第04講-建立空間直角坐標(biāo)系和確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法(知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固)(原卷版)

第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1．了解空間直角坐標(biāo)系，能在空間直角坐標(biāo)系中寫出所給定點(diǎn)、向量的坐標(biāo)．2．掌握空間兩點(diǎn)間距離公式.3．會(huì)用向量的坐標(biāo)解決一些簡單的幾何問題．1空間向量的直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作(2)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律①若a=(a1則a+b=λaa?aa⊥②若Ax1,③模長公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中⑤兩點(diǎn)間的距離公式若A(則|或d2建立直角坐標(biāo)系的方法(1)利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系(2)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系(3)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系3確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法求點(diǎn)的坐標(biāo)和設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法是一致的，常見方法具體如下(1)射影法看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對(duì)應(yīng)的數(shù)值.如求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x，過點(diǎn)P作PP1⊥平面xoy，再過點(diǎn)P1作P1或直接構(gòu)造長方體OP，即求出線段P1P3(2)公式法對(duì)中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；若點(diǎn)Ax則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(x1+x2點(diǎn)P在線段AB上且AP=λPB，則P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直關(guān)系求某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(ii)利用三角形法則或平行四邊形法則，求出某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(iii)三點(diǎn)共線問題：如若點(diǎn)Ax1,y1,z1,Bx2(4)幾何法：把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，常見于利用相似三角形的性質(zhì).(5)待定系數(shù)法：設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)，利用已知條件求出x,y,z.(6)函數(shù)法：常用于設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；動(dòng)點(diǎn)P(a,b,c)在定直線AB上，把AB投影到空間坐標(biāo)系中某個(gè)平面，如投影平面xoy，得到投影直線A'B'方程，從而達(dá)到動(dòng)點(diǎn)P投影P'(a,b)中a,b的關(guān)系.以上的方法其實(shí)也是相通的，也還存在其他一些靈活的處理方法(比如平移法等)，都需要理解再靈活運(yùn)用.【題型1建立直角坐標(biāo)系的方法】利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題1】如圖，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB=4利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題3】如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．【點(diǎn)撥】①同一道題目中建系的方法不是唯一，是優(yōu)是劣取決于關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是否好求；②建系最根本的想法是找到兩兩垂直的三線，多關(guān)注題中有垂直關(guān)系的量，(1)垂直關(guān)系：長方體模型、等腰三角形的三線合一、菱形對(duì)角線相互垂直等；(2)若有線面垂直，則可考慮該面為平面xOy、xOz、yOz之一；(3)若有面面垂直，則可考慮兩面為平面xOy、xOz、yOz其中兩個(gè).③若是分別以O(shè)A、OB、OC所所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則要先證明OA、OB、OC三線兩兩垂直，需要嚴(yán)謹(jǐn)些，不能想當(dāng)然.鞏固練習(xí)1.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，2.如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？3.如圖，三棱錐V－ABC的側(cè)棱長都相等，底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？【題型2確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法】情況1求點(diǎn)的坐標(biāo)【典題1】在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面體高為23，頂點(diǎn)D(1)A(2)G；(3)B；(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD【點(diǎn)撥】(1)射影法：看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對(duì)應(yīng)的數(shù)值；一般地，點(diǎn)在平面xOy、xOz、yOz或易得點(diǎn)在x、y、z軸的投影均適合射影法；②公式法：對(duì)中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；③向量法：常用于涉及到平行、垂直、共線等向量關(guān)系中的點(diǎn).各方法之間也是相通的，需要理解再靈活運(yùn)用.【典題2】如圖，矩形ABCD中，2BC=CD，E為CD的中點(diǎn)，以BE為折痕把四邊形ABED折起，使A達(dá)到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F(xiàn)分別為PB，BC，EC的中點(diǎn)．建系求點(diǎn)P的坐標(biāo).情況2設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)【典題3】長方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中點(diǎn)(圖1)，將?ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(圖2)在圖2中(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在線段BD上是否存點(diǎn)E，使得二面角E?AM?D的余弦值為55【點(diǎn)撥】①本題在處理“點(diǎn)E在線段BD上”這一條件時(shí)，想設(shè)點(diǎn)Ea,b,c找到a,b,c的關(guān)系，介紹了向量法和函數(shù)法，而向量法引入變量λ表示a,b,c，而函數(shù)法變量是a，用其表示b,c②有時(shí)也可用幾何法相似求解，比如在方法2中求E(a,b,c)中b、c的關(guān)系，如下圖，過點(diǎn)D''、E分別作D''H⊥x軸，由?D''HB''~?EGB''得D''鞏固練習(xí)1(★★)一張平行四邊形的硬紙ABC0D中，AD=BD=1，AB=2.沿它的對(duì)角線BD折起，使點(diǎn)C0【答案】，如圖建系，則C122(★★)四棱錐S?ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.建系求點(diǎn)S的坐標(biāo).【答案】，如圖建系，則S(1,123(★★)在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)在PB上，若EF⊥PB于點(diǎn)F，試求點(diǎn)F的坐標(biāo).一、單選題1．（2022·山西·校聯(lián)考二模）已知，，且，則的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正六棱柱的底面邊長為1，是正六棱柱內(nèi)（不含表面）的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題3．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國近代數(shù)學(xué)家蘇步青主要從事微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)等方面的研究，在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對(duì)于空間中的點(diǎn)P（x，y，z），若其坐標(biāo)滿足關(guān)于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱點(diǎn)P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點(diǎn)K（1，k，0）是四次曲面：上的一點(diǎn)，則k＝___．4．（2022·上海楊浦·上海市控江中學(xué)?？既＃┰O(shè)正四面體在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)為，集合{y|存在，使得}，則集合A的元素個(gè)數(shù)可能為__________種.（寫出所有可能的值）5．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？既＃┮阎强臻g兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為________．6．（2021·上海靜安·統(tǒng)考二模）如下圖，以長方體的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為_________.7．（2022·上海·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，，C為線段AB的中點(diǎn)，則向量的坐標(biāo)為______．一、單選題1．（2022秋·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若軸上點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）3．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2019秋·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）設(shè)是邊長為的正方體，與相交于點(diǎn)，則有A． B．C． D．5．（2018·高三單元測試）已知，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)6．（2018·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1和BD1相交于點(diǎn)O,則有()A．=2a2 B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2 D．=a2二、多選題7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（

）A． B．C． D．8．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）正方體的棱長為2，M為的中點(diǎn)，下列命題中正確的是（

）A．與成60°角B．若，面交于點(diǎn)E，則C．P點(diǎn)在正方形邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且，則P點(diǎn)的軌跡長等于D．E，F(xiàn)分別在上，且，直線與，所成角分別是，，則三、填空題9．（2012春·浙江寧波·高二統(tǒng)考期中）已知，，設(shè)在線段上的一點(diǎn)滿足，則向量的坐標(biāo)為________．10．（2023秋·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）如下圖，以長方體的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為_________.11．（2017·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．12．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______四、解答題13．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，．求：（1）；

（2）．14．（2020秋·上海楊