四川省綿陽(yáng)市綿陽(yáng)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題 含解析

綿陽(yáng)中學(xué)高2024級(jí)高一上期期末模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題命題人：謝興欄，審題李勇丁勝杰第I卷（選擇題）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合，再利用并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榛?，，所以或，故選：D.2.下列函數(shù)中，與函數(shù)相等的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)相等的判斷方法，即從函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則一一分析即可.【詳解】的定義域?yàn)镽，對(duì)于A，，定義域?yàn)镽，與不是相等函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，定義域?yàn)镽，與是相等函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.3.已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的半徑為（）A.6 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用扇形面積公式列方程求半徑.【詳解】設(shè)扇形的圓心角大小為，半徑為r，，由題意得：扇形的面積為，可得，解得．故選：A4.若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定冪函數(shù)的解析式，再求給定函數(shù)的定義域.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，由.所以.由，所以所求函數(shù)定義域?yàn)椋?故選：B5.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，則，又，所以，所以.所以.故選：D6.美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡(jiǎn)化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時(shí)間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時(shí)該植物的高為1米，經(jīng)過(guò)一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過(guò)2.8米，至少需要（）年．A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)有，即可求參數(shù)、的值，進(jìn)而判斷的單調(diào)性且，即可判斷植物的高度超過(guò)至少需要多少年.【詳解】依題意可得，則，解得，∴，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，且，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，而，，即，∴該植物的高度超過(guò)，至少需要年.故選：C.7.已知，且，則的最小值是（）A. B.5 C. D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.【詳解】，，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為7.故選：D.8.已知函數(shù)，若的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意作出分段函數(shù)的圖象，根據(jù)題意結(jié)合圖象，即得的取值范圍.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象如圖：因無(wú)解；由解得；由解得，由解得或.結(jié)合圖象，要使函數(shù)的值域?yàn)?，需?故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的值域問(wèn)題，屬于難題.求解分段函數(shù)的值域單調(diào)性問(wèn)題，一般采用數(shù)形結(jié)合的方法，易于發(fā)現(xiàn)參數(shù)的取值范圍，是解決本題的一個(gè)很好的方法.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.B.“”是“”成立的充分不必要條件C.命題“”的否定是“”D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷A的真假；根據(jù)充分不必要條件的判斷方法進(jìn)行判斷；根據(jù)存在量詞命題的否定形式判斷C的真假；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由“”可得“”，但“”得不到“”，所以“”是“”成立的充分不必要條件，故B正確；對(duì)C：存在量詞命題“”的否定時(shí)全稱量詞命題“”，故C正確；對(duì)D：由可得，，且，所以，即，故D正確.故選：BCD.10.若函數(shù)，定義域?yàn)?，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱B.，使C.在和上單調(diào)遞減D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性判斷A；令，求出的值和定義域比較判斷B；分別在和研究函數(shù)單調(diào)性判斷C；求出函數(shù)的值域判斷D.【詳解】對(duì)于A，，定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，則，即，解得，與定義域矛盾，所以不存在，使，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)楫?dāng)和，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，，因?yàn)榍遥瑒t且，所以且，即且，所以的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤，故選：AC.11.設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則以下結(jié)論中正確的是（）A.在上有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)B.在上有且僅有2個(gè)最小值點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增D.的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】將看成整體角，根據(jù)題意得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象觀察分析求得，且易得在上有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)，但最小值點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定，最后由推得，根據(jù)求得的判斷的范圍能確保單調(diào)遞增即得.【詳解】設(shè)，由，可得，作出的圖象如圖，要使在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，須使，解得：，故D項(xiàng)正確；對(duì)于A項(xiàng)，由圖可知時(shí)，，在此區(qū)間上函數(shù)有且僅有3個(gè)最大值點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由圖可知時(shí)，，在此區(qū)間上，函數(shù)的最小值點(diǎn)可能有2個(gè)或3個(gè)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由上分析知，則，即，而此時(shí)單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確.故選：ACD．第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案直接填在答題卷中的橫線上.12.__________.【答案】【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值即可求解.【詳解】，故答案為：13.已知函數(shù)，則使得不等式成立的的取值集合為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，解不等式可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).所以，所以.故答案為：14.已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，若，則__________.【答案】##【解析】【分析】采用“賦值法”求函數(shù)值.【詳解】令得：；令得：；令得：；令，得：.所以.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，集?（1）求集合，并求；（2）記集合，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（1），，（2）【解析】【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，由二次不等式可得，再由集合的交集、補(bǔ)集的概念即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件為，按照、分類，運(yùn)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又，或，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則；綜上：a的取值范圍是.16.如圖所示，將一矩形花壇擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇，要求在上，在上，且對(duì)角線過(guò)點(diǎn)，已知米，米.（1）要使矩形的面積大于32平方米，則的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍？（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，矩形花壇的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?【答案】（1）的長(zhǎng)應(yīng)在（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為米，矩形花壇的面積最小，最小值平方米【解析】【分析】（1）設(shè)出米，則米，求出矩形面積的表達(dá)式，根據(jù)矩形的面積大于32平方米解不等式可得答案；（2）利用基本不等式求解可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則由與相似得，整理得，矩形的面積，即，當(dāng)時(shí)，得，整理得，解得，或，又，所以的長(zhǎng)應(yīng)在；【小問(wèn)2詳解】時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為米，矩形花壇的面積最小，最小值平方米.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若不等式在上有解，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）換元令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.（2）換元令，整理可得在上有解，根據(jù)存在性問(wèn)題分析求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由?duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，令，，函數(shù)，，函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，，不等式，則在上有解，即在上有解，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍是.18.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩條對(duì)稱軸間的距離的最小值為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若關(guān)于的方程在上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的值.【答案】（1）（2）（3）取值范圍：，的值為：或.【解析】【分析】（1）由圖像過(guò)點(diǎn)求得的值，由兩條對(duì)稱軸間的距離的最小值為，求得的值，從而求得函數(shù)的解析式；（2）令求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，然后取為和后得到在內(nèi)的區(qū)間，從而寫出單調(diào)遞增區(qū)間；（3）由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且存在兩條對(duì)稱軸分別為和，由函數(shù)大致圖像得到的取值范圍，并得到的值.【小問(wèn)1詳解】∵的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴或，∵，∴，令，解得，∵兩條對(duì)稱軸間的距離的最小值為，∴，且，∴，∴【小問(wèn)2詳解】令，解得，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，又∵，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)存在兩條對(duì)稱軸分別為和，，，，函數(shù)大致圖像為：∵有且僅有兩個(gè)實(shí)根，即有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示由圖像可知的取值范圍：，由三角函數(shù)的對(duì)稱性可知的值為：或.19.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?；?）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意，都存在，使得成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由題意可得對(duì)任意都成立，分與討論，利用判別式法列不等式即可求解.（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)性，求解a的取值范圍.；（3）由題意，根據(jù)題意可得即可.令，則，令，．由對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系討論即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t不等式對(duì)任意都成立．①當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?，不合題意；②當(dāng)時(shí)，欲使不等式即對(duì)任意都成立，則，即，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞減，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，由題意得，解得．綜上a的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)