全程方略2021屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)精析精煉：2014年考點(diǎn)24-數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

溫馨提示：此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊?？键c(diǎn)24數(shù)列求和及綜合應(yīng)用解答題1.(2022·湖北高考文科·T19)已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由.【解題指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比數(shù)列可求得公差d,從而依據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列{an}的通項(xiàng).(2)依據(jù){an}的通項(xiàng)公式表示出{an}的前n項(xiàng)和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有(2+d)2=2(2+4d),化簡得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當(dāng)d=0時(shí),an=2;當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)·4=4n-2,從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2.(2)當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n.明顯2n<60n+800,此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立.當(dāng)an=4n-2時(shí),Sn=QUOTE=2n2.令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41.綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的n.當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的n,其最小值為41.2.（2022·湖北高考理科·Ｔ18）已知等差數(shù)列滿足：＝2，且成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.【解題指南】（Ⅰ）由，，成等比數(shù)列可求得公差d,從而依據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）依據(jù)的通項(xiàng)公式表示出的前n項(xiàng)和公式,令，解此不等式。【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，故有化簡得，解得或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或。（2）當(dāng)時(shí)，。明顯此時(shí)不存在正整數(shù)，使得成立。當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去），此時(shí)存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41。綜上，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意的；當(dāng)時(shí)，存在滿足題意的，其最小值為41。3.（2022·湖南高考理科·Ｔ20）（本小題滿分13分）已知數(shù)列{}滿足（1）若{}是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值；（2）若，且{}是遞增數(shù)列，{}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式．【解題提示】（1）由{}是遞增數(shù)列，去掉確定值，求出前三項(xiàng)，再利用成等差數(shù)列，得到關(guān)于p的方程即可；（2）{}是遞增數(shù)列，{}是遞減數(shù)列，可以去掉確定值，再利用疊加法求通項(xiàng)公式?！窘馕觥浚?）由于{}是遞增數(shù)列，所以，又，，由于成等差數(shù)列，所以，解得，當(dāng)，，與{}是遞增數(shù)列沖突，所以。（2）由于{}是遞增數(shù)列，所以，于是①由于，所以②由①②得，所以③由于{}是遞減數(shù)列，所以同理可得，④由③④得，所以，所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為．4.（2022·湖南高考文科·Ｔ17）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解題提示】（1）利用的關(guān)系求解，（2）分組求和?！窘馕觥浚?）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，記數(shù)列的前2n項(xiàng)和為，則記,，則，故數(shù)列的前2n項(xiàng)和5.(2022·廣東高考文科·T19)(14分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.(1)求a1的值.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(3)證明:對一切正整數(shù)n,有++…+<QUOTE.【解題提示】(1)可直接令n=1.(2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n≥2).(3)先對每一項(xiàng)進(jìn)行放縮再裂項(xiàng)相消整理求和.【解析】(1)令n=1,則S1=a1,-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,即+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3(舍去).(2)-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0可以整理為(Sn+3)=0,由于數(shù)列{an}中an>0,所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n(n∈N*).(3)由于==·<·QUOTE，=-,所以++…+<==QUOTE-<.故對一切正整數(shù)n,有++…+<.6.（2022·上海高考理科·Ｔ23）已知數(shù)列滿足.若，求的取值范圍；若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.【解題指南】【解析】7.（2022·上海高考文科·Ｔ23）已知數(shù)列滿足.若，求的取值范圍；若是等比數(shù)列，且，求正整數(shù)的最小值，以及取最小值時(shí)相應(yīng)的公比；（3）若成等差數(shù)列，求數(shù)列的公差的取值范圍.【解題指南】【解析】8.（2022·浙江高考理科·Ｔ19）（本題滿分14分）已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且求與；設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.=1\*GB3①求；=2\*GB3②求正整數(shù)，使得對任意，均有.【解析】（1）由題意，知又由，得公比（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)（2）=1\*GB3①由（1）知所以=2\*GB3②由于，；當(dāng)時(shí)，而得所以，當(dāng)時(shí)，綜上，對任意恒有，故.9.（2022·山東高考理科·Ｔ19）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解題指南】(1)先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng).然后依據(jù)已知條件可列方程組求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)求和法求解，留意本題是將數(shù)列裂成兩項(xiàng)之和，然后再分奇數(shù)和偶數(shù)來求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（I）解得（II）10.（2022·山東高考文科·Ｔ19）在等差數(shù)列中，已知，是與等比中項(xiàng).（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)記，求.【解題指南】(1)先設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng).然后依據(jù)已知條件可列方程組求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來爭辯求數(shù)列的和.【解析】（Ⅰ）由題意知：為等差數(shù)列，設(shè)，為與的等比中項(xiàng)且，即，解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，=1\*GB3①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：=2\*GB3②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：綜上：11.(2022·江西高考文科·T17)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)證明:對任意的n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比數(shù)列.【解題指南】(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)解決.(2)a1,an,am成等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=3n-2,對n=1也滿足,所以的通項(xiàng)公式為an=3n-2;(2)由(1)得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比數(shù)列,需要,所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N*,所以對任意n>1,都有m∈N*使得成立,即a1,an,am成等比數(shù)列.12.(2022·江西高考理科·T17)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}{bn}(bn≠0,n∈N*),滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.(2)若bn=3n+1,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解題指南】(1)將等式兩端同時(shí)除以bnbn+1即可求解.(2)由(1)及bn=3n+1可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,分析通項(xiàng)公式的特征利用錯(cuò)位相減法求Sn.【解析】(1)由于bn≠0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得,即,所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以cn=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由于bn=3n+1,cn=2n-1.所以an=cnbn=(2n-1)3n+1.所以Sn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)3n+1,3Sn=1×33+3×34+…+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2,作差得:-2Sn=32+2(33+34+…+3n+1)-(2n-1)3n+2=-［18+2(n-1)3n+2］,所以Sn=9+(n-1)3n+2.13.（2022·安徽高考文科·Ｔ18）數(shù)列滿足證明：數(shù)列是等差數(shù)列；設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解題提示】利用等差數(shù)列的定義、錯(cuò)位相消法分別求解?！窘馕觥?1)由已知可得，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）得，所以,從而，將以上兩式聯(lián)立可得==所以14.(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)·T17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式.(2)證明:++…+<.【解題提示】(1)將an+1=3an+1進(jìn)行配湊,得“an+1+”與“an+”的關(guān)系,得證,然后求得{an}的通項(xiàng)公式.(2)求得的通項(xiàng)公式,然后證得不等式.【解析】(1)由于a1=1,an+1=3an+1,n∈N*.所以an+1+=3an+1+=3.所以是首項(xiàng)為a1+=,公比為3的等比數(shù)列.所以an+=,所以an=.(2)=.=1,當(dāng)n>1時(shí),=<.所以++…+<1+++…+==<.所以,++…+<.n∈N*.15.（2022·四川高考理科·Ｔ19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）．（1）若，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解題提示】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解力量.【解析】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為，所以，由于點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，所以，又，所以．（2）由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為所以切線在軸上的截距為，從而，故從而，，所以故.16.（2022·四川高考文科·Ｔ19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上（）．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解題提示】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解力量、推理論證力量.【解析】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為所以切線