2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)§6.7數(shù)列中的綜合問題【課件】

第六章§6.7數(shù)列中的綜合問題數(shù)列的綜合運(yùn)算問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的交匯問題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.課標(biāo)要求例1

已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a2＝6，a1，a3，a7成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由于a2＝6，a1，a3，a7成等比數(shù)列，∴an＝2n＋2.(2)設(shè)bn＝n·

，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.由bn＝n·22n＝n·4n，則Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，

①4Sn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，

②①－②得，－3Sn＝4＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1數(shù)列的綜合運(yùn)算問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方法：尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練1

(2024·無錫模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，a3是a1，a13的等比中項(xiàng)，S5＝25.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn＋bn＋1＝Sn，求b20.bn＋1＋bn＋2＝(n＋1)2，

②②－①得，bn＋2－bn＝2n＋1，∵b1＝－1，∴b2＝2.∴b20＝b20－b18＋b18－b16＋…＋b4－b2＋b2＝37＋33＋29＋…＋5＋2題型二數(shù)列與其他知識的交匯問題命題點(diǎn)1數(shù)列與不等式的交匯√方法一當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正確；同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正確；同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正確；因?yàn)閎4<b8，b7>b8，所以b4<b7，故D正確.方法二(特殊值法)逐一判斷選項(xiàng)可知選D.√所以a≥－2；例3

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的嚴(yán)格增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1012>0，則f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2022)＋f(a2023)的值A(chǔ).恒為正數(shù)

B.恒為負(fù)數(shù)C.恒為0 D.可正可負(fù)命題點(diǎn)2數(shù)列與函數(shù)的交匯√因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)且是嚴(yán)格增函數(shù)，所以f(0)＝0，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0;當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0.因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1012>0，故f(a1012)>0.再根據(jù)a1＋a2023＝2a1012>0，所以a1>－a2023，則f(a1)>f(－a2023)＝－f(a2023)，所以f(a1)＋f(a2023)>0.同理可得f(a2)＋f(a2022)>0，f(a3)＋f(a2021)>0，…，所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2022)＋f(a2023)＝[f(a1)＋f(a2023)]＋[f(a2)＋f(a2022)]＋…＋[f(a1011)＋f(a1013)]＋f(a1012)>0.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式，再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明.跟蹤訓(xùn)練2(1)分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡單的基本圖形，凝聚擴(kuò)散，重復(fù)累加，以迭代的方式而形成的美麗的圖案.自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等.如圖為正方形經(jīng)過多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個(gè)正方形的對應(yīng)邊所成的角為15°.若從外往里最大的正方形邊長為9，則第5個(gè)正方形的邊長為√設(shè)第n個(gè)正方形的邊長為an，則由已知可得an＝an＋1sin15°＋an＋1cos15°，－1則數(shù)列{xn}是等差數(shù)列，公差為4，且f(xn)＝－2，n∈N*，因此A＝2，函數(shù)f(x)的最小正周期是4，課時(shí)精練123456789101112一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·廣州模擬)已知f(x)＝2x2，數(shù)列{an}滿足a1＝2，且對一切n∈N*，有an＋1＝f(an)，則A.{an}是等差數(shù)列B.{an}是等比數(shù)列C.{log2an}是等比數(shù)列D.{log2an＋1}是等比數(shù)列√123456789101112所以log2an＋1＝1＋2log2an，所以log2an＋1＋1＝2(log2an＋1)，n∈N*，所以{log2an＋1}是等比數(shù)列，又log2a1＋1＝2，所以log2an＋1＝2n，所以log2an＝2n－1，故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.2.(2024·銅仁模擬)為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，不斷提高學(xué)生對科學(xué)、法律、健康等知識的了解，某學(xué)校組織高一10個(gè)班級的學(xué)生開展“紅色百年路·科普萬里行”知識競賽.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，10個(gè)班級的平均成績恰好成等差數(shù)列，最低平均成績?yōu)?0，公差為2，則這10個(gè)班級的平均成績的第40百分位數(shù)為A.76B.77C.78D.80√123456789101112記10個(gè)班級的平均成績形成的等差數(shù)列為{an}，則an＝70＋2(n－1)＝2n＋68，123456789101112123456789101112√123456789101112設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，1234567891011124.有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長為8，如果該塔形幾何體的最上層正方體的棱長等于1，那么該塔形幾何體中正方體的個(gè)數(shù)是A.5B.7C.10D.12√123456789101112令an＝1，得n＝7，故該塔形幾何體中正方體的個(gè)數(shù)為7.123456789101112√123456789101112而要滿足an>an＋1，故{an}要單調(diào)遞減，當(dāng)n≤7時(shí)，an＝an－6，而要滿足an>an＋1，故{an}要單調(diào)遞減，所以0<a<1，123456789101112√123456789101112∵f′(x)＝x2＋2ax＋b，∴x1＋x2＝－2a<0，x1x2＝b>0，∴x1，x2為兩個(gè)不等的負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x1<x2<0，則必有x1，x2，2(或2，x2，x1)成等差數(shù)列，x1，2，x2(或x2，2，x1)成等比數(shù)列，故有2x2＝x1＋2，x1x2＝4，解得x1＝－4，x2＝－1，123456789101112√√123456789101112對于A，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋1－2(n－1)2－1＝4n－2，a1＝S1＝3，a2＝6，a3＝10，a3－a2≠a2－a1，{an}不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；123456789101112對于C，若{an}是等差數(shù)列，對于D，若an＝1，則Sn＝n，S99·S101＝99×101＝9999，1234567891011128.(2024·唐山模擬)如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，連接各邊中點(diǎn)得到△A1B1C1，再連接△A1B1C1的各邊中點(diǎn)得到△A2B2C2，…，如此繼續(xù)下去，設(shè)△AnBnCn的邊長為an，△AnBnCn的面積為Mn，則√√√123456789101112顯然△AnBnCn是正三角形，123456789101112123456789101112當(dāng)A，C，B三點(diǎn)共線時(shí)，a1＋a2023＝1，由等差數(shù)列的求和公式可得三、填空題12345678910111210.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2a3a4＝64，a6＝32，數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an＋1，若不等式4λ≥bn[1－(n＋4)λ]對于任意的n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為____________.123456789101112解得a3＝4，解得q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，bn＝log2an＋1＝n，則原不等式等價(jià)于4λ≥n[1－(n＋4)λ]，123456789101112四、解答題11.(2022·新高考全國Ⅱ)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)證明：a1＝b1；123456789101112123456789101112設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1；由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，將d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù).123456789101112123456789101112由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1，由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由題知