《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義-第九章-第2講-排列與組合

第2講排列與組合1．排列與排列數(shù)公式(1)排列與排列數(shù)eq\x(\a\al(從n個(gè)不同元,素中取出,m（m≤n）個(gè)元素))eq\o(→,\s\up7(依據(jù)確定的挨次),\s\do5(排成一列))eq\x(\a\al(排,列))eq\o(→,\s\up7(全部不同),\s\do5(排列的個(gè)數(shù)))eq\x(排列數(shù))(2)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)．(3)排列數(shù)的性質(zhì)①Aeq\o\al(n,n)＝n??；②0?。?．2．組合與組合數(shù)公式(1)組合與組合數(shù)eq\x(\a\al(從n個(gè)不同元,素中取出,m（m≤n）個(gè)元素))eq\o(→,\s\up7(合成一組))eq\x(\a\al(組,合))eq\o(→,\s\up7(全部不同),\s\do5(組合的個(gè)數(shù)))eq\x(組合數(shù))(2)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！).(3)組合數(shù)的性質(zhì)①Ceq\o\al(0,n)＝1；②Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n－m,n))；③Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)．[做一做]1．某校一班級有5個(gè)班，二班級有7個(gè)班，三班級有4個(gè)班，分班級進(jìn)行班與班之間的籃球單循環(huán)賽，共需進(jìn)行競賽的場數(shù)是()A．Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,4) B．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(2,4)C．Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,7)＋Aeq\o\al(2,4) D．Ceq\o\al(2,16)答案：A2．用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．8 B．24C．48 D．120答案：C1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與挨次有關(guān)，排列問題與挨次有關(guān)，組合問題與挨次無關(guān)．(2)計(jì)算Aeq\o\al(m,n)時(shí)易錯(cuò)算為n(n－1)(n－2)…(n－m)．2．排列與組合問題的識別方法識別方法排列若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素挨次有關(guān)組合若交換某兩個(gè)元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素挨次無關(guān)[做一做]3．(2022·高考大綱全國卷)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A．60種 B．70種C．75種 D．150種解析：選C.由題意知，選2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生的方法有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,5)＝75(種)．4．在一展覽會(huì)上，要展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)1件，在展臺(tái)上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必需相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該次展出這5件作品不同的擺放方案共有________種．(用數(shù)字作答)解析：將2件必需相鄰的書法作品看作一個(gè)整體，同1件建筑設(shè)計(jì)展品全排列，再將2件不能相鄰的繪畫作品插空，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(種)不同的展出方案．答案：24eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__排列應(yīng)用題__________________________3名男生，4名女生，依據(jù)不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體站成一排，男、女各站在一起；(4)全體站成一排，男生不能站在一起；(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾．[解](1)問題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有Aeq\o\al(5,7)＝2520(種)排法．(2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040(種)排法．(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必需站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法；女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)．(4)不相鄰問題(插空法)：先支配女生共有Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中支配共有Aeq\o\al(3,5)種排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．(5)先支配甲，從除去排頭和排尾的5個(gè)位中支配甲，有Aeq\o\al(1,5)＝5(種)排法；再支配其他人，有Aeq\o\al(6,6)＝720(種)排法．所以共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝3600(種)排法．在本例條件下，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)：(1)甲不在中間也不在兩端；(2)甲、乙兩人必需排在兩端．解：(1)先排甲有4種，其余有Aeq\o\al(6,6)種，故共有4·Aeq\o\al(6,6)＝2880(種)排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(種)排法．[規(guī)律方法]求解排列應(yīng)用題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先支配特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中先整體后局部“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮挨次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__組合應(yīng)用題__________________________要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)男生甲和女生乙入選；(3)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選．[解](1)法一：至少有1名女生入選包括以下幾種狀況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(5,5)＝771(種)．法二：“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”可用間接法求解．從12名人中任選5人有Ceq\o\al(5,12)種選法，其中全是男代表的選法有Ceq\o\al(5,7)種．所以“至少有1名女生入選”的選法有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)＝771(種)．(2)男生甲和女生乙入選，即只要再從除男生甲和女生乙外的10人中任選3名即可，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,10)＝120(種)選法．(3)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的反面是“兩人都不入選”，即從其余10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，所以“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的選法數(shù)為Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,10)＝540(種)．在本例條件下，求至多有2名女生入選的選法種數(shù)．解：至多有2名女生入選包括以下幾種狀況：0女5男，1女4男，2女3男，由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＝546(種)．[規(guī)律方法]解決組合類問題的方法：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：解這類題必需格外重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解．通常用直接法分類簡潔時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__排列、組合的綜合應(yīng)用(高頻考點(diǎn))______排列與組合是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為簡潔題或中檔題．高考對排列與組合綜合應(yīng)用題的考查主要有以下四個(gè)命題角度：(1)支配問題；(2)排列問題；(3)定位問題；(4)選派問題．(1)(2022·高考四川卷)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A．192種 B．216種C．240種 D．288種(2)(2021·蘭州市、張掖市聯(lián)合診斷)某校從8名老師中選派4名老師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有()A．150種 B．300種C．600種 D．900種(3)(2022·高考北京卷)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．[解析](1)第一類：甲在最左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(種)方法；其次類：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(種)方法．所以共有120＋96＝216(種)方法．(2)若甲去，則乙不去，丙去，再從剩余的5名老師中選2名，有Ceq\o\al(2,5)×Aeq\o\al(4,4)＝240種方法；若甲不去，則丙不去，乙可去可不去，從6名老師中選4名，共有Ceq\o\al(4,6)×Aeq\o\al(4,4)＝360種方法．因此共有600種不同的選派方案．(3)將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種方法．于是符合題意的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．[答案](1)B(2)C(3)36[規(guī)律方法]解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(1)(2022·高考遼寧卷)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24(2)(2021·東北三校聯(lián)合模擬)一個(gè)五位自然數(shù)a1a2a3a4a5，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i＝1，2，3，4，5，當(dāng)且僅當(dāng)a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5時(shí)稱為“凹數(shù)”(如32014，53134等)，則滿足條件的五位自然數(shù)中“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為()A．110 B．137C．145 D．146(3)將6名老師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．(4)(2021·保定市調(diào)研考試)已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A、B、C為M的非空子集，若?x∈A、y∈B、z∈C，x＜y＜z恒成立，則稱“A—B—C”為集合M的一個(gè)“子集串”，則集合M的“子集串”共有________個(gè)．解析：(1)插空法．在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個(gè)空檔中選出3個(gè)插入3人即可．故排法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24.故選D.(2)分四種狀況進(jìn)行爭辯：①a3是0，a1和a2有Ceq\o\al(2,5)種排法，a4和a5有Ceq\o\al(2,5)種排法，則五位自然數(shù)中“凹數(shù)”有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＝100個(gè)；②a3是1，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36個(gè)；③a3是2，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)＝9個(gè)；④a3是3，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,2)＝1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知五位自然數(shù)中“凹數(shù)”共有100＋36＋9＋1＝146個(gè)．(3)將6名老師分組，分三步完成：第一步，在6名老師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al(1,6)種取法；其次步，在余下的5名老師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al(2,5)種取法；第三步，余下的3名老師作為一組，有Ceq\o\al(3,3)種取法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種取法．再將這3組老師支配到3所中學(xué)，有Aeq\o\al(3,3)＝6種分法．故共有60×6＝360種不同的分法．(4)由題意可先分類，再分步：第一類，將6個(gè)元素全部取出來，可分兩步進(jìn)行：第一步，取出元素，有Ceq\o\al(6,6)種取法，其次步，分成三組，共Ceq\o\al(2,5)種分法，所以共有Ceq\o\al(6,6)Ceq\o\al(2,5)個(gè)子集串；其次類，從6個(gè)元素中取出5個(gè)元素，共Ceq\o\al(5,6)種取法，然后將這5個(gè)元素分成三組共Ceq\o\al(2,4)種分法，所以共有Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(2,4)個(gè)子集串；同理含4個(gè)元素的子集串?dāng)?shù)為Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,3)；含3個(gè)元素的子集串?dāng)?shù)為Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,2).集合M的子集串共Ceq\o\al(6,6)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,2)＝111個(gè)．答案：(1)D(2)D(3)360(4)111

方法思想——分類爭辯思想求解排列、組合問題(2022·高考重慶卷)某次聯(lián)歡會(huì)要支配3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出挨次，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72 B．120C．144 D．168[解析]解決該問題分為兩類：第一類分兩步，先排歌舞類Aeq\o\al(3,3)，然后利用插空法將剩余3個(gè)節(jié)目排入左邊或右邊3個(gè)空，故不同排法有Aeq\o\al(3,3)·2Aeq\o\al(3,3)＝72.其次類也分兩步，先排歌舞類Aeq\o\al(3,3)，然后將剩余3個(gè)節(jié)目放入中間兩空排法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)，故不同的排法有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝48，故共有120種不同排法，故選B.[答案]B[名師點(diǎn)評]對于有附加條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按大事發(fā)生的過程分類．本題在排歌舞類節(jié)目后再進(jìn)行分類，把剩余3個(gè)節(jié)目插入兩個(gè)空還是三個(gè)空．1.航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲－15飛機(jī)預(yù)備著艦．假如甲、乙兩機(jī)必需相鄰著艦，而甲、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．16種C．24種 D．36種解析：選D.當(dāng)甲排在邊上時(shí)，有2Aeq\o\al(3,3)＝12種方法；當(dāng)甲不排在邊上時(shí)，有12Aeq\o\al(2,2)＝24種方法，這樣一共有12＋24＝36種不同的著艦方法．2．(2022·高考浙江卷)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng)．將這8張獎(jiǎng)券支配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)狀況有________種(用數(shù)字作答)．解析：把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(二等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))、(無獎(jiǎng)，無獎(jiǎng))四組，分給4人有Aeq\o\al(4,4)種分法；另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng)，一組只有一個(gè)獎(jiǎng)，另兩組無獎(jiǎng)，共有Ceq\o\al(2,3)種分法，再分給4人有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種分法，所以不同獲獎(jiǎng)狀況種數(shù)為Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝24＋36＝60.答案：601．?dāng)?shù)列{an}共有六項(xiàng)，其中四項(xiàng)為1，其余兩項(xiàng)各不相同，則滿足上述條件的數(shù)列{an}共有()A．30個(gè) B．31個(gè)C．60個(gè) D．61個(gè)解析：選A.在數(shù)列的六項(xiàng)中，只要考慮兩個(gè)非1的項(xiàng)的位置，即得不同數(shù)列，共有Aeq\o\al(2,6)＝30個(gè)不同的數(shù)列．2．(2021·昆明市第一次摸底)從4部甲型和5部乙型手機(jī)中任意取出3部，其中至少要有甲型與乙型手機(jī)各1部，則不同取法共有()A．35種 B．70種C．84種 D．140種解析：選B.由題知不同取法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝70種．3．(2021·陜西西安檢測)某市擬從4個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目和6個(gè)一般項(xiàng)目中各選2個(gè)項(xiàng)目作為本年度要啟動(dòng)的項(xiàng)目，則重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B至少有一個(gè)被選中的不同選法的種數(shù)是()A．15 B．45C．60 D．75解析：選C.從4個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目和6個(gè)一般項(xiàng)目中各選2個(gè)項(xiàng)目作為本年度啟動(dòng)的項(xiàng)目，全部的選法種數(shù)是Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,6)＝90.重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B都沒有被選中的選法種數(shù)是Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(2,5)＝30，故重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B至少有一個(gè)被選中的不同選法種數(shù)是90－30＝60.4．(2021·福建三明調(diào)研)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中挨次為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有()A．12種 B．20種C．40種 D．60種解析：選C.(排序確定用除法)五個(gè)元素沒有限制全排列數(shù)為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序確定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個(gè)元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(3,3))×2＝40.5．身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A．24 B．28C．36 D．48解析：選D.穿紅色衣服的人相鄰的排法有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48種，同理穿黃色衣服的人相鄰的排法也有48種．而紅色、黃色同時(shí)相鄰的有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝24種．故穿相同顏色衣服的不相鄰的排法有Aeq\o\al(5,5)－2×48＋24＝48種．6．Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝________．解析：由組合數(shù)的定義得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤5－n≤n,0≤9－n≤n＋1))，解之得4≤n≤5，∵n∈N*，∴n＝4或n＝5.當(dāng)n＝4時(shí)，原式＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5，當(dāng)n＝5時(shí)，原式＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.答案：5或167．(2021·濰坊檢測)張、王兩家夫婦各帶1個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩，購票后排隊(duì)依次入園，為平安起見，首尾確定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩確定要排在一起，則這6人的入園挨次排法種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)解析：第一步：將兩位爸爸排在兩端有2種排法；其次步：將兩個(gè)小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個(gè)位置上有Aeq\o\al(3,3)種排法；第三步：將兩個(gè)小孩排序有2種排法．故總的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24(種)．答案：248．(2021·江蘇揚(yáng)州中學(xué)檢測)在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如：“102”“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為________．解析：三位“駝峰數(shù)”中1在十位的有Aeq\o\al(2,4)個(gè)，2在十位的有Aeq\o\al(2,3)個(gè)，3在十位上的有Aeq\o\al(2,2)個(gè)，所以全部三位“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為12×1＋6×2＋2×3＝30.答案：309．男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1名，選派5人外出競賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員．解：(1)任選3名男運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為Ceq\o\al(3,6)，再選2名女運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為Ceq\o\al(2,4)，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)方法．(2)法一：至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種狀況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．法二：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面是“全是男運(yùn)動(dòng)員”，因此用間接法求解，不同選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．10．從1到9的9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)4個(gè)奇數(shù)，試問：(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？解：(1)分三步完成：第一步，在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有Ceq\o\al(3,4)種狀況；其次步，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有Ceq\o\al(4,5)種狀況；第三步，3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(7,7)種狀況．所以符合題意的七位數(shù)有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(7,7)＝100800(個(gè))．(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝14400(個(gè))．(3)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝5760(個(gè))．1．5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有()A．150種 B．180種C．200種 D．280種解析：選A.依題意5個(gè)人支配到3個(gè)學(xué)校且每校至少去一個(gè)人，因此可將5人按人數(shù)分成1，2，2與1，1，3兩種，當(dāng)人數(shù)是1，2，2時(shí)，有eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝90(種)．當(dāng)人數(shù)是1，1，3時(shí)，則有eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，因此共有90＋60＝150(種)．2．(2021·浙江溫州十校聯(lián)考)任取三個(gè)互不相等的正整數(shù)，其和小于100，則由這三個(gè)數(shù)構(gòu)成的不同的等差數(shù)列共有()A．528個(gè) B．1056個(gè)C．1584個(gè) D．4851個(gè)解析：選B.先確定等差數(shù)列的中間項(xiàng)，再確定第一、三項(xiàng)．設(shè)這三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)分別為a，b，c.由題意得a＋b＋c≤100，即3b≤100，得b可以取2，3，…，33，共32個(gè)數(shù)．第一類，b＝2時(shí)，a，c的取值共有2個(gè)(a＝1，c＝3和a＝3，c＝1，對應(yīng)的是兩個(gè)數(shù)列)；其次類，b＝3時(shí)，a，c的取值共有4個(gè)；…第三十二類，b＝33時(shí)，a，c的取值共有64個(gè)．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得滿足題意的數(shù)