【創(chuàng)新設(shè)計】2021高考數(shù)學(江蘇專用-理科)二輪專題整合：1-3-1等差數(shù)列、等比數(shù)列

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列一、填空題1．(2022·南京二模)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S6,S7)＝________. 解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則eq\f(S3,S6)＝eq\f(3a1＋3d,6a1＋15d)＝eq\f(1,3)?a1＝2d，所以eq\f(S6,S7)＝eq\f(6a1＋15d,7a1＋21d)＝eq\f(27,35). 答案eq\f(27,35)2．(2021·泰州期中)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a3＋a7＝3，a2a8＝2，則eq\f(a13,a11)＝________. 解析依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程組求解．由于數(shù)列{an}是遞增等比數(shù)列，所以a2a8＝a3a7＝2，又a3＋a7＝3，且a3＜a7，解得a3＝1，a7＝2，所以q4＝2，故eq\f(a13,a11)＝q2＝eq\r(2). 答案eq\r(2)3．(2022·泰州期末)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2a4a6a8＝120，且eq\f(1,a4a6a8)＋eq\f(1,a2a6a8)－eq\f(1,a2a4a8)＋eq\f(1,a2a4a6)＝eq\f(7,60)，則S9的值為________． 解析將題中等式通分得eq\f(a2＋a4＋a6＋a8,a2a4a6a8)＝eq\f(a2＋a4＋a6＋a8,120)＝eq\f(7,60)，所以a2＋a4＋a6＋a8＝2(a2＋a8)＝14，所以a2＋a8＝7，S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝eq\f(9a2＋a8,2)＝eq\f(63,2). 答案eq\f(63,2)4．數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列，若a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N*，n≥2)，則此數(shù)列的前4項和S4＝________. 解析設(shè){an}的公比為q(q＞0)，當n＝2時，a2＋a3＝6a1，從而1＋q＝eq\f(6,q)，∴q＝2或q＝－3(舍去)，a1＝eq\f(1,2)，代入可有S4＝eq\f(\f(1,2)×1－24,1－2)＝eq\f(15,2). 答案eq\f(15,2)5．(2022·南京學情調(diào)研)在等比數(shù)列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，a4＝－4，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________. 解析求出等比數(shù)列的通項公式，再求和．由等比數(shù)列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，a4＝－4，得公比為－2，所以an＝eq\f(1,2)×(－2)n－1，|an|＝eq\f(1,2)×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝eq\f(1,2)(1＋2＋22＋…＋25)＝eq\f(1,2)×eq\f(1－26,1－2)＝eq\f(63,2). 答案eq\f(63,2)6．(2022·江蘇卷改編)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1a7＝4，a6＝8，若函數(shù)f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________. 解析由于各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1a7＝4，a6＝8，所以a4＝2，q＝2，故an＝2n－3，又f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－2＋2×2－2＋3×2－2＋…＋10×2－2＝2－2×eq\f(10×11,2)＝eq\f(55,4). 答案eq\f(55,4)7．(2022·南京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＝an－1－an－2(n≥3，n∈N*)，它的前n項和為Sn.若S13＝1，則a1的值為________． 解析由數(shù)列{an}滿足an＝an－1－an－2(n≥3，n∈N*)得an＋1＝an－an－1＝－an－2(n≥3，n∈N*)，所以an＋4＝－an＋1＝an－2(n≥3，n∈N*)，數(shù)列{an}的周期是6.所以S13＝2(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＝2(a1＋a2＋a2－a1＋a4＋a5＋a5－a4)＋a1＝4(a2＋a5)＋a1＝4(a2－a2)＋a1＝a1，又S13＝1，所以a1＝1. 答案18．(2022·南通、揚州、泰州、連云港、淮安模擬)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．若a1＜a2，b1＜b2，且bi＝aeq\o\al(2,i)(i＝1,2,3)，則數(shù)列{bn}的公比為________． 解析由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＜a2，b1＜b2，bi＝aeq\o\al(2,i)(i＝1,2,3)，所以aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝(a1－a2)·(a1＋a2)＜0，則a1＋a2＞0.又aeq\o\al(2,1)，aeq\o\al(2,2)，aeq\o\al(2,3)是等比數(shù)列{bn}的前3項，所以aeq\o\al(4,2)＝aeq\o\al(2,1)aeq\o\al(2,3)，則aeq\o\al(2,2)＝－a1a3＞0(若aeq\o\al(2,2)＝a1a3，則a1，a2，a3成等比數(shù)列，而a1，a2，a3又成等差數(shù)列，則a1＝a2＝a3，與條件a1＜a2沖突)，所以a1＜0，a3＞0，又a1＋a2＞0，則a2＞0.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d＞0，則aeq\o\al(2,2)＝－a1a3即為aeq\o\al(2,2)＝－(a2－d)(a2＋d)＝－aeq\o\al(2,2)＋d2，所以d＝eq\r(2)a2，故an＝a2＋(n－2)d＝(eq\r(2)n－2eq\r(2)＋1)a2，則等比數(shù)列{bn}的公比q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(a\o\al(2,2),a\o\al(2,1))＝eq\f(a\o\al(2,2),1－\r(2)2a\o\al(2,2))＝eq\f(1,3－2\r(2))＝3＋2eq\r(2). 答案3＋2eq\r(2)二、解答題9．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前4項和為10，且a2，a3，a7成等比數(shù)列． (1)求通項公式an； (2)設(shè)bn＝2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝10，,a1＋2d2＝a1＋da1＋6d，)) 解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，))所以an＝3n－5(n∈N*)． (2)∵bn＝2an＝23n－5＝eq\f(1,4)·8n－1，∴數(shù)列{bn}是首項為eq\f(1,4)，公比為8的等比數(shù)列，所以Sn＝eq\f(\f(1,4)1－8n,1－8)＝eq\f(8n－1,28).10．已知數(shù)列{an}是首項為eq\f(1,\r(3,3))，公比為eq\f(1,\r(3,3))的等比數(shù)列，設(shè)bn＋15log3an＝t，常數(shù)t∈N*. (1)求證：{bn}為等差數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn，是否存在正整數(shù)k，使ck，ck＋1，ck＋2按某種次序排列后成等比數(shù)列？若存在，求k，t的值；若不存在，請說明理由． (1)證明an＝，bn＋1－bn＝－15log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))＝5， ∴{bn}是首項為b1＝t＋5，公差為5的等差數(shù)列． ②若ceq\o\al(2,k＋1)＝ckck＋2， 同理可得(x＋5)2＝x(x＋10)， 明顯無解； ③若ceq\o\al(2,k＋2)＝ckck＋1，同理可得eq\f(1,3)(x＋10)2＝x(x＋5)， 方程無整數(shù)根． 綜上所述，存在k＝1，t＝5適合題意．11．(2021·南通調(diào)研)已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an＞0. (1)若a2－a1＝8，a3＝m.①當m＝48時，求數(shù)列{an}的通項公式；②若數(shù)列{an}是唯一的，求m的值； (2)若a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，k∈N*，求a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值． 解設(shè)數(shù)列{an}公比為q，則由題意，得q＞0. (1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－a1＝8，,a1q2＝48.)) 解之，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝82－\r(3)，,q＝3＋\r(3)；))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝82＋\r(3)，,q＝3－\r(3).)) 所以數(shù)列{an}的通項公式為 an＝8(2－eq\r(3))(3＋eq\r(3))n－1，或an＝8(2＋eq\r(3))(3－eq\r(3))n－1. ②要使?jié)M足條件的數(shù)列{an}是唯一的，即關(guān)于a1與q的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－a1＝8，,a1q2＝m.))有唯一正數(shù)解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解． 由Δ＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此時q 經(jīng)檢驗，當m＝32時，數(shù)列{an}唯一，其通項公式是an＝2n＋2. (2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8， 得a1(qk－1)(qk－1＋qk