地，點在平面xOy、xOz、yOz或易得點在x、y、z軸的投影均適合射影法；②公式法：對中點、n等分點、重心等點可用公式求解；③向量法：常用于涉及到平行、垂直、共線等向量關(guān)系中的點.各方法之間也是相通的，需要理解再靈活運用.【典題2】如圖，矩形ABCD中，2BC=CD，E為CD的中點，以BE為折痕把四邊形ABED折起，使A達到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F(xiàn)分別為PB，BC，EC的中點．建系求點P的坐標.情況2設(shè)點坐標【典題3】長方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中點(圖1)，將?ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(圖2)在圖2中(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在線段BD上是否存點E，使得二面角E?AM?D的余弦值為55【點撥】①本題在處理“點E在線段BD上”這一條件時，想設(shè)點Ea,b,c找到a,b,c的關(guān)系，介紹了向量法和函數(shù)法，而向量法引入變量λ表示a,b,c，而函數(shù)法變量是a，用其表示b,c②有時也可用幾何法相似求解，比如在方法2中求E(a,b,c)中b、c的關(guān)系，如下圖，過點D''、E分別作D''H⊥x軸，由?D''HB''~?EGB''得D''鞏固練習(xí)1(★★)一張平行四邊形的硬紙ABC0D中，AD=BD=1，AB=2.沿它的對角線BD折起，使點C0【答案】，如圖建系，則C122(★★)四棱錐S?ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.建系求點S的坐標.【答案】，如圖建系，則S(1,123(★★)在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，F(xiàn)在PB上，若EF⊥PB于點F，試求點F的坐標.一、單選題1．（2022·山西·校聯(lián)考二模）已知，，且，則的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題3．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國近代數(shù)學(xué)家蘇步青主要從事微分幾何學(xué)和計算幾何學(xué)等方面的研究，在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對于空間中的點P（x，y，z），若其坐標滿足關(guān)于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱點P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點K（1，k，0）是四次曲面：上的一點，則k＝___．4．（2022·上海楊浦·上海市控江中學(xué)?？既＃┰O(shè)正四面體在空間直角坐標系中點的坐標為，集合{y|存在，使得}，則集合A的元素個數(shù)可能為__________種.（寫出所有可能的值）5．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？既＃┮阎?，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為________．6．（2021·上海靜安·統(tǒng)考二模）如下圖，以長方體的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為_________.7．（2022·上海·統(tǒng)考二模）已知點，，C為線段AB的中點，則向量的坐標為______．一、單選題1．（2022秋·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱點的坐標為（

）A． B．C． D．2．（2022·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標系中，若軸上點到兩點，的距離相等，則點的坐標為（

）3．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2019秋·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）設(shè)是邊長為的正方體，與相交于點，則有A． B．C． D．5．（2018·高三單元測試）已知，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)6．（2018·高二課時練習(xí)）在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1和BD1相交于點O,則有()A．=2a2 B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2 D．=a2二、多選題7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系，則下列空間點及向量坐標表示正確的是（

）A． B．C． D．8．（2021·高二課時練習(xí)）（多選）正方體的棱長為2，M為的中點，下列命題中正確的是（

）A．與成60°角B．若，面交于點E，則C．P點在正方形邊界及內(nèi)部運動，且，則P點的軌跡長等于D．E，F(xiàn)分別在上，且，直線與，所成角分別是，，則三、填空題9．（2012春·浙江寧波·高二統(tǒng)考期中）已知，，設(shè)在線段上的一點滿足，則向量的坐標為________．10．（2023秋·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）如下圖，以長方體的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為_________.11．（2017·高一課時練習(xí)）已知點關(guān)于坐標平面的對稱點為，點關(guān)于坐標平面的對稱點為，點關(guān)于軸的對稱點為，則點的坐標為________．12．（2021·高二課時練習(xí)）已知，，，，點在直線上運動，當取最小值時，點的坐標是______四、解答題13．（2021·高二課時練習(xí)）已知，，．求：（1）；

（2）．14．（2020秋·上海楊