【全程復(fù)習(xí)方略】2022屆高考數(shù)學(xué)(文科人教A版)大一輪課時(shí)作業(yè)：3.8-應(yīng)用舉例-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(二十二)應(yīng)用舉例(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.如圖所示,為了測量某障礙物兩側(cè)A,B間的距離,給定下列四組數(shù)據(jù),不愿定能確定A,B間距離的是()A.α,a,b B.α,β,aC.a,b,γ D.α,β,b【解析】選A.選項(xiàng)B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類似.選項(xiàng)A中利用正弦定理求β時(shí)可能會有兩解,故選A.2.已知△ABC的外接圓的半徑為2,設(shè)其三邊長為a,b,c,若abc=16,則三角形的面積為()A.1 B.2 C.2 D.4【解題提示】依據(jù)正弦定理用上外接圓的半徑,由此選擇三角形的面積公式求解.【解析】選B.由正弦定理,得=2×2=4,即sinA=,由于abc=16,所以S△=bcsinA==2.3.某工程中要將一長為100m,傾斜角為75°的斜坡,改造成傾斜角為30°的斜坡,并保持坡高不變,則坡底需加長()A.100m B.100mC.50(+)m D.200m【解析】選A.設(shè)坡底需加長xm,由正弦定理得,解得x=100.4.(2021·廈門模擬)在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面積S=3,則三角形外接圓的半徑為()A.3 B.2 C.23 D.4【解析】選B.△ABC中,由于b=2,A=120°,三角形的面積S=3=12bc·sinA=c·3所以c=2=b,故B=12(180°-A)=30°再由正弦定理可得bsinB=2R=2所以三角形外接圓的半徑R=2.5.(2021·阜陽模擬)如圖所示,為測一建筑物的高度,在地面上選取A,B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)分別測得建筑物頂端的仰角為30°,45°,且A,B兩點(diǎn)間的距離為60m,則該建筑物的高度為()A.(30+303)m B.(30+153)mC.(15+303)m D.(15+153)m【解題提示】先在△ABP中求PB或PA,再解直角三角形即可.【解析】選A.在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60,sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=22×32-22×1由正弦定理,得PBsin30°=所以PB=12×606-2所以建筑物的高度為PBsin45°=30(6+2)×22=(30+303【一題多解】解答本題,還可使用以下方法:選A.設(shè)建筑物的底部為C,建筑物高PC=x,在Rt△PCB中,∠PBC=45°,所以BC=PC=x,在Rt△PCA中,∠PAC=30°,所以tan30°=PCCA,即CA=由圖知3x-x=60,解得x=30(3+1)(m).【加固訓(xùn)練】如圖所示,D,C,B三點(diǎn)在地面的同始終線上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為60°,30°,則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A.12a B.C.3a D.33【解析】選B.由于∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°,所以AC=CD=a,在Rt△ABC中,AB=AC·sin60°=32二、填空題(每小題5分,共15分)6.在?ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,則?ABCD的面積為.【解析】?ABCD的面積S=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin60°=9.答案:97.(2021·宜賓模擬)要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度,在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45°,在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30°,并測得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,則電視塔的高度為m.【解析】設(shè)電視塔AB高為xm,則在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,所以BD=x.在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,即(x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得x=40,所以電視塔高為40m.答案:408.(2021·臨沂模擬)某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼叫信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,馬上測出該漁輪在方位角為45°距離為10海里的C處,并測得漁輪正沿方位角為105°的方向,以9海里/小時(shí)的速度向小島靠攏,我海軍艦艇馬上以21海里/小時(shí)的速度前去營救,則艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為小時(shí).【解題提示】首先依據(jù)題意畫出圖形,再依據(jù)兩船所用時(shí)間相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.【解析】如圖,設(shè)艦艇在B′處靠近漁輪,所需的時(shí)間為t小時(shí),則AB′=21t,CB′=9t.在△AB′C中,依據(jù)余弦定理,則有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos120°,可得,212t2=102+81t2+2·10·9t·.整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去).故艦艇需小時(shí)靠近漁輪.答案:【加固訓(xùn)練】一船向正北航行,觀看正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,連續(xù)航行半小時(shí)后,觀看一燈塔在船的南偏西60°方向,另一燈塔在船的南偏西75°方向,則這只船的速度是每小時(shí).【解析】如圖,依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,從而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是這只船的速度是=10(海里/小時(shí)).答案:10海里三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD.(2)求四邊形ABCD的面積.【解題提示】(1)設(shè)出BD的長,利用余弦定理求解.(2)利用S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD求解.【解析】(1)設(shè)BD=x,在△ABD,△BCD中,由余弦定理,得cosA=,cosC=.由于A+C=π,所以cosA+cosC=0,聯(lián)立上式解得x=,cosC=,所以C=,BD=.(2)由于A+C=π,C=,所以sinA=sinC=,四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△BCD=AB·AD·sinA+CB·CD·sinC=(1+3)=2.所以四邊形ABCD面積為2.10.(2021·濟(jì)南模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足cosA2=255,A(1)求△ABC的面積.(2)若c=1,求a,sinB的值.【解析】(1)cosA=2×2552而AB→·AC→=|AB→|·|又A∈(0,π),sinA=45所以S=12bcsinA=12×5×(2)由于bc=5,又c=1,所以b=5,a2=b2+c2-2bccosA=20,a=25,又asinA=bsinB,sinB=bsinAa=【加固訓(xùn)練】我炮兵陣地位于地面A處,兩觀看所分別位于地面點(diǎn)C和D處,已知CD=6000米,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目標(biāo)毀滅于地面點(diǎn)B處時(shí),測得∠BCD=30°,∠BDC=15°(如圖),求炮兵陣地到目標(biāo)的距離.(結(jié)果保留根號)【解題提示】四點(diǎn)A,B,C,D可構(gòu)成四個(gè)三角形,要求AB的長,由于∠ADB=75°+15°=90°,只需知道AD和BD長,這樣可選擇在△ACD和△BCD中應(yīng)用定理求解.【解析】在△ACD中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°,CD=6000,∠ACD=45°,依據(jù)正弦定理有AD=CDsin45°sin60°=在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,CD=6000,∠BCD=30°,依據(jù)正弦定理有BD=CDsin30°sin135°=又在△ABD中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°,依據(jù)勾股定理有:AB=AD2+BD2=23+(20分鐘40分)1.(5分)甲船在島B的正南A處,AB=10千米.甲船以每小時(shí)4千米的速度向北航行,同時(shí),乙船自B動身以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲船在A,B之間,且甲、乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間是()A.分鐘 B.小時(shí)C.21.5分鐘 D.2.15分鐘【解析】選A.如圖,設(shè)航行x小時(shí),甲船航行到C處,乙船航行到D處,在△BCD中,BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,兩船相距S千米,依據(jù)余弦定理可得,DC2=BD2+BC2-2BC·BDcos∠CBD=(6x)2+(10-4x)2-2×6x(10-4x)·cos120°,即S2=28x2-20x+100=28(x-)2+100-28×()2,所以當(dāng)x==時(shí),S2最小,從而S也最小,即航行×60=分鐘時(shí)兩船相距最近.故選A.2.(5分)(2022·浙江高考)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動,此人為了精確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀看點(diǎn)P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成的角).若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值是()【解析】選D.由勾股定理可得,BC=20m,過點(diǎn)P作PP′⊥BC,交BC于點(diǎn)P′,連接AP′,如圖,則tanθ=,設(shè)BP′=x,則CP′=20-x,由∠BCM=30°得,PP′=CP′tan30°=(20-x).在Rt△ABP′中,AP′=故tanθ=令y=,則y′=當(dāng)x<-時(shí),y′>0,當(dāng)-<x<20時(shí),y′<0,所以當(dāng)x=-時(shí),y最大=,所以tanθ的最大值=3.(5分)(2021·黃山模擬)若△ABC中,b=3,B=,則該三角形面積的最大值為.【解題提示】利用余弦定理列式,利用基本不等式求ac的最大值,代入面積公式即可.【解析】由b=3,B=及余弦定理可得9=b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,所以ac≤9,當(dāng)a=c=3時(shí),取“=”,所以S△ABC=所以S△ABC的最大值為,當(dāng)a=b=c=3時(shí)取得.答案:【加固訓(xùn)練】(2011·安徽高考)已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°,并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則△ABC的面積為.【解析】設(shè)三角形一邊長為x,則另兩邊的長為x-4,x+4,那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120°,解得x=10,所以S△ABC=×10×6×sin120°=15.答案:15【方法技巧】三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用與該角正弦值有關(guān)的面積公式.(2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.4.(12分)(2022·重慶高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且a+b+c=8.(1)若a=2,b=52(2)若sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC,且△ABC的面積S=【解題提示】(1)直接依據(jù)余弦定理即可求出cosC的值.(2)依據(jù)題設(shè)條件可以得到關(guān)于a和b的關(guān)系式進(jìn)而求出a和b的值.【解析】(1)由題意可知:c=8-(a+b)=72由余弦定理得:cosC=a2+b2-(2)由sinAcos2B2+sinBcos2AsinA·1+cosB2+sinB·化簡得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.由于sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知:a+b=3c.又由于a+b+c=8,故a+b=6.由S=12absinC=9所以ab=9,從而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.5.(13分)(力氣挑戰(zhàn)題)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種途徑,一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C,現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲動身2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量,cosA=,cosC=.(1)求索道AB的長.(2)問:乙動身多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?【解題提示】(1)在△ABC中,利用正弦定理求AB.(2)設(shè)時(shí)間t,畫圖形,用余弦定理建立兩人的距離關(guān)于時(shí)間t的函數(shù),求函數(shù)的最值.【解析】(1)在△ABC中,AC=1260,由于cosA=,cosC=,所以sinA=sinC=sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC由于所以AB=故索道AB的長為1040米(2)設(shè)乙動身t分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短.設(shè)乙