【優(yōu)化設計】2020-2021學年人教版高中數學選修2-2第一章1.4知能演練輕松闖關

1．下列不屬于優(yōu)化問題的是()A．汽油的使用效率何時最高B．磁盤的最大存儲量問題C．求某長方體容器的容積D．飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響解析：選C.選項A、B、D中明確提出了問題與求最值有直接的關系，是優(yōu)化問題．而選項C僅要求求出容積，不是優(yōu)化問題．故選C.2．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為()A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件解析：選C.令導數y′＝－x2＋81＞0，解得x＜9，又x＞0，∴0＜x＜9；令導數y′＝－x2＋81＜0，解得x＞9，∴函數y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在區(qū)間(0,9)上是增函數，在區(qū)間(9，＋∞)上是減函數，∴在x＝9處取極大值，也是最大值，故選C.3．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，假如第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A．8 B.eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：選C.原油溫度的瞬時變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1.4．設底面為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：選C.設底面邊長為x，側棱長為l，則V＝eq\f(1,2)x2·sin60°·l，∴l(xiāng)＝eq\f(4V,\r(3)x2).∴S表＝x2sin60°＋3xl＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)，∴S表′＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S表′＝0，即eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)＝0，∴x3＝4V，即x＝eq\r(3,4V).又當x∈(0，eq\r(3,4V))時，S表′＜0；當x∈(eq\r(3,4V)，V)時，S表′＞0，∴當x＝eq\r(3,4V)時，表面積最?。?．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使體積最大，則其高應為()A.eq\f(5\r(3),3)cm B.eq\f(10\r(3),3)cmC．5eq\r(3)cm D.eq\f(20\r(3),3)cm解析：選D.設圓錐底面半徑為r，高為h，則h2＋r2＝202，∴r＝eq\r(400－h(huán)2).∴圓錐體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h＝eq\f(1,3)π(400h－h(huán)3)．令V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)＝0，得h＝eq\f(20\r(3),3)，當h＜eq\f(20\r(3),3)時，V′＞0；當h＞eq\f(20\r(3),3)時，V′＜0.∴h＝eq\f(20\r(3),3)時，V最大，應選D.6．(2021·杭州調研)某商品一件的成本為30元，在某段時間內，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，則當每件商品的定價為__________元時，利潤最大．解析：利潤s(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，s′(x)＝－2x＋230.由s′(x)＝0，得x＝115，這時利潤最大．答案：1157．某銀行預備設一種新的定期存款業(yè)務，經猜想，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數為k(k＞0)，貸款的利率為4.8%，假設銀行吸取的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0,4.8%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為________．解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應支付的存款利息是kx3，銀行應獲得的貸款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．當0＜x＜0.032時，y′＞0；當0.032＜x＜0.048時，y′＜0.因此，當x＝0.032時，y取得極大值，也是最大值，即當存款利率為3.2%時，銀行可獲得最大收益．答案：3.2%8．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比，假如在距離車站10千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和8萬元．那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站________千米處．解析：依題意可設每月土地占用費y1＝eq\f(k1,x)，每月庫存貨物的運費y2＝k2x，其中x是倉庫到車站的距離，k1，k2是比例系數．于是由2＝eq\f(k1,10)得k1＝20；由8＝10k2得k2＝eq\f(4,5).因此，兩項費用之和為y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)(x＞0)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．當0＜x＜5時，y′＜0；當x＞5時，y′＞0.因此，當x＝5時，y取得微小值，也是最小值．故當倉庫建在離車站5千米處時，兩項費用之和最?。鸢福?9．如圖所示，設鐵路AB＝50，B、C之間距離為10，現將貨物從A運往C，已知單位距離鐵路費用為2，大路費用為4，問在AB上何處修建大路至C，可使運費由A至C最省．解：設M為AB上的一點，且MB＝x，于是AM上的運費為2(50－x)，MC上的運費為4eq\r(102＋x2)，則由A到C的總運費為p(x)＝2(50－x)＋4eq\r(100＋x2)(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋eq\f(4x,\r(100＋x2))，令p′(x)＝0，解得x1＝eq\f(10,\r(3))，x2＝－eq\f(10,\r(3))(舍去)．當x＜eq\f(10,\r(3))時，p′(x)＜0；當x＞eq\f(10,\r(3))時，p′(x)＞0，故當x＝eq\f(10,\r(3))時，取得最小值．即當離點B距離為eq\f(10\r(3),3)的點M處修筑大路至C時，可使運費由A到C最?。?0．請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱外形的包裝盒，E，F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝x(cm)．(1)某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．解：設包裝盒的高為hcm，底面邊長為acm.由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當x＝15時，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.當x∈(0,20)時，V′>0；當x∈(20,30)時，V′<0，所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值．此時eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包裝盒的高與底面邊長的比值為eq\f(1,2).1．橫梁的強度和它的矩形橫斷面的高的平方與寬的乘積成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，則橫斷面的高和寬分別為()A.eq\r(3)d，eq\f(\r(3),3)d B.eq\f(\r(3),3)d，eq\f(\r(6),3)dC.eq\f(\r(6),3)d，eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(6),3)d，eq\r(3)d解析：選C.如圖所示，設矩形橫斷面的寬為x，高為y，由題意知，當xy2取最大值時，橫梁的強度最大．∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0＜x＜d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0＜x＜d)．求導數，得f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝eq\f(\r(3),3)d或x＝－eq\f(\r(3),3)d(舍去)．當0＜x＜eq\f(\r(3),3)d時，f′(x)＞0；當eq\f(\r(3),3)d＜x＜d時，f′(x)＜0，∴當x＝eq\f(\r(3),3)d時，f(x)取得極大值，也是最大值．∴當矩形橫斷面的高為eq\f(\r(6),3)d，寬為eq\f(\r(3),3)d時，橫梁的強度最大．2．將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S＝eq\f(梯形的周長2,梯形的面積)，則S的最小值是________．解析：設剪成的小正三角形的邊長為x，則S＝eq\f(3－x2,\f(1,2)·x＋1·\f(\r(3),2)·1－x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(3－x2,1－x2)(0＜x＜1)．法一：利用導數求函數最小值．S(x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(3－x2,1－x2)，S′(x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(2x－6·1－x2－3－x2·－2x,1－x22)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(－23x－1x－3,1－x22)，S′(x)＝0,0＜x＜1，x＝eq\f(1,3)，當x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))時，S′(x)＜0，遞減；當x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))時，S′(x)＞0，遞增；故當x＝eq\f(1,3)時，S的最小值是eq\f(32\r(3),3).法二：利用函數的方法求最小值．令3－x＝t，t∈(2,3)，eq\f(1,t)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，則S＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(t2,－t2＋6t－8)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(1,－\f(8,t2)＋\f(6,t)－1)，故當eq\f(1,t)＝eq\f(3,8)，x＝eq\f(1,3)時，S的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)3．有時可用函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1＋15ln\f(a,a－x)x≤6,\f(x－4.4,x－4)x＞6))，描述學習某學科學問的把握程度，其中x表示某學科學問的學習次數(x∈N*)，f(x)表示對該學科學問的把握程度，正實數a與學科學問有關．(1)證明：當x≥7時，把握程度的增加量f(x＋1)－f(x)總是下降；(2)依據閱歷，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]，當學習某學科學問6次時，把握程度是85%，請確定相應的學科．解：(1)證明：當x≥7時，f(x＋1)－f(x)＝eq\f(0.4,x－3x－4)，而當x≥7時，函數y＝(x－3)(x－4)單調遞增，且(x－3)(x－4)＞0，∴f(x＋1)－f(x)單調遞減，∴當x≥7時，把握程度的增加量f(x＋1)－f(x)總是下降．(2)由題意可知0.1＋15lneq\f(a,a－6)＝0.85，整理得eq\f(a,a－6)＝e0.05，解得a＝eq\f(e0.05,e0.05－1)×6≈20.50×6＝123∈(121,127]，由此可知，該學科是乙學科．4．兩縣城A和B相距20km，現方案在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建筑垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為xkm，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y.統(tǒng)計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k.當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.(1)將y表示成x的函數；(2)爭辯(1)中函數的單調性，并推斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由．解：(1)如圖，由題意知AC⊥BC，AC＝xkm，則BC2＝400－x2，y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(k,400－x2)(0＜x＜20)．由題意知，當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065，即當x＝10eq\r(2)時，y＝0.065，代入y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(k,400－x2)得k＝9.所以y表示成x的函數為y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)(0＜x＜20)．(2)由于y＝eq\f(4,x2)＋eq\f(9,400－x2)，所以y′＝－eq\f(8,x3)－eq\f(9×－2x