《狀元之路》2022屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)：必修部分-開卷速查52-橢圓

開卷速查(五十二)橢圓A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練1．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是()A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r(3)D．12解析：如圖，設(shè)橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)為F，則△ABC的周長(zhǎng)為|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4eq\r(3).答案：C2．已知2，m,8構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\r(3)C.eq\f(\r(2),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(6),2)解析：由于2，m,8構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以m2＝2×8＝16，即m＝±4.若m＝4，則圓錐曲線方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，此時(shí)為橢圓，其中a2＝4，b2＝2，c2＝4－2＝2，所以a＝2，c＝eq\r(2)，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).若m＝－4，則圓錐曲線方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1，此時(shí)為雙曲線，其中a2＝2，b2＝4，c2＝4＋2＝6，所以a＝eq\r(2)，c＝eq\r(6)，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),\r(2))＝eq\r(3).所以選C.答案：C3．已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1，長(zhǎng)軸在y軸上．若焦距為4，則m等于()A．4 B．5C．7 D．8解析：將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(y2,\r(m－2)2)＋eq\f(x2,\r(10－m)2)＝1，明顯m－2＞10－m，即m＞6且(eq\r(m－2))2－(eq\r(10－m))2＝22，解得m＝8.答案：D4．已知圓M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半徑為2，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，若垂直于x軸且經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的直線l與圓M相切，則a的值為()A.eq\f(3,4) B．1C．2 D．4解析：圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝3＋m2，則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，∴m＝－1，則圓心M的坐標(biāo)為(1,0)．由題意知直線l的方程為x＝－c，又∵直線l與圓M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.答案：C5．已知P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5 B．7C．13 D．15解析：由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.答案：B6．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若∠F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．解析：設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋eq\r(3)，y)，eq\o(F2P,\s\up6(→))＝(x－eq\r(3)，y)．∵∠F1PF2為鈍角，∴eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＜0，即x2－3＋y2＜0，①∵y2＝1－eq\f(x2,4)，代入①得x2－3＋1－eq\f(x2,4)＜0，eq\f(3,4)x2＜2，∴x2＜eq\f(8,3).解得－eq\f(2\r(6),3)＜x＜eq\f(2\r(6),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))7．設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為eq\f(1,2)，則此橢圓的方程為__________．解析：拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,m)，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝18．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,5)＝1(a為定值，且a＞eq\r(5))的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A，B.若△FAB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是__________．解析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，如圖，由橢圓定義知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周長(zhǎng)為|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，當(dāng)且僅當(dāng)AB過(guò)右焦點(diǎn)F′時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)4a＝12，則a＝3.故橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，所以c＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于__________．解析：∵直線y＝eq\r(3)(x＋c)過(guò)左焦點(diǎn)F1，且其傾斜角為60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.∵|MF1|＝c，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴|MF2|＝2a－c.∵|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2.∴c2＋(2a－c)2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0.∴e2＋2e－2＝0，解得e＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－110．[2022·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ]設(shè)F1、F2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為eq\f(3,4)，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解析：(1)依據(jù)c＝eq\r(a2－b2)及題設(shè)知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的離心率為eq\f(1,2).(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1＜0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②將①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).B級(jí)力氣提升練11．[2022·福建]設(shè)P，Q分別為圓x2＋(y－6)2＝2和橢圓eq\f(x2,10)＋y2＝1上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A．5eq\r(2) B．eq\r(46)＋eq\r(2)C．7＋eq\r(2) D．6eq\r(2)解析：設(shè)圓的圓心為C，則C(0,6)，半徑為r＝eq\r(2)，點(diǎn)C到橢圓上的點(diǎn)Q(eq\r(10)cosα，sinα)的距離|CQ|＝eq\r(\r(10)cosα2＋sinα－62)＝eq\r(46－9sin2α－12sinα)＝eq\r(50－9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＋\f(2,3)))2)≤eq\r(50)＝5eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)sinα＝－eq\f(2,3)時(shí)取等號(hào)，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝5eq\r(2)＋eq\r(2)＝6eq\r(2)，即P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是6eq\r(2)，故選D.答案：D12．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率e＝eq\f(1,2)，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)()A．必在圓x2＋y2＝2內(nèi)B．必在圓x2＋y2＝2上C．必在圓x2＋y2＝2外D．以上三種情形都有可能解析：由于橢圓的離心率e＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(4c2－c2)＝eq\r(3)c，因此方程ax2＋bx－c＝0可化為2cx2＋eq\r(3)cx－c＝0，又c≠0，∴2x2＋eq\r(3)x－1＝0，x1＋x2＝－eq\f(\r(3),2)，x1x2＝－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(3,4)＋1＝eq\f(7,4)＜2，即點(diǎn)(x1，x2)在x2＋y2＝2內(nèi)．答案：A13．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|.(1)求橢圓的離心率e.(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝16相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝eq\f(5,8)|AB|，求橢圓的方程．解析：(1)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c＞0)，由于|PF2|＝|F1F2|，所以eq\r(a－c2＋b2)＝2c.整理得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1＝0，解得eq\f(c,a)＝－1(舍)，或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以e＝eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝eq\r(3)(x－c)．A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋4y2＝12c2，,y＝\r(3)x－c.))消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝eq\f(8,5)c.得方程組的解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝－\r(3)c，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(8,5)c，,y2＝\f(3\r(3),5)c.))不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)c，\f(3\r(3),5)c))，B(0，－eq\r(3)c)，所以|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),5)c＋\r(3)c))2)＝eq\f(16,5)c.于是|MN|＝eq\f(5,8)|AB|＝2c.圓心(－1，eq\r(3))到直線PF2的距離d＝eq\f(|－\r(3)－\r(3)－\r(3)c|,2)＝eq\f(\r(3)|2＋c|,2).由于d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,2)))2＝42，所以eq\f(3,4)(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－eq\f(26,7)(舍)，或c＝2.所以橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.14．[2022·天津]設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與該圓相切．求直線l的斜率．解析：(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)．由|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，則eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2).所以，橢圓的離心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故橢圓方程為eq\f(x2,2c2)＋eq\f(y2,c2)＝1.設(shè)P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x0＋c，y0)，eq\o(