回歸直線方程-最小二乘法講解學(xué)習(xí)

問題:在一次對人體脂肪含量與年齡關(guān)系的研究中，

研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6散點圖回歸直線回歸直線概念：散點圖中心的分布從整體上看大致是一條直線附近，該直線稱為回歸直線求出回歸直線的方程我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量之間的相關(guān)性由此可以預(yù)測相應(yīng)年齡段的脂肪含量那我們又該如何具體求這個回歸方程呢？

上面三種方法都有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強.

回歸直線與散點圖中各點的位置用數(shù)學(xué)的方法來刻畫應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？方法匯總1.畫一條直線2.測量出各點與它的距離3.移動直線，到達某一位置使距離的和最小，測量出此時直線的斜率與截距，得到回歸方程。1.選取兩點作直線ps：使直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。1.在散點圖中多取幾組點，確定出幾條直線的方程2.分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù)3.將這兩個平均數(shù)當成回歸方程的斜率與截距。最小二乘法法一法四法二法三求回歸方程的關(guān)鍵

——如何使用數(shù)學(xué)方法來刻畫“從整體上看，各點到此直線的距離最小”。假設(shè)兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),......(xn,yn)下面討論如何表達這些點與一條直線y=bx+a之間的距離。最小二乘法的公式的探索過程如下：1.設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）2.設(shè)所求的回歸直線方程為Y=bx+a，其中a，b是待定的系數(shù)。當變量x取x1，x2，…，xn時，可以得到

Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）3.它與實際收集得到的yi之間偏差是

yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yi-Yiy

x這樣，用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的。

因此用表示各點到直線y=bx+a的“整體距離”

(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)yi-(bxi+a)(x1,y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)

由于絕對值使得計算不方便，在實際應(yīng)用中人們更喜歡用(x1,y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)這樣，問題就歸結(jié)為：當a，b取什么值時Q最?。考袋c到直線的“整體距離”最小.這樣通過求此式的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)，a，b的值由下列公式給出Σ（yi-Yi）的最小值ni=1Σ|yi-Yi|的最小值ni=1Σ（yi-Yi）2的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2當a，b取什么值時，Q的值最小，即總體偏差最小13求線性回歸方程的步驟：(1)求平均數(shù)；(2)計算與yi的乘積,再求；(3)計算；(4)將上述有關(guān)結(jié)果代入公式，寫出回歸

直線方程.xi年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)最小二乘法公式，利用計算機可以求出其回歸直線方程散點圖回歸直線思考：將表中的年齡作為x代入回歸方程，看看得出的數(shù)值與真實數(shù)值之間的關(guān)系，從中你體會到了什么？

x=27時，y=15.099%x=37時，y=20.901%可利用回歸方程預(yù)測不同年齡段的體內(nèi)脂肪含量的百分比。存在樣本點不在直線上年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6（2012山東臨沂二模，20,12）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所有支出的維修費用y（萬元），有如下表的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）線性回歸直線方程（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？y=1.23x+0.08；y=12.38

回歸直線方程特點存在樣本點不在