中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)基礎(chǔ)知識》專項檢測卷含答案

第第頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《函數(shù)基礎(chǔ)知識》專項檢測卷含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一．解答題（共20小題）1．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點，觀察圖中每一個正方形邊上的整點的個數(shù)，按此規(guī)律計算出由里向外的第n個正方形（實線）四邊上的整點個數(shù)的總和m．（1）題中有幾個變量？（2）你能寫出變量之間的關(guān)系嗎？（3）請你按此規(guī)律計算出由里向外第2023個正方形（實線）四邊上的整點個數(shù)的總和是多少？（4）按此規(guī)律由里向外是否存在四邊上的整點個數(shù)的總和為102個的正方形？2．如圖①，在四邊形AOBC中，AC∥OB，若動點P從點O處以每秒1個單位長度的速度向B點平移，過點P作垂直于OB的直線，設(shè)直線掃過的陰影部分的面積為S，運動時間為x（t），已知S與x的函數(shù)關(guān)系可用如圖②的函數(shù)圖象表示．（1）求出圖②中a、b的值；（2）連接AP，在運動過程中是否存在某個時間x使得△OAP為等腰三角形？如果存在，求出此時x的值；如果不存在，請說明理由．3．下列圖案是邊長相等的黑，白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第x個圖案中白色小正方形的個數(shù)為y．（1）第2個圖案中有個白色的小正方形；第3個圖案中有個白色的小正方形；y與x之間的函數(shù)表達式為（直接寫出結(jié)果）．（2）是否存在這樣的圖案，使白色小方形的個數(shù)為2021個？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，說明理由．4．下列圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第x個圖案中白色正方形的個數(shù)為y．（1）y與x之間的函數(shù)表達式為（直接寫出結(jié)果）．（2）是否存在這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2018個？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，說明理由．5．如圖，邊長為2的正方形ABCD，一點P從A點出發(fā)沿AB﹣BC以每秒1個單位的速度運動到C點，設(shè)運動時間為x秒，四邊形APCD的面積為y．（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；（2）是否存在時間x，使四邊形APCD的面積為2.5？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．6．如圖所示的圖案由邊長相等的黑、白兩色的正方形較一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第n個圖案中白色正方形的個數(shù)為S．（1）S是n的函數(shù)嗎？如果是，請寫出S與n之間的關(guān)系．（2）是否存在這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2023？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，請說明理由．7．下列圖案是邊長相等的黑，白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第x個圖案中白色小正方形的個數(shù)為y．（1）第2個圖案中有個白色的小正方形；第3個圖案中有個白色的小正方形；y與x之間的函數(shù)表達式為（直接寫出結(jié)果）．（2）是否存在這樣的圖案，使白色小方形的個數(shù)為2019個？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，說明理由．8．如圖，在邊長為4的正方形ABCD的一邊BC上，一點P從點B運動到點C，設(shè)BP＝x，四邊形APCD的面積為y．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；（2）是否存在點P，使四邊形APCD的面積為5.5，請解答說明．9．如圖是一個“函數(shù)求值機”的示意圖．其中y是x的函數(shù)．下面表格中，是通過該“函數(shù)求值機”得到的幾組x與y的對應(yīng)值．輸入x…﹣202…8…輸出y…﹣2﹣10…﹣1…根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）當(dāng)輸入的x的值為6時，此時輸出的y的值為；（2）當(dāng)輸出的y的值滿足﹣2≤y＜﹣1時，求輸入的x的值的取值范圍；（3）若輸入x的值分別為m，m+4，對應(yīng)輸出y的值分別為y1，y2，是否存在實數(shù)m，使得y1＞y2恒成立？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．10．如圖是一個“函數(shù)求值機”的示意圖，其中y是x的函數(shù)．下面表格中，是通過該“函數(shù)求值機”得到的幾組x與y的對應(yīng)值．輸入x…﹣202…8…輸出y…﹣2﹣10…﹣1…根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）當(dāng)輸入的x的值為6時，此時輸出的y的值為；（2）當(dāng)輸出的y的值滿足﹣2≤y＜﹣1時，求輸入的x的值的取值范圍；（3）若輸入x的值分別為m，m+3，對應(yīng)輸出y的值分別為y1，y2，是否存在實數(shù)m，使得y1＞y2恒成立？若存在，請直接寫出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．11．已知：平面坐標系內(nèi)點P（x，y）和點A（0，1），點P到點A的距離始終等于點P到x軸的距離．（1）請你求出點P滿足的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果（1）中求出的函數(shù)圖象記為L，L′是L沿著水平方向平移得到的，若點M在L上，點N是L平移后點M的對應(yīng)點，點Q是x軸上的點．是否存在這樣的點M，使得以M、N、O、Q為頂點的四邊形是有一個內(nèi)角為60°且的菱形？若存在，請你求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．12．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點（0，5），且過點，先求拋物線的解析式，再解決下列問題：【應(yīng)用】問題1，如圖2，線段AB＝d（定值），將其彎折成互相垂直的兩段AC、CB后，設(shè)A、B兩點的距離為x，由A、B、C三點組成圖形面積為S，且S與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（拋物線y＝ax2+bx+c上MN之間的部分，M在x軸上）：（1）填空：線段AB的長度d＝；彎折后A、B兩點的距離x的取值范圍是；若S＝3，則是否存在點C，將AB分成兩段（填“能”或“不能”）；若面積S＝1.5時，點C將線段AB分成兩段的長分別是；（2）探究：在如圖1中，以原點O為圓心，A、B兩點的距離x為半徑的⊙O；畫出點C分AB所得兩段AC與CB的函數(shù)圖象（線段）；設(shè)圓心O到該函數(shù)圖象的距離為h，求h的值，探究該函數(shù)圖象與⊙O的位置關(guān)系．13．觀察圖形，解決問題：（1）圖⑩中黑色正方形的個數(shù)是，白色正方形的個數(shù)是；（2）設(shè)第x個圖中黑色正方形的個數(shù)為y1，白色正方形的個數(shù)為y2，求y1、y2與x的函數(shù)表達式；（3）是否存在這樣的圖形，使圖中黑色正方形的個數(shù)和白色正方形的個數(shù)相等？若存在，請指出是第幾個圖；若不存在，請說明你的理由．14．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B向點B運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），（1）在AC上是否存在點P使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；（2）若點P恰好在△ABC的角平分線上，請直接寫出t的值．15．如圖所示的圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第x個圖案中白色正方形的個數(shù)為y．（1）y與x之間的關(guān)系式為．（2）是否存在這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2023？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，請說明理由．16．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，動點P從C點出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿CA、AB運動到B點．（1）設(shè)點P從點C開始運動的路程為xcm，△BCP面積是ycm2，把y表示成x的函數(shù)；（2）是否存在點P，使S△BCP＝S△ABC？若存在，求出此時從C出發(fā)到P的時間；若不存在，請說明理由．17．如圖，已知直角梯形ABCD，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝7cm，BC＝4cm，CD＝10cm，DA＝5cm．點P從點A開始沿直角梯形的邊以1cm/s的速度勻速運動：即由點A﹣B﹣C﹣D﹣A（回到點A），設(shè)△APD的面積為S（cm2），點P運動的時間為t（s）．（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并注明t的取值范圍；（2）畫出S關(guān)于t的函數(shù)圖象；（3）點P出發(fā)多長時間使△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半？（4）S是否存在最大值？若存在，何時最大，最大值是多少？18．已知y是關(guān)于x的函數(shù)，若存在x＝p時，函數(shù)值y＝﹣p，則稱函數(shù)y是關(guān)于x的倩影函數(shù)，此時點（p，﹣p）叫該倩影函數(shù)的影像點．（1）判斷函數(shù)y＝﹣是否為倩影函數(shù)，如果是，請求出影像點，如果不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)y＝﹣+2x﹣k（k≠0）；①求證：該函數(shù)總有兩個不同的影像點；②是否存在一個k值，使得函數(shù)y＝﹣+2x﹣k（k≠0）的影像點的橫坐標x1，x2都為整數(shù)，如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．19．如圖，邊長為2的正方形ABCD，一點P從A點出發(fā)沿AB﹣BC以每秒1個單位速度運動到C點，設(shè)運動的時間為x秒，四邊形APCD的面積為y．（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；（2）說明是否存在時間x，使四邊形APCD的面積為2.5？20．有一根直尺，短邊的長為2cm，長邊的長為10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm．如圖①，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點D與點A重合，將直尺沿AB方向平移，如圖②．設(shè)平移的長度為xcm，且滿足0≤x≤10，直尺與直角三角形紙板重合部分的面積（即圖中陰影部分）為Scm2．（1）當(dāng)x＝0時，S＝；當(dāng)x＝4時，S＝；當(dāng)x＝10時，S＝．（2）是否存在一個位置，使陰影部分的面積為11cm2？若存在，求出此時x的值．參考答案與試題解析一．解答題（共20小題）1．在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點，觀察圖中每一個正方形邊上的整點的個數(shù)，按此規(guī)律計算出由里向外的第n個正方形（實線）四邊上的整點個數(shù)的總和m．（1）題中有幾個變量？（2）你能寫出變量之間的關(guān)系嗎？（3）請你按此規(guī)律計算出由里向外第2023個正方形（實線）四邊上的整點個數(shù)的總和是多少？（4）按此規(guī)律由里向外是否存在四邊上的整點個數(shù)的總和為102個的正方形？【分析】（1）根據(jù)題意找到正方形的個數(shù)，整點個數(shù)的總和是變量；（2）列舉正方形的個數(shù)與四邊上整點個數(shù)，再找到4倍的規(guī)律；（3）用正方形的個數(shù)與四邊上整點個數(shù)4倍的規(guī)律求答案；（4）把102代入4n中，再根據(jù)正方形的個數(shù)是整數(shù)來分析是否存在．【解答】解（1）題中有兩個變量：正方形的個數(shù)，整點個數(shù)的總和；（2）第一個正方形的四邊上的整點個數(shù)：4×1＝4，第二個正方形的四邊上的整點個數(shù)：4×2＝8，第n個正方形的四邊上的整點個數(shù)：4n，即：m＝4n；（3）2023×4＝8092；（4）如果4n＝102，n＝25.5，n是正方形的個數(shù)，應(yīng)是整數(shù)，所以不存在．【點評】本題考查了圖形與代數(shù)式的結(jié)合，關(guān)鍵找到正方形的個數(shù)與四邊上整點個數(shù)的規(guī)律．2．如圖①，在四邊形AOBC中，AC∥OB，若動點P從點O處以每秒1個單位長度的速度向B點平移，過點P作垂直于OB的直線，設(shè)直線掃過的陰影部分的面積為S，運動時間為x（t），已知S與x的函數(shù)關(guān)系可用如圖②的函數(shù)圖象表示．（1）求出圖②中a、b的值；（2）連接AP，在運動過程中是否存在某個時間x使得△OAP為等腰三角形？如果存在，求出此時x的值；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）如圖①中，作AE⊥OB于E，CF⊥OB于F，則四邊形AECF是矩形，由圖②求出OE、EF、FB、AE即可解決問題．（2）如圖②中，分兩種情形①OP1＝P1A時，設(shè)OP1＝AP1＝x，在RT△AP1E中，利用勾股定理即可解決，②當(dāng)OA＝AP2時，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：（1）如圖①中，作AE⊥OB于E，CF⊥OB于F，則四邊形AECF是矩形，由圖象②可知：OE＝2，AE＝CF＝1，EF＝AC＝4，F(xiàn)B＝1，∴a＝S△AOE+S矩形AECF＝1+4＝5，b＝OB＝2+4+1＝7．（2）如圖②中，①OP1＝P1A時，設(shè)OP1＝AP1＝x，在RT△AP1E中，∵∠AEP1＝90°，AE＝1，AP1＝x，P1E＝2﹣x，∴x2＝12+（2﹣x）2，∴x＝，∴t＝．②當(dāng)OA＝AP2時，OE＝EP2＝2，∴OP2＝4，∴t＝4．綜上所述t＝或4時△OAP是等腰三角形．【點評】本題考查動點問題函數(shù)圖象、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確認識圖形讀懂圖象信息，學(xué)會分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中考常考題型．3．下列圖案是邊長相等的黑，白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第x個圖案中白色小正方形的個數(shù)為y．（1）第2個圖案中有13個白色的小正方形；第3個圖案中有18個白色的小正方形；y與x之間的函數(shù)表達式為y＝5x+3（直接寫出結(jié)果）．（2）是否存在這樣的圖案，使白色小方形的個數(shù)為2021個？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)圖案中每行小正方形個數(shù)變化規(guī)律為3，5，7，每列小正方形個數(shù)不變?yōu)?個，則第x個小正方形的個數(shù)為（2x+1）×3個，黑色小正方形為x個，列式計算即可得出答案；（2）把2021代入（1）中的結(jié)論中，若x的值為整數(shù)，則存在這樣的圖案，反之則不存在．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，第2個圖案中白色正方形有3×5﹣2＝13個，第3個圖案中白色正方形有3×7﹣3＝18個，y與x之間的函數(shù)表達式為：y＝（2x+1）×3﹣x＝5x+3；故答案為：13，18，y＝5x+3；（2）不存在這樣的圖案．理由：根據(jù)題意可得，設(shè)存在這樣的圖案，使白色小方形的個數(shù)為2021個，則5x+3＝2021，解得：x＝，因為不是整數(shù)，所以不存在這樣的圖案，使白色小方形的個數(shù)為2021個．【點評】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式及圖形的變化規(guī)律，熟練掌握函數(shù)關(guān)系式及圖形的變化規(guī)律進行求解是解決本題的關(guān)鍵．4．下列圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第x個圖案中白色正方形的個數(shù)為y．（1）y與x之間的函數(shù)表達式為y＝5x+3（直接寫出結(jié)果）．（2）是否存在這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2018個？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，說明理由．【分析】（1）第1個圖形：y＝3×3﹣1，第2個圖形：y＝3×5﹣2，第3個圖形：y＝3×7﹣3，…以此類推，第x個圖形：y＝3（2x+1）﹣x＝5x+3，即可得到答案，（2）把y＝2018代入（1）求得的關(guān)系式中，得到關(guān)于x的一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）第1個圖形：y＝3×3﹣1，第2個圖形：y＝3×5﹣2，第3個圖形：y＝3×7﹣3，…第x個圖形：y＝3（2x+1）﹣x＝5x+3，即y與x的函數(shù)表達式為：y＝5x+3，故答案為：y＝5x+3．（2）存在這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2018個由題意得：5x+3＝2018，解得：x＝403．∴第403個圖案，使得白色正方形的個數(shù)是2018個．【點評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式和規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵：（1）正確掌握圖形之間的規(guī)律進行猜想歸納，（2）正確掌握解一元一次方程的方法．5．如圖，邊長為2的正方形ABCD，一點P從A點出發(fā)沿AB﹣BC以每秒1個單位的速度運動到C點，設(shè)運動時間為x秒，四邊形APCD的面積為y．（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；（2）是否存在時間x，使四邊形APCD的面積為2.5？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)點P的位置，確定自變量的取值范圍，再根據(jù)梯形的面積公式進行計算即可；（2）分別將y＝2.5代入（1）中的兩個函數(shù)關(guān)系式求出t的值即可．【解答】解：（1）當(dāng)點P在AB上時，即0＜x≤2，y＝（x+2）×2＝x+2，當(dāng)點P在BC上時，即2＜x≤4，y＝（4﹣x+2）×2＝6﹣x，答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝x+2（0＜x≤2）或y＝6﹣x（2＜x≤4）；（2）存在，理由如下：當(dāng)y＝2.5，即2.5＝x+2或2.5＝6﹣x，解得x＝0.5或x＝3.5，即當(dāng)x＝0.5或x＝3.5，四邊形APCD的面積為2.5．【點評】本題考查函數(shù)關(guān)系式以及自變量的取值范圍，理解題目中的數(shù)量關(guān)系是得出函數(shù)關(guān)系式的前提．6．如圖所示的圖案由邊長相等的黑、白兩色的正方形較一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第n個圖案中白色正方形的個數(shù)為S．（1）S是n的函數(shù)嗎？如果是，請寫出S與n之間的關(guān)系．（2）是否存在這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2023？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義判斷S是否是n的函數(shù)；根據(jù)圖中S與n的關(guān)系即可求解；（2）令S＝2023，即可求出n的值．【解答】解：（1）S是n的函數(shù)，當(dāng)n＝1時，S＝8＝5×1+3，當(dāng)n＝2時，S＝13＝5×2+3，當(dāng)n＝3時，S＝18＝5×3+3，...，∴S＝5n+3；（2）存在；令S＝2023，則5n+3＝2023，解得n＝404，∴存在第404個這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2023．【點評】本題考查了函數(shù)的定義、函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．下列圖案是邊長相等的黑，白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第x個圖案中白色小正方形的個數(shù)為y．（1）第2個圖案中有13個白色的小正方形；第3個圖案中有18個白色的小正方形；y與x之間的函數(shù)表達式為y＝5x+3（直接寫出結(jié)果）．（2）是否存在這樣的圖案，使白色小方形的個數(shù)為2019個？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，說明理由．【分析】（1）依據(jù)圖形中黑，白兩色正方形的數(shù)量，即可得到答案，進而得出y與x之間的函數(shù)表達式；（2）解方程5x+3＝2019，即可得到x的值，進而得出結(jié)論．【解答】解：（1）第2個圖案中白色的小正方形有3+5×2＝13（個），第3個圖案中白色的小正方形有3+5×3＝18（個），y與x之間的函數(shù)表達式為y＝5x+3，故答案為：13，18，y＝5x+3；（2）依題意得，5x+3＝2019，解得x＝403.2（不是整數(shù)），∴不存在這樣的圖案，使白色小方形的個數(shù)為2019個．【點評】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變量的函數(shù)．8．如圖，在邊長為4的正方形ABCD的一邊BC上，一點P從點B運動到點C，設(shè)BP＝x，四邊形APCD的面積為y．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；（2）是否存在點P，使四邊形APCD的面積為5.5，請解答說明．【分析】（1）利用梯形的面積公式可得函數(shù)關(guān)系式，進而確定自變量的取值范圍；（2）將函數(shù)值代入求出自變量的值，檢驗得出答案．【解答】解：（1）設(shè)BP＝x，則CP＝4﹣x，根據(jù)梯形ADCP的面積計算公式可得，y＝（4﹣x+4）×4＝﹣2x+16，由于點P從點B運動到點C，因此0≤x＜4，答：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+16，（0≤x＜4）；（2）當(dāng)y＝5.5時，即5.5＝﹣2x+16，解得x＝5.25＞4，因此不存在點P，使四邊形APCD的面積為5.5．【點評】本題考查函數(shù)關(guān)系式，理解題目中提供的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖是一個“函數(shù)求值機”的示意圖．其中y是x的函數(shù)．下面表格中，是通過該“函數(shù)求值機”得到的幾組x與y的對應(yīng)值．輸入x…﹣202…8…輸出y…﹣2﹣10…﹣1…根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）當(dāng)輸入的x的值為6時，此時輸出的y的值為0；（2）當(dāng)輸出的y的值滿足﹣2≤y＜﹣1時，求輸入的x的值的取值范圍；（3）若輸入x的值分別為m，m+4，對應(yīng)輸出y的值分別為y1，y2，是否存在實數(shù)m，使得y1＞y2恒成立？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【分析】（1）因為x＝6＞4，所以將x＝6代入y＝﹣x+3，可解得此時輸出的y的值；（2）觀察表格可得；（3）先求出x＜4時，y與x的函數(shù)，畫出圖象，分析m的取值范圍．【解答】解：（1）x＝6＞4，將x＝6代入y＝﹣x+3，得，y＝﹣×6+3＝0，故答案為：0；（2）由題意，當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣2，當(dāng)x＝0時，y＝﹣1，∴﹣2≤y＜﹣1時，﹣2≤x＜0；又當(dāng)x＝8時，y＝﹣1，當(dāng)x＝10時，y＝﹣2，∴﹣2≤y＜﹣1時，8＜x≤10；綜上，當(dāng)輸出的y的值滿足﹣2≤y＜﹣1時，﹣2≤x＜0或8＜x≤10；（3）x＝﹣2＜4，x＝0＜4，將x＝﹣2、y＝﹣2，x＝0、y＝﹣1代入y＝kx+b，得，，解得：k＝，b＝﹣1，∴y＝x﹣1，y＝x﹣1（x＜4），y＝﹣x+3（x≥4）圖象如圖所示，，∵y1＞y2恒成立，∴當(dāng)m≥4時，y＝﹣x+3單調(diào)遞減，y1＞y2恒成立；當(dāng)m＜4，m+4≥4時，y1＞y2恒成立，即m﹣1＞﹣（m+4）+3，解得：m＞2，綜上，當(dāng)m＞2時，y1＞y2恒成立．【點評】本題考查了函數(shù)值、函數(shù)的概念、函數(shù)自變量的取值范圍，關(guān)鍵是在平面直角坐標系中畫出兩個y與x的函數(shù)，輔助分析m的取值范圍．10．如圖是一個“函數(shù)求值機”的示意圖，其中y是x的函數(shù)．下面表格中，是通過該“函數(shù)求值機”得到的幾組x與y的對應(yīng)值．輸入x…﹣202…8…輸出y…﹣2﹣10…﹣1…根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）當(dāng)輸入的x的值為6時，此時輸出的y的值為0；（2）當(dāng)輸出的y的值滿足﹣2≤y＜﹣1時，求輸入的x的值的取值范圍；（3）若輸入x的值分別為m，m+3，對應(yīng)輸出y的值分別為y1，y2，是否存在實數(shù)m，使得y1＞y2恒成立？若存在，請直接寫出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【分析】（1）因為x＝6＞4，所以將x＝6代入y＝﹣x+3，可解得此時輸出的y的值；（2）觀察表格可得；（3）先求出x＜4時，y與x的函數(shù)，畫出圖象，分析m的取值范圍．【解答】解：（1）x＝6＞4，將x＝6代入y＝﹣x+3，得，y＝﹣×6+3＝0，故答案為：0；（2）觀察表格得，當(dāng)輸出的y的值滿足﹣2≤y＜﹣1時，﹣2≤x＜0；（3）x＝﹣2＜4，x＝0＜4，將x＝﹣2、y＝﹣2，x＝0、y＝﹣1代入y＝kx+b，得，，解得：k＝，b＝﹣1，∴y＝x﹣1，y＝x﹣1（x＜4），y＝﹣x+3（x≥4）圖象如圖所示，，∵y1＞y2恒成立，∴當(dāng)m≥4時，y＝﹣x+3單調(diào)遞減，y1＞y2恒成立，當(dāng)m＜4，m+3≥4時，y1＞y2恒成立，即m﹣1＞﹣（m+3）+3，解得：m＞，綜上，當(dāng)m＞時，y1＞y2恒成立．【點評】本題考查了函數(shù)值，關(guān)鍵是在平面直角坐標系中畫出兩個y與x的函數(shù)，輔助分析m的取值范圍．11．已知：平面坐標系內(nèi)點P（x，y）和點A（0，1），點P到點A的距離始終等于點P到x軸的距離．（1）請你求出點P滿足的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果（1）中求出的函數(shù)圖象記為L，L′是L沿著水平方向平移得到的，若點M在L上，點N是L平移后點M的對應(yīng)點，點Q是x軸上的點．是否存在這樣的點M，使得以M、N、O、Q為頂點的四邊形是有一個內(nèi)角為60°且的菱形？若存在，請你求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得PA＝PB，PB⊥x軸，PD⊥y軸．利用勾股定理得AP2＝PD2+AD2，再計算即可．（2）過M作MG⊥x軸，由菱形性質(zhì)得OQ＝OM＝k，由直角三角形中30度角性質(zhì)得OG＝OM＝k，求出M（，），代入函數(shù)解析式計算即可．【解答】解：（1）如圖：PA＝PB，PB⊥x軸，PD⊥y軸．在Rt△PDA中，AP2＝PD2+AD2，∴y2＝x2+（y﹣1）2，∴y＝x2+．∴點P滿足的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+．（2）如圖：過M作MG⊥x軸，設(shè)OQ＝OM＝k，∴OG＝OM＝k，∴MG＝OG＝k，∴M（，），∴＝（）2+，∴k＝2±2，∴Q（2+2，0），Q1（2﹣2，0），根據(jù)對稱性得Q（﹣2﹣2，0），Q1（﹣2+2，0）．綜上所述，Q坐標為（2+2，0）、（2﹣2，0）、（﹣2﹣2，0）、（﹣2+2，0）．【點評】本題考查了函數(shù)的動點問題，畫出函數(shù)圖象，再分類討論是解題關(guān)鍵．12．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點（0，5），且過點，先求拋物線的解析式，再解決下列問題：【應(yīng)用】問題1，如圖2，線段AB＝d（定值），將其彎折成互相垂直的兩段AC、CB后，設(shè)A、B兩點的距離為x，由A、B、C三點組成圖形面積為S，且S與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（拋物線y＝ax2+bx+c上MN之間的部分，M在x軸上）：（1）填空：線段AB的長度d＝；彎折后A、B兩點的距離x的取值范圍是＜x＜；若S＝3，則是否存在點C，將AB分成兩段（填“能”或“不能”）不能；若面積S＝1.5時，點C將線段AB分成兩段的長分別是和；（2）探究：在如圖1中，以原點O為圓心，A、B兩點的距離x為半徑的⊙O；畫出點C分AB所得兩段AC與CB的函數(shù)圖象（線段）；設(shè)圓心O到該函數(shù)圖象的距離為h，求h的值，探究該函數(shù)圖象與⊙O的位置關(guān)系．【分析】（1）先求出拋物線的解析式，由拋物線的解析式先求出點M的坐標，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可判斷d的值，可由d的值判斷出x的取值范圍，分別將S＝3和1.5代入拋物線解析式，即可求出點C將線段AB分成兩段的長；（2）設(shè)AC＝y(tǒng)，CB＝x，則，可直接寫出點C分AB所得兩段AC與CB的函數(shù)解析式，并畫出圖象，過點O作OH⊥PM于點H，即可確定h的長；分情況可討論出AC與CB的函數(shù)圖象（線段PM）與⊙O的位置關(guān)系．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點（0，5），∴y＝ax2+5，將點代入，得，∴，∴拋物線的解析式為：；（1）∵S與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（拋物線y＝ax2+bx+c上MN之間的部分，M在x軸上），在，當(dāng)y＝0時，，，∴，即當(dāng)時，S＝0，∴d的值為；設(shè)AC＝m，則A、B兩點的距離x2＝m2+（﹣m）2，則x最小值為，∴彎折后A、B兩點的距離x的取值范圍是＜x＜；當(dāng)S＝3時，設(shè)AC＝a，則，∴，整理，得，∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程無實數(shù)根；當(dāng)S＝1.5時，設(shè)AC＝a，則，∴，整理，得，解得，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴若面積S＝1.5時，點C將線段AB分成兩段的長分別是和；故答案為：，0＜x＜，不能，和；（2）設(shè)AC＝y(tǒng)，CB＝x，則，如圖所示的線段PM，則，，∴△OPM為等腰直角三角形，∴，過點O作OH⊥PM于點H，則，∴當(dāng)0＜x＜時，AC與CB的函數(shù)圖象（線段PM）與⊙O相離；當(dāng)x＝時，AC與CB的函數(shù)圖象（線段PM）與⊙O相切；當(dāng)時，AC與CB的函數(shù)圖象（線段PM）與⊙O相交．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系等，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)并能靈活運用．13．觀察圖形，解決問題：（1）圖⑩中黑色正方形的個數(shù)是29，白色正方形的個數(shù)是28；（2）設(shè)第x個圖中黑色正方形的個數(shù)為y1，白色正方形的個數(shù)為y2，求y1、y2與x的函數(shù)表達式；（3）是否存在這樣的圖形，使圖中黑色正方形的個數(shù)和白色正方形的個數(shù)相等？若存在，請指出是第幾個圖；若不存在，請說明你的理由．【分析】仔細觀察圖形，找到圖形的個數(shù)與黑色正方形的個數(shù)的規(guī)律，即可求解．【解答】解：（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)：圖①中有2個黑色正方形，白色正方形的個數(shù)為1圖②中有2+3×（2﹣1）＝5個黑色正方形，白色正方形的個數(shù)為1+3×（2﹣1）＝4圖③中有2+3（3﹣1）＝8個黑色正方形，白色正方形的個數(shù)為1+3（3﹣1）＝7圖④中有2+3（4﹣1）＝11個黑色正方形，白色正方形的個數(shù)為1+3（4﹣1）＝10…，圖n中有2+3（n﹣1）＝3n﹣1個黑色的正方形．白色正方形的個數(shù)為1+3（n﹣1）＝3n﹣2n＝10時，圖⑩中黑色正方形的個數(shù)是29，白色正方形的個數(shù)是28，故答案為29，28；（2）由（1）可知：y1＝3x﹣1，y2＝3x﹣2．（3）不存在．理由：方程3x﹣1＝3x﹣2，無解．【點評】此題主要考查了圖形變化規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出第n個圖形的黑色正方形的數(shù)目的通項表達式是解題關(guān)鍵．14．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B向點B運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），（1）在AC上是否存在點P使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；（2）若點P恰好在△ABC的角平分線上，請直接寫出t的值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PA＝PB，從而分別表示出PC、BC、BP的長，利用勾股定理列出方程求解即可；（2）當(dāng)點P在頂點處時就是在角平分線上，然后再分點P在AC和∠ABC的角平分線的交點處和點P在BC和∠BAC的角平分線的交點處利用相似三角形列式求得t值即可．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)存在點P，使得PA＝PB，此時PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴當(dāng)t＝時，PA＝PB；（2）當(dāng)點P在點C或點B處時，一定在△ABC的角平分線上，此時t＝2或t＝3.5秒；當(dāng)點P在∠ABC的角平分線上時，作PM⊥AB于點M，如圖2，此時AP＝2t，PC＝PM＝4﹣2t，∵△APM∽△ABC，∴AP：AB＝PM：BC，即：2t：5＝（4﹣2t）：3，解得：t＝；當(dāng)點P在∠CAB的平分線上時，作PN⊥AB，如圖3，此時BP＝7﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），∵△BPN∽△BAC，∴BP：BA＝PN：AC，即：（7﹣2t）：5＝（2t﹣4）：4，解得：t＝．綜上，當(dāng)t＝2、3.5、、秒時，點P在△ABC的角平分線上．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，特別是題目的第二問，采用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，特別是點P與點C和點B重合時的情況很容易遺漏，應(yīng)該注意．15．如圖所示的圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，設(shè)第x個圖案中白色正方形的個數(shù)為y．（1）y與x之間的關(guān)系式為y＝5x+3．（2）是否存在這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2023？如果存在，請指出是第幾個圖案；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）第1個圖形：y＝3×3﹣1，第2個圖形：y＝3×5﹣2，第3個圖形：y＝3×7﹣3，…以此類推，第x個圖形：y＝3（2x+1）﹣x＝5x+3，即可得到答案，（2）把y＝2023代入（1）求得的關(guān)系式中，得到關(guān)于x的一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）第1個圖形：y＝3×3﹣1，第2個圖形：y＝3×5﹣2，第3個圖形：y＝3×7﹣3，…第x個圖形：y＝3（2x+1）﹣x＝5x+3，即y與x的函數(shù)表達式為：y＝5x+3，故答案為：y＝5x+3．（2）存在這樣的圖案，使白色正方形的個數(shù)為2023個由題意得：5x+3＝2023，解得：x＝404．∴第404個圖案，使得白色正方形的個數(shù)是2023個．【點評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式和規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵：（1）正確掌握圖形之間的規(guī)律進行猜想歸納，（2）正確掌握解一元一次方程的方法．16．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，動點P從C點出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿CA、AB運動到B點．（1）設(shè)點P從點C開始運動的路程為xcm，△BCP面積是ycm2，把y表示成x的函數(shù)；（2）是否存在點P，使S△BCP＝S△ABC？若存在，求出此時從C出發(fā)到P的時間；若不存在，請說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)情況進行討論，第一種情況：P點在AC上，那么y＝BC?x，即y＝3x；第二種情況：P點在AB上，那么根據(jù)勾股定理求出AB＝10，然后作出BP的高，通過求證三角形相似，求出高的值，即可推出函數(shù)式．（2）首先求出△ABC的面積，即可確定△BCP的面積，然后根據(jù)（1）的結(jié)論，即可推出路程x的值，再根據(jù)P點的運動速度，便可求出運動時間．【解答】解：（1）①當(dāng)0＜x≤8時，即當(dāng)0＜P點在AC上，∴PC＝x，∵∠ACB＝90°，BC＝6cm，∵△BCP的面積為ycm2，∴y＝BC?x，即y＝3x；②當(dāng)8＜x＜18時，P點在AB上，∵∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，∴AB＝10，∴BP＝18﹣x，作CD⊥AB，∴△ABC∽△CBD，∴AC：CD＝AB：BC，∴CD＝，∵△BCP的面積為ycm2，∴y＝（18﹣x）?×，∴y＝﹣（18﹣x）；（2）∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴△ABC的面積＝24cm2，∴△BCP的面積為：24×＝6，①P點在AB上，∴6＝﹣（18﹣x）解得：x＝，∵點P從C點出發(fā)的速度為1cm/秒，∴÷1＝秒，∴從C點出發(fā)秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的；②P點在AC上，∴6＝3x，∴x＝2，∵點P從C點出發(fā)的速度為1cm/秒，∴2cm÷1cm/秒＝2秒，∴從C點出發(fā)2秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的，答：從C點出發(fā)2秒或秒鐘時，△BCP的面積為△ABC的．【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于分情況進行討論，求出y關(guān)于x的解析式．17．如圖，已知直角梯形ABCD，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝7cm，BC＝4cm，CD＝10cm，DA＝5cm．點P從點A開始沿直角梯形的邊以1cm/s的速度勻速運動：即由點A﹣B﹣C﹣D﹣A（回到點A），設(shè)△APD的面積為S（cm2），點P運動的時間為t（s）．（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并注明t的取值范圍；（2）畫出S關(guān)于t的函數(shù)圖象；（3）點P出發(fā)多長時間使△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半？（4）S是否存在最大值？若存在，何時最大，最大值是多少？【分析】（1）分四種情況進行討論：①點P在AB邊上；②點P在BC邊上；③點P在CD邊上；④點P在DA邊上；（2）由（1）中所求的關(guān)系式，可知前面三種情況S是t的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合自變量的取值范圍即可畫出S關(guān)于t的函數(shù)圖象；（3）設(shè)點P出發(fā)ts時，△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半．先求出直角梯形ABCD面積的一半是17，再根據(jù)（2）中畫出的函數(shù)圖象，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；（4）由（2）中畫出的函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：（1）分四種情況：①當(dāng)點P在AB上，即0≤t≤7時，AP＝1?t＝t．S＝t?4＝2t；②當(dāng)點P在BC上，即7＜t≤11時，AB+BP＝t，BP＝t﹣7，CP＝11﹣t．S＝S梯形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝（7+10）×4﹣×7×（t﹣7）﹣×10×（11﹣t）＝t+；③當(dāng)點P在CD上，即11＜t≤21時，AB+BC+CP＝t，DP＝21﹣t．S＝（21﹣t）×4＝42﹣2t；④當(dāng)點P在DA上，即21＜t≤26時，A、P、D三點共線，S＝0．綜上可知，S＝；（2）如圖所示：（3）設(shè)點P出發(fā)ts時，△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半．∵S梯形ABCD＝（7+10）×4＝34，∴S梯形ABCD＝17．由圖象可知，當(dāng)7＜t≤11時，有t+＝17，解得t＝9；當(dāng)11＜t≤21時，有42﹣2t＝17，解得t＝．故當(dāng)解得t＝9s或t＝s時，△APD的面積等于直角梯形ABCD面積的一半；（4）由圖象可知，當(dāng)t＝11s時，S存在最大值20cm2．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，三角形的面積，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度適中，根據(jù)動點P分別在梯形ABCD的各條邊上分四種情況進行討論是解題的關(guān)鍵．18．已知y是關(guān)于x的函數(shù)，若存在x＝p時，函數(shù)值y＝﹣p，則稱函數(shù)y是關(guān)于x的倩影函數(shù)，此時點（p，﹣p）叫該倩影函數(shù)的影像點．（1）判斷函數(shù)y＝﹣是否為倩影函數(shù)，如果是，請求出影像點，如果不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)y＝﹣+2x﹣k（k≠0）；①求證：該函數(shù)總有