【名師一號(hào)】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：第二章-函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2-11-

第十一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導(dǎo)數(shù)為()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案C2．已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝t2＋eq\f(3,t)(t是時(shí)間，s是位移)，則物體在時(shí)刻t＝2時(shí)的速度為()A.eq\f(19,4) B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4) D.eq\f(13,4)解析∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).答案D3．(2022·大綱全國(guó)卷)曲線y＝xex－1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1解析∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1.∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝e0＋e0＝2，選C.答案C4．(2021·山東煙臺(tái)期末)若點(diǎn)P是函數(shù)y＝ex－e－x－3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2)))圖象上任意一點(diǎn)，且在點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則α的最小值是()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，k＝y(tǒng)′＝ex＋e－x－3≥2eq\r(ex·e－x)－3＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是eq\f(3π,4)，故選B.答案B5．(2022·重慶七校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率是()A．2 B．1C．3 D．－2解析由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8兩邊求導(dǎo)，得f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8.令x＝1得f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8?f′(1)＝2，∴k＝2.答案A6．已知函數(shù)f(x)＝x2的圖象在點(diǎn)A(x1，f(x1))與點(diǎn)B(x2，f(x2))處的切線相互垂直，并交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)) B．(0，－4)C．(2,3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,4)))解析由題，A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))，f′(x)＝2x，則過A，B兩點(diǎn)的切線斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切線相互垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－eq\f(1,4).兩條切線方程分別為l1：y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)，l2：y＝2x2x－xeq\o\al(2,2)，聯(lián)立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0，由于x1≠x2，所以x＝eq\f(x1＋x2,2)，代入l1，解得y＝x1x2＝－eq\f(1,4)，故選D.答案D二、填空題7．若曲線y＝eq\f(3,2)x2＋x－eq\f(1,2)的某一切線與直線y＝4x＋3平行，則切線方程為________．解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝3x0＋1,3x0＋1＝4?x0＝1.又y0＝eq\f(3,2)xeq\o\al(2,0)＋x0－eq\f(1,2)＝2，則切點(diǎn)為(1,2)，故切線的方程為y－2＝4(x－1)?y＝4x－2.答案y＝4x－28．(2022·陜西五校聯(lián)考)已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b切于點(diǎn)(1,3)，則b的值為________．解析點(diǎn)(1,3)既在直線y＝kx＋1上，也在曲線y＝x3＋ax＋b上，代入解得k＝2，a＋b＝2，又y′|x＝1＝2，∴3＋a＝2，解得a＝－1.∴b＝3.答案39．已知函數(shù)f(x)＝xn＋1(n∈N*)的圖象與直線x＝1交于點(diǎn)P，若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn則log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013的值為________．解析f′(x)＝(n＋1)xn，∴f′(1)＝n＋1.又P(1,1)，∴切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，∴x1x2x3…x2013＝eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(3,4)…eq\f(2013,2014)＝eq\f(1,2014).∴l(xiāng)og2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013＝log2014x1x2x3…x2013＝log2014eq\f(1,2014)＝－1.答案－1三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程．解(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，過點(diǎn)P且以P(1，－2)為切點(diǎn)的直線的斜率f′(1)＝0，∴所求的直線方程為y＝－2.(2)設(shè)過P(1，－2)的直線l與y＝f(x)切于另一點(diǎn)(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3.又直線過(x0，y0)，P(1，－2)．故其斜率可表示為eq\f(y0－－2,x0－1)＝eq\f(x\o\al(3,0)－3x0＋2,x0－1).又eq\f(x\o\al(3,0)－3x0＋2,x0－1)＝3xeq\o\al(2,0)－3，即xeq\o\al(3,0)－3x0＋2＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2)，故所求直線的斜率為k＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－1))＝－eq\f(9,4).∴y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即9x＋4y－1＝0.11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為－3，求a，b的值．(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))解得b＝0，a＝－3或1.(2)∵曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，∴關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0.∴a≠－eq\f(1,2).∴a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．設(shè)函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx的圖象在點(diǎn)(t，f(t))處切線的斜率為k，則函數(shù)k＝g(t)的部分圖象為()解析∵f(x)＝xsinx＋cosx，∴f′(x)＝xcosx，∴k＝g(t)＝tcost.g(t)為奇函數(shù)且當(dāng)0<t<π時(shí)，g(t)>0，故選B.答案B2．函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．解析由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，所以函數(shù)y＝x2(x>0)在點(diǎn)(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線方程為y－aeq\o\al(2,k)＝2ak(x－ak)，當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝eq\f(ak,2)，所以ak＋1＝eq\f(ak,2)，所以{ak}是首項(xiàng)為16，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以a1＋a3＋a5＝16＋16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝21.答案213．(2021·漢城國(guó)際學(xué)校調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2的圖象在點(diǎn)(－1,2)處的切線恰好與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________．解析∵f(x)＝mx3＋nx2，f′(x)＝3mx2＋2nx，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－m＋n＝2，,f′－1＝3m－2n＝－3，))∴m＝1，n＝3.∴f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)．由f′(x)<0，得－2<x<0.由題意，得[t，t＋1]?[－2,0]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥－2，,t＋1≤0，))∴－2≤t≤－1.答案[－2，－1]4．(2022·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值；(2)若過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍；(3)問過點(diǎn)A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結(jié)論)解(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－eq\f(\r(2),2)或x＝eq\f(\r(2),2).由于f(－2)＝－10，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝eq\r(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝－eq\r(2)，f(1)＝－1.所以f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝eq\r(2).(2)設(shè)過點(diǎn)P(1，t)的直線與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)(x0，y0)．則y0＝2xeq\o\al(3,0)－3x0，且切線斜率為k＝6xeq\o\al(2,0)－3，所以切線方程為y－y0＝(6xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)．因此t－y0＝(6xeq\o\al(2,0)－3)(1－x0)．整理得4xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋t＋3＝0.設(shè)g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，則“過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”．g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，g(x)與g′(x)的狀況如下：所以g(0)＝t＋3是g(x)的極大值，g(1)＝t＋1是g(x)的微小值．當(dāng)g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(－∞，1]和(1，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1時(shí)，此時(shí)g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<