云南省巧家縣第二中學(xué)2021屆人教版高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：定比分點、平移、正余弦定理

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之定比分點、平移、正余弦定理1．若，則稱點分有向線段所成的比為λ。留意：“定比”不是“比”，點分有向線段所成的比，是用數(shù)乘向量定義的，而不是兩個向量的比。當(dāng)為外分點時λ為負(fù)，內(nèi)分點時λ為正，為中點時λ=1，若起點(x1,y1)，終點(x2,y2)，則分點(x0,y0)的坐標(biāo)為：x0=,y0=。由此推出：中點公式及三角形的重心公式:在⊿ABC中，若A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），則⊿ABC的重心G（，）。設(shè)O（0，0），A（1，0），B（0，1），點P是線段AB上的一個動點，，若，則λ的去值范圍是：A．≤λ≤1B．1-≤λ≤1C．≤λ≤1+D．1-≤λ≤1+解析：思路一：，即P分有向線段所成的比為，由定比分點坐標(biāo)公式得：P（1-λ，λ）,于是有=（1-λ，λ），=(-1,1),=（λ，-λ），=（λ-1，1-λ），∴λ-1+λ≥λ(λ-1)-λ(1-λ)2λ2-4λ+1≤01-≤λ≤1+。思路二：記P(x,y)，由得：(x-1,y)=(-λ,λ)x=1-λ,y=λ即P（1-λ，λ），以下同“思路一”。思路三：=(-1,1)，=（-λ，λ），=（λ，-λ），==（1-λ，λ），==（λ-1，1-λ），以下同“思路一”。已知⊿ABC中，點B（-3，-1），C（2，1）是定點，頂點A在圓（x+2）2+(y-4)2=4上運動，求⊿ABC的重心G的軌跡方程。解析：記G（x,y）,A(x0,y0),由重心公式得：x=,y=,于是有：x0=3x+1,y0=3y，而A點在圓（x+2）2+(y-4)2=4上運動，∴（3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化簡得：。已知P是曲線C：y=xn(n∈N﹡)上異于原點的任意一點，過P的切線分別交X軸，Y軸于Q、R兩點，且，求n的值。已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)，，若，則 （） A． B． C． D．2.關(guān)注點、函數(shù)圖象（曲線）按某向量平移導(dǎo)致的坐標(biāo)、解析式（方程）的變化；點M(x,y)按向量(m,n)平移得到點M‘(x+m,y+n)；曲線C：f(x,y)=0按向量(m,n)平移得到曲線C/：f(x-m,y-n)=0。函數(shù)圖象（曲線）按某向量平移的問題可以先“翻譯”成向左（右）、向上（下）平移，再按函數(shù)圖象變換的規(guī)律“圖進(jìn)標(biāo)退”操作。：向量無論怎樣平移，其坐標(biāo)都不發(fā)生變化。將直線x-by+1=0按向量=（1，-1）平移后與圓x2-4x+y2+3=0相切，則k=。解析：思路一：直線：x-by+1=0按向量平移即“向右、向下各平移1個單位”，亦即：x變?yōu)閤-1，y變?yōu)閥+1，得直線：x-by-b=0，圓：(x-2)2+y2=1,直線與圓相切，則有：得b=。思路二：圓M：(x-2)2+y2=1按向量-平移（x變成x+1,y變成y-1）后得：圓M/：(x-1)2+(y-1)2=1,圓M/與直線：x-by+1=0相切，有得b=。思路三：圓心M（2，0）按向量-平移后得M/（1，1），M/到直線的距離為1。已知點A（1，2）、B（4，2），向量按=（1，3）平移后所得向量的坐標(biāo)為（）（A）（3，0）（B）（4，3）（C）（-4，-3）（D）（-4，3）若把一個函數(shù)的圖象按=（－，－2）平移后得到函數(shù)y=cosx的圖象，則原圖象的函數(shù)解析式為：A．y=cos(x+)－2；B．y=cos(x－)－2；C．y=cos(x+)+2；D．y=cos(x－)+2已知函數(shù)f(x)=-sinxcosx+3cos2x-,x∈R將f(x)表示成Asin(2x+)+B的形式（其中A>0,0<<2）將y=f(x)的圖象按向量平移后，所得到的圖象關(guān)于原點對稱，求使||得最小的向量。3．三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題中，既涉及到邊又涉及到角時，往往需要進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，正、余弦定理是實現(xiàn)三角形邊角轉(zhuǎn)換的僅有的工具。對a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的齊次式，可以直接用正弦定理轉(zhuǎn)換；而對a、b、c平方的和差形式，常用余弦定理轉(zhuǎn)換。⊿ABC的三內(nèi)角的正弦值的比為4：5：6，則三角形的最大角為。解析：由正弦定理得：⊿ABC三邊的比為4：5：6，不妨設(shè)a=4k,b=5k,c=6k,(k>0)則邊c所對的角C為最大角，cosC=,∴C=arccos。在⊿ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a2+b2=6c2,則的值為解析：對“切化弦”得：，再由正弦定理得，再對cosC使用余弦定理得：，將a2+b2=6c2,代入接得原式等于。若△ABC三邊成等差數(shù)列，則B的范圍是；若△ABC三邊成等比數(shù)列，則B的范圍是；若三角形三邊a、b、c滿足a2+c2=b2+ac，且a:c=:2，求角C的大小。已知⊿ABC中，sinA(sinB+cocB)=sinC,BC=3,則⊿ABC的周長的取值范圍是。4．關(guān)注正弦定理中的“外接圓”直徑，涉及三角形外接圓直徑的問題多用正弦定理。ABCPO△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=1200，它所在平面外一點P到ABCPO解析：記P在平面ABC上的射影為O，∵PA=PB=PC∴OA=OB=OC，即O是△ABC的外心，只需求出OA（△ABC的外接圓的半徑），記為R，在△ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R==14，∴OA=7得：PO=7。已知⊙O的半徑為R，若它的內(nèi)接△ABC中，2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,求（1）∠C的大小；（2）△ABC的面積的最大值。直線：過點，若可行域的外接圓直徑為，則實數(shù)的值是______________5．正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的兩個（或三個）角的問題常用正弦定理，只涉及三角形中的一個角常用余弦定理。關(guān)注兩定理在解相關(guān)實際問題中的運用。已知⊿ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,且BC邊上的高為,則的最大值為：A.2B.C.2D.4BCAD解析：=，這個形式很簡潔聯(lián)想到余弦定理：cosA=①BCAD而條件中的“高”簡潔聯(lián)想到面積，即②，將②代入①得：∴=2（cosA+sinA）=2sin(A+)，當(dāng)A=時取得最大值2，故選A。如圖，已知A、B、C是一條直路上的三點，AB與BC各等于1千米，從三點分別遙望塔M，在A處觀察塔在北偏東450方向，在B處觀察塔在正東方向，在C處觀察塔在南偏東600方向，求塔到直路ABC的最短距離。解析：已知AB=BC=1，∠AMB=450，∠CMB=300，∴∠CMA=750易見⊿MBC與⊿MBA面積相等，∴AM450=CM300即CM=AM，記AM=，則CM=，在⊿MAC中，AC=2，由余弦定理得：4=32-22cos750，∴2=,記M到AC的距離為，則2sin750=2得=，∴塔到直路ABC的最短距離為。如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，且OA=2，B為半圓周長上任意一點，以AB為邊作等邊△ABC，問B點在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出這個最大面積.

一艘海岸緝私艇巡邏至A處時發(fā)覺在其正東方向20的海面B處有一艘走私船正以的速度向北偏東300的方向逃跑，緝私艇以的速度沿的方向追擊，才能最快截獲走私船？若=40，則追擊時間至少為