2023-2024學(xué)年上海交大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年上海交大附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={x|x2?5x+6>0}，B={x|x?1<0}，則A∩B=A.{x|x<1} B.{x|?2<x<1}

C.{x|?3<x<?1} D.{x|x>3}2.函數(shù)f(x)=lnx?4x+1的零點(diǎn)所在區(qū)間為A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)3.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且關(guān)于x的二次方程x2?2x+lg(c2A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形4.已知f(x)=x3+x+52x+2?x，x∈R，對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，給出以下命題：

命題①：若a+b≥0，則f(a)+f(b)≥0；

命題②：若A.①為真命題；②為真命題 B.①為真命題；②為假命題

C.①為假命題；②為真命題 D.①為假命題；②為假命題二、填空題：本題共12小題，共54分。5.設(shè)全集U={x|?1≤x≤7,x∈Z}，A={1,3,5,7}，則A?=______．6.不等式2x?13x+1>0的解集是______．7.折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB=2π3，OA=3OC=3，則扇面(曲邊四邊形ABDC)的面積是

．

8.要使關(guān)于α的方程sinα?3cosα=m有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m9.已知cosθtanθ<0，sinθtanθ<0，則角θ10.已知tanα=2，則sin2α+2sinαcosα=______．11.已知tan(α+β)=4，tan(α?β)=2，則sin4α的值為______．12.已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=?15，則tanθ=

．13.已知函數(shù)y=loga(kx2?4kx+1?k)的定義域?yàn)?4.已知f(x)=3+(a?1)x,x<0a+ax,x≥0(a>0且a≠1)，若15.已知f(x)=|lg|2?x||，有下列命題：

①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,2)上是嚴(yán)格增函數(shù)；

②函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=2成軸對(duì)稱；

③函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)；

④若x1≠x2，但f(x16.設(shè)a1、a2、a3均為正數(shù)且a12+a三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知f(α)=cos(π?α)sin(?α?π)sin(α?π2)cos(3π2+α)tan(π?α)．18.(本小題14分)

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米時(shí))的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)，研究表明，當(dāng)20<x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)0<x≤200時(shí)，求車流速度v關(guān)于車流密度x的函數(shù)v(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)=x?v(x)可以達(dá)到最大？最大值是多少(精確到1輛/時(shí))？19.(本小題14分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且2cos2A+4cos(B+C)+3=0．

(1)求cosA；

(2)若a=1，△ABC的周長(zhǎng)為3，求△ABC的面積S．20.(本小題18分)

已知f(x)=ax2?2ax+1+b(a>0)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1．

(1)求a、b的值；

(2)若不等式f(2x)?k?4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)21.(本小題18分)

已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=|x?a|+|x?2a|?m2，其中a，m為實(shí)數(shù)，且a>0.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求實(shí)數(shù)m；

(2)若對(duì)任意x∈R，f(x?1)≤f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)試求滿足f(4a?1)=f(10a?3)的所有的實(shí)數(shù)a的值．參考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.{?1,0,2,4,6}

6.{x|x<?13或7.8π38.[?2,2]

9.三

10.8511.?8412.?313.[0,114.[2,+∞)

15.①②③

16.(?∞,5+317.解：(1)f(α)=cos(π?α)sin(?α?π)sin(α?π2)cos(3π2+α)tan(π?α)=?cosαsinα?cosα18.解

(I)由題意，得

當(dāng)0<x≤20時(shí)，v(x)=60；

當(dāng)20<x≤200時(shí)，設(shè)v(x)=ax+b，由已知，得200a+b=020a+b=60，

解得a=?13b=2003，

故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)=60,0<x≤2013(200?x),20<x≤200，

(II)依題意，并由(I)得f(x)=6013x(200?x),20<x≤200，

當(dāng)0<x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x≤20時(shí)，函數(shù)值不超過1200；

當(dāng)20<x≤200時(shí)，f(x)=13x(200?x)=?13(x?100)2+100003，19.解：(1)因?yàn)?cos2A+4cos(B+C)+3=0，

所以2(2cos2A?1)?4cosA+3=0，

所以4cos2A?4cosA+1=0，

所以(2cosA?1)2=0，解得cosA=12；

(2)因?yàn)閍=1，△ABC的周長(zhǎng)為3，

所以b+c=2，

由余弦定理有：a2=b2+c220.解：(1)函數(shù)f(x)=ax2?2ax+1+b=a(x?1)2+1+b?a，

因?yàn)閍>0，對(duì)稱軸為x=1，所以f(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù)，

所以f(2)=1f(3)=4，即b+1=13a+b+1=4，解得a=1b=0．

故a=1，b=0．

(2)由(1)得f(x)=x2?2x+1，

則不等式f(2x)?k?4x≥0為4x?2×2x+1?k?4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，

即k≤14x?22x+1=(12x?1)2在x∈[1,+∞)上恒成立，

又x∈[1,+∞)時(shí)，12x∈(0,12]，則12x?1∈(?1,?12],

所以(12x?1)2∈[21.解：(1)a=1時(shí)，f(x)=|x?1|+|x?2|?m2，

因?yàn)閥=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，

即|?1|+|?2|?m2=0，解得m=3，

(2)a>0，由題意得f(0)=a+2a?m2=0，解得m=3a，

當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=|x?a|+|x?2a|?3a2=x?3a,x>2a?a,a≤x≤2a?x,x<a，

畫出x∈R上的函數(shù)f(x)的圖象，

令x?3a=m，得x=m+3a；令x+3a=m，得x=m?3a，

結(jié)合圖象，要想f(x?1)≤f(x)恒成立，

只需m+3a?(?3a+m)≤1，解得a≤16，

又a>0，故0<a≤16，

所以a的取值范圍為{a|0<a≤16}.

(3)當(dāng)a=13時(shí)，10a?3=4a?1，f(4a?1)=f(10a?3)，滿足要求，

令x?3a=a，解得x=4a，令x+3a=?a，解得x=?4a，

若?2a≤10a?3≤?a，?2a≤4a?1≤?a，無(wú)解，

若a≤10a?3≤2a，a≤4a?1≤2a，解得13≤a≤3