《狀元之路》2022屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)開卷速查-必修部分67-離散型隨機(jī)變量及其分布列

開卷速查(六十七)離散型隨機(jī)變量及其分布列A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練1．某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)狀況，隨機(jī)抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)依據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．解析：(1)依據(jù)頻率分布直方圖可知，質(zhì)量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.(2)Y的可能取值為0,1,2，且Y聽從參數(shù)為N＝40，M＝12，n＝2的超幾何分布，故P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,12)C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,12)C\o\al(0,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(11,130).所以Y的分布列為Y012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)2.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測(cè)，每一件一等品都能通過(guò)檢測(cè)，每一件二等品通過(guò)檢測(cè)的概率為eq\f(2,3).現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)隨機(jī)選取1件產(chǎn)品，求能夠通過(guò)檢測(cè)的概率；(2)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為X，求X的分布列；(3)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，求這3件產(chǎn)品都不能通過(guò)檢測(cè)的概率．解析：(1)設(shè)隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，能夠通過(guò)檢測(cè)的大事為A，大事A等于大事“選取一等品都通過(guò)檢測(cè)或者是選取二等品通過(guò)檢測(cè)”，∴P(A)＝eq\f(6,10)＋eq\f(4,10)×eq\f(2,3)＝eq\f(13,15).(2)由題可知X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).∴X的分布列如下：X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(3)設(shè)“隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都不能通過(guò)檢測(cè)”的大事為B，大事B等于大事“隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過(guò)檢測(cè)”，所以，P(B)＝eq\f(1,30)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,810).B級(jí)力氣提升練3．一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選1個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分”．某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有2道題都可推斷2個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有1道題可以推斷1個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有1道題因不理解題意只好亂猜．懇求出該考生：(1)得60分的概率；(2)所得分?jǐn)?shù)X的分布列．解析：(1)設(shè)“選對(duì)可推斷2個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的2道題之一”為大事A，“選對(duì)可推斷1個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的1道題”為大事B，“選對(duì)不理解題意的1道題”為大事C.則P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，所以得60分的概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,48).(2)依題意得，所得分?jǐn)?shù)X可能的取值為40,45,50,55,60.P(X＝40)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；P(X＝45)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(17,48)；P(X＝50)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(17,48)；P(X＝55)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(7,48)；P(X＝60)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,48).所以所得分?jǐn)?shù)X的分布列為：X4045505560Peq\f(1,8)eq\f(17,48)eq\f(17,48)eq\f(7,48)eq\f(1,48)4.2022年10月1日，為慶祝中華人民共和國(guó)成立65周年，來(lái)自北京高校和清華高校的6名高校生志愿者被隨機(jī)平均支配到天安門廣場(chǎng)運(yùn)送礦泉水、打掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有1名北京高校志愿者的概率是eq\f(3,5).(1)求打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京高校、清華高校志愿者各1名的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量ξ為在維持秩序崗位服務(wù)的北京高校志愿者的人數(shù)，求ξ的分布列．解析：(1)記“至少有1名北京高校志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”為大事A，則大事A的對(duì)立大事為“沒有北京高校志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”，設(shè)有北京高校志愿者x名，1≤x<6，那么P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,6－x),C\o\al(2,6))＝eq\f(3,5)，解得x＝2，即來(lái)自北京高校的志愿者有2名，來(lái)自清華高校的志愿者有4名．記“打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京高校、清華高校志愿者各1名”為大事B，則P(B)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，所以打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京高校、清華高校志愿者各1名的概率是eq\f(8,15).(2)在維持秩序崗位服務(wù)的北京高校志愿者的人數(shù)ξ聽從超幾何分布，其中N＝6，M＝2，n＝2，于是P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)C\o\al(2－k,4),C\o\al(2,6))，k＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P