中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題11 手拉手模型（原卷版）

題型十一手拉手模型【要點(diǎn)提煉】全等型手拉手模型【識別手拉手模型】下面的圖像均為手拉手模型題目中的圖像，同學(xué)們能觀察出兩個(gè)圖像共同的特點(diǎn)嗎？形如：共頂點(diǎn)、雙等腰、頂角相等的圖形即為手拉手模型【“手”怎么判斷】想象每個(gè)等腰三角形都是一個(gè)三角形的桌子，三邊旁邊分別有一個(gè)座位，我們選擇面對頂角的座位坐下，那么左手邊的頂點(diǎn)即左手，右手邊的頂點(diǎn)即右手【重要結(jié)論】每一個(gè)手拉手模型都會共同的重要結(jié)論，把這些結(jié)論以及推理方法都記住，做題時(shí)可以快速求解結(jié)論如下：①▲ABC?▲AB’C’(▲頂左左?▲頂右右）②BC=B’C’(左左=右右）③∠BOB’=∠BAB’（左左和右右的夾角=等腰三角形的頂角）④AO平分∠BOC’(利用全等三角形對應(yīng)高線相等以及角平分線性質(zhì)定理的逆定理證明）【構(gòu)造手拉手模型】①什么樣的題目需要構(gòu)造手拉手模型？如下圖，圖形中從一點(diǎn)A出發(fā)有三條線，其中兩條相等，那么可以將▲ABC看作等腰三角形，那這個(gè)圖形就和手拉手模型很像了，就是缺了一個(gè)等腰的手拉手因此，已知共頂點(diǎn)等線段時(shí)可以構(gòu)造手拉手模型②如何構(gòu)造手拉手模型？牢記手拉手模型的特點(diǎn)：共頂點(diǎn)、雙等腰、頂角相等，只要把圖形補(bǔ)充為符合這些特點(diǎn)即可即以AD為邊、A為頂角、在頂角與▲ABC相等的情況下構(gòu)造手拉手模型，如下圖相似型手拉手模型【識別手拉手模型】和全等型不同的是，相似型手拉手模型沒有等腰，但是仍然符合共頂點(diǎn)、“頂角”等的特點(diǎn)，判斷左右手的方式也和全等型相同【重要結(jié)論】①▲ABC~▲ADE、▲ABD~▲AEC（▲頂左左~▲頂右右）②BD【構(gòu)造手拉手模型】①什么時(shí)候構(gòu)造相似型手拉手模型？已知共頂點(diǎn)三條線，其中兩條已知比例關(guān)系的，就可以構(gòu)造手拉手模型，按照圖形特點(diǎn)補(bǔ)充即可【專題訓(xùn)練】一．選擇題（共3小題）1．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．下列結(jié)論：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在一條直線上，連接BE、AD，點(diǎn)M、N分別是線段BE、AD上的兩點(diǎn)，且BM=13BE，AN=13A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．不等邊三角形3．如圖，A、B、C在同一條直線上，△ABF和△BCE均為等邊三角形，AE、FC分別交FB、EB于點(diǎn)M、N，下列結(jié)論中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正確的有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)二．填空題（共1小題）4．匈牙利著名數(shù)學(xué)家愛爾特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，其中每三個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形，人們將具有這樣性質(zhì)的n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集稱為愛爾特希點(diǎn)集．如圖，是由五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O構(gòu)成的愛爾特希點(diǎn)集（它們?yōu)檎暹呅蔚娜我馑膫€(gè)頂點(diǎn)及正五邊形的中心構(gòu)成），則∠ADO的度數(shù)是．三．解答題（共6小題）5．如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE．將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；②當(dāng)CE＝CD時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)H，求GH的長．（2）如圖3，延長CE交直線AG于點(diǎn)P．①求證：AG⊥CP；②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．6．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G，連接GM，GN．小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是．（2）類比思考：如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）深入研究：如圖③，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究．向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明．7．請完成如下探究系列的有關(guān)問題：探究1：如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，則線段CF，BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．探究2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到線段BC的延長線上，其余條件不變，探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立？為什么？（請寫出證明過程）探究3：如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留為45°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，請你判斷線段CF，BD之間的位置關(guān)系，并說明理由．8．已知，在△ABC中，BC＝4．（1）如圖1，將邊AC、AB同時(shí)繞著點(diǎn)A分別按逆時(shí)針、順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a°，得AD、AE，連接BD、CE，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若∠ABC＝60°，AB＝1，將邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得AD，連接BD，求BD的長；（3）如圖3，O為BC上一點(diǎn)，OB＝1，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作⊙O，點(diǎn)M是⊙O上動點(diǎn)，連接MC，以MC為腰作等腰Rt△MCF，使∠MCF＝90°，其中M、C、F三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接BF，則BF的取值范圍是．9．在△ABC中，∠BAC＝60°．（1）如圖1，若AB＝AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，得到△ADB，連接DP，補(bǔ)完全圖，直接寫出PB的長．（2）如圖2，若AB＝AC，點(diǎn)P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度數(shù)；（3）如圖3，若AB＝2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接寫出PC10．【問題發(fā)現(xiàn)】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明同學(xué)遇到了如下問題：（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經(jīng)過觀察、分析、思考，他對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系…請你根據(jù)上面分析，完成該問題的解答過程