中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專題25 圓的基本性質(zhì)（解析版）

專題25圓的基本性質(zhì)中考命題解讀中考命題解讀近幾年的中考試題，圓的基本性質(zhì)的考察主要以綜合題為主，每年必考，考察圓心角、弧與圓周角的關(guān)系、垂徑定理與圓有關(guān)的基本作圖等知識(shí)典，預(yù)測(cè)2023年中考仍會(huì)出現(xiàn)考察上述知識(shí)點(diǎn)的題目?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求1.理解圓心角及其所對(duì)的弧、弦之間的關(guān)心；2.理解并運(yùn)用圓周角定理及其推論3.探索并證明垂徑定理會(huì)應(yīng)用垂徑定理解決與圓有關(guān)的問題；、4.理解并運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。備注：圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)度確定圓的大小?！狙a(bǔ)充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓。圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。考點(diǎn)2圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?？键c(diǎn)3垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分考點(diǎn)4垂徑定理的應(yīng)用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答考點(diǎn)5圓心角的概念圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角?；?、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等?？键c(diǎn)6圓角角的概念圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形?？键c(diǎn)7圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴母題精講母題精講【典例1】（2022?宜昌）石拱橋是我國(guó)古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶（如圖1），隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國(guó)古代石拱橋的代表．如圖2是根據(jù)某石拱橋的實(shí)物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為．橋的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）AB＝26m，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為D．拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）CD＝5m．連接OB．（1）直接判斷AD與BD的數(shù)量關(guān)系；（2）求這座石拱橋主橋拱的半徑（精確到1m）．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴AD＝BD；（2）設(shè)主橋拱半徑為R，由題意可知AB＝26，CD＝5，∴BD＝AB＝13，OD＝OC﹣CD＝R﹣5，∵∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，∴（R﹣5）2+132＝R2，解得R＝19.4≈19，答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為19m．【變式1-1】（2022?臺(tái)灣）如圖，AB為圓O的一弦，且C點(diǎn)在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距為3，則OC的長(zhǎng)度為何？（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：作OD⊥AB于點(diǎn)D，如圖所示，由題意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，∴AB＝8，∴AD＝BD＝4，∴CD＝2，∴OC＝＝＝，故選：D．【變式1-2】（2022?鄂州）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【答案】C【解答】解：如圖，連接OE，交AB于點(diǎn)F，連接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四邊形ACDB是平行四邊形，∴四邊形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于點(diǎn)E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴這種鐵球的直徑為20cm，故選：C．【典例2】（2022?阜新）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠C＝35°，則∠ABO的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．60° D．70°【答案】B【解答】解：連接OA，∵∠C＝35°，∴∠AOB＝2∠C＝70°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝55°．故選：B．【變式2-1】（2022?巴中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解答】解：如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，，∴AB⊥CD，∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，∴AE＝AC?cos∠BAC＝3，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴，∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．故選：C．【變式2-2】（2022?朝陽）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∠ADC＝24°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．24° B．26° C．48° D．66°【答案】C【解答】解：∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∴，∴∠AOB＝2∠ADC＝2×24°＝48°．故選：C．【變式2-3】（2022?棗莊）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為86°，30°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．28° B．30° C．36° D．56°【答案】A【解答】解：連接OA，OB．由題意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，∴∠ACB＝∠AOB＝28°，故選：A．【典例3】（2022?呼和浩特）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：BD＝CD；（2）若tanC＝，BD＝4，求AE．【解答】（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）解：∵BD＝DC＝4，∴BC＝DB+DC＝8，在Rt△ADC中，tanC＝，∴AD＝CD?tanC＝4×＝2，∴AC＝＝＝2，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴AE＝CE﹣AC＝，∴AE的長(zhǎng)為．【變式3】（2021?蘇州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠1＝∠2，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使得CE＝AB，連接ED．（1）求證：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM?tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．真題精選真題精選命題點(diǎn)1運(yùn)用垂徑定理及其推論進(jìn)行計(jì)算命題點(diǎn)1運(yùn)用垂徑定理及其推論進(jìn)行計(jì)算1．（2021?鄂州）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，⊙O半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米【答案】B【解答】解：連接OC交AB于D，連接OA，∵點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝3（米），在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），∴點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，故選：B．2．（2022?云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝12，∵AB＝26，∴OC＝13．∴cos∠OCE＝．故選：B．3．（2022?荊門）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（）A．36 B．24 C．18 D．72【答案】A【解答】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝，∴CD＝2CE＝6，∴四邊形ACBD的面積＝．故選：A．4．（2022?長(zhǎng)沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長(zhǎng)為．【答案】7【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D為OC的中點(diǎn)，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．故答案為：7．5．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長(zhǎng)為．【答案】2【解答】解：連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，∵OC⊥AB，∴D為AB的中點(diǎn)，則AB＝2AD＝2＝2＝2．故答案為：2．命題點(diǎn)2運(yùn)用圓周角定理及其推論求角度命題點(diǎn)2運(yùn)用圓周角定理及其推論求角度 6．（2020?內(nèi)江）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解答】解：連接OB，如圖，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴∠AOB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故選：A．7．（2022?蘭州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】C【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故選：C．8．（2022?聊城）如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，則的度數(shù)是（）A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【解答】解：連接BC，∵∠AOC＝80°，∴∠ABC＝40°，∵∠P＝30°，∴∠BCD＝10°，∴的度數(shù)是20°．故選：C．命題點(diǎn)3圓內(nèi)接四邊形命題點(diǎn)3圓內(nèi)接四邊形 9．（2022?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．140° D．160°【答案】B【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC＝∠AOC＝80°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝1