【名師一號】2020-2021學年人教A版高中數學必修3雙基限時練21

雙基限時練(二十一)1．下列關于幾何概型的說法錯誤的是()A．幾何概型也是古典概型中的一種B．幾何概型中大事發(fā)生的概率與位置、外形無關C．幾何概型中每一個結果的發(fā)生具有等可能性D．幾何概型在一次試驗中能消滅的結果有無限個解析幾何概型與古典概型是兩種不同的概型．答案A2．下列概率模型：①在區(qū)間[－10,10]中任取一個數，求取到1的概率；②從區(qū)間[－10,10]內任取一個數，求取到確定值不大于1的數的概率；③從區(qū)間[－10,10]內任取一個整數，求取到大于1且小于5的整數的概率；④向一個邊長為4cm的正方形ABCD內投一點P，求點P離中心不超過1cm的概率．其中，是幾何概型的個數為()A．1 B．2C．3 D．4解析①是．由于區(qū)間[－10,10]有無限多個點，取到1這個數的概率為0.②是．由于在[－10,10]和[－1,1]上有無限多個點可取，且在這兩個區(qū)間上每個數取到的可能性相同．③不是．由于[－10,10]上的整數只有21個，不滿足無限性．④是．由于在邊長為4cm的正方形和半徑為1cm的圓內均有很多多個點，且每個點被投中的可能性相同．答案C3．如圖所示，在一個邊長為a，b(a>b>0)的矩形內畫一個梯形，梯形上下底分別為eq\f(1,3)a與eq\f(1,2)a，高為b，向該矩形內隨機投一點，則所投的點落在梯形內部的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,12) D.eq\f(7,12)解析由幾何概型知，所求的概率為梯形面積與矩形面積之比，即eq\f(\f(\f(1,3)a＋\f(1,2)a,2)×b,ab)＝eq\f(5ab,12ab)＝eq\f(5,12).答案C4．設A為圓周上肯定點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，求弦長超過半徑的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析如圖所示，在⊙O上取點B，C，使AB＝AC＝OA，則當點P在優(yōu)弧eq\x\to(BC)上時，弦AP>OA.由幾何概型知，所求概率為eq\f(360°－120°,360°)＝eq\f(2,3).答案D5．已知實數x，y可以在0<x<2,0<y<2的條件下隨機取數，那么取出的數對滿足x2＋(y－1)2<1的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(π,16) D.eq\f(π,2)解析如圖所示，x，y的取值在正方形OABD內，適合條件的x，y在以(0,1)為圓心，半徑為1的半圓內．因此由幾何概型，得P＝eq\f(\f(1,2)×π×12,2×2)＝eq\f(π,8).答案B6．在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析依據題意求出矩形面積為20cm2時的各邊長，再求概率．設AC＝x，則BC＝12－x，∴x(12－x)＝20，解得x＝2，或x＝10，故所求的概率為P＝eq\f(12－2－2,12)＝eq\f(2,3).答案C7．設不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)解析如圖所示，由幾何概型概率公式得，所求的概率為P＝eq\f(4－\f(1,4)×π×22,2×2)＝1－eq\f(π,4).答案D8．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)解析設OA＝OB＝2R，連接AB，如圖所示，由圖形的對稱可得，陰影面積S陰影＝eq\f(1,4)π(2R)2－eq\f(1,2)×(2R)2＝(π－2)R2，S扇形＝eq\f(1,4)π(2R)2＝πR2.故所求的概率是P＝eq\f(π－2R2,πR2)＝1－eq\f(2,π).答案A9．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝2cm，在圖形上隨機扔一粒黃豆，則黃豆落在圓內(陰影部分)的概率是________．解析由幾何概型得，P＝eq\f(S圓,S矩形)＝eq\f(π×12,3×2)＝eq\f(π,6).答案eq\f(π,6)10．在1000mL水中有一個草履蟲，現從中隨機取出3mL水樣放到顯微鏡下觀看，則發(fā)覺草履蟲的概率是________________.解析由幾何概型知，P＝eq\f(3,1000).答案eq\f(3,1000)11．假設你在如圖所示的圖形上隨機扔一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率是________．解析設圓的半徑為r，則陰影部分的面積為eq\f(1,2)×2r×r＝r2，圓的面積為πr2，因此所求概率為P＝eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π).答案eq\f(1,π)12．如圖，平面上一長12cm，寬10cm的矩形ABCD內有一半徑為1cm的圓O(圓心O在矩形對角線交點處)．把一枚半徑為1cm的硬幣任意擲在矩形內(硬幣完全落在矩形內)，則硬幣不與圓O相碰的概率為________．解析由題意可知，只有硬幣中心投在陰影部分時才符合要求．所以不與圓相碰的概率P＝eq\f(8×10－π×22,8×10)＝1－eq\f(π,20).答案1－eq\f(π,20)13．已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25.(1)圓C的圓心到直線l的距離為________．(2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________．解析(1)圓心(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(|－25|,\r(42＋32))＝5.(2)如圖，作l′∥l，且O到l′的距離為3，OE⊥l′于E，sin∠ODE＝eq\f(3,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ODE＝60°，從而∠BOD＝60°，因此點A在eq\x\to(BD)上時，滿足題意，故所求的概率為P＝eq\f(1,6).答案(1)5(2)eq\f(1,6)14．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當你到達路口時，觀察下列三種狀況的概率各是多少？(1)紅燈；(2)黃燈；(3)不是紅燈．解由于綠燈、紅燈、黃燈不停地交