【名師一號】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修5雙基限時(shí)練6

雙基限時(shí)練(六)1．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，則△ABC的面積等于()A．9 B．18C．9eq\r(3) D．18eq\r(3)解析由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，∴AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(6×sin120°,sin30°)＝6eq\r(3).又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×6eq\r(3)×6×eq\f(1,2)＝9eq\r(3).答案C2．在△ABC中，若a2＋b2＋ab<c2，則△ABC是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．外形無法判定解析由a2＋b2＋ab<c2，得a2＋b2－c2<－ab.又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<－eq\f(1,2).又cos120°＝－eq\f(1,2)，∴C>120°，故△ABC為鈍角三角形．答案A3．在△ABC中，BC＝2，B＝eq\f(π,3)，若△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則tanC為()A.eq\r(3) B．1C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析由S△ABC＝eq\f(1,2)BC·BAsinB＝eq\f(\r(3),2)，得BA＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB.∴AC＝eq\r(3)，∴AC2＋BA2＝BC2.∴△ABC為直角三角形，其中A為直角．∴tanC＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(\r(3),3).答案C4．三角形的兩邊長為3和5，其夾角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，則該三角形的面積是()A．6 B.eq\f(15,2)C．8 D．10解析由5x2－7x－6＝0，得x＝－eq\f(3,5)，或x＝2(舍去)．∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)，∴S△＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(4,5)＝6.答案A5．△ABC中，A＝60°，b＝16，此三角形的面積S＝220eq\r(3)，則a的值為()A．7 B．25C．55 D．49解析由S＝220eq\r(3)，得eq\f(1,2)bcsinA＝220eq\r(3).即eq\f(1,2)×16×c×eq\f(\r(3),2)＝220eq\r(3)，∴c＝55.∴a2＝b2＋c2－2bccos60°＝162＋552－2×16×55×eq\f(1,2)＝2401.∴a＝49.答案D6．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a＝eq\r(3)，b＝3，C＝30°，則A＝________.解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋9－2×eq\r(3)×3×eq\f(\r(3),2)＝3，∴c＝eq\r(3).又eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(\r(3)·\f(1,2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∴a<b，∴A<B，∴A＝30°.答案30°7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，則cosA＝______.解析∵(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，∴由正弦定理，得(eq\r(3)sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.∴eq\r(3)sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∴cosA＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)8．在△ABC中，a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB＝________.解析由余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，得bc·cosA＝eq\f(1,2)(b2＋c2－a2)，同理ac·cosB＝eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)．∴a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB＝a2－b2＋eq\f(1,2)(b2＋c2－a2)－eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)＝a2－b2＋b2－a2＝0.答案09．在△ABC中，A＝60°，b＝1，c＝4，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)的值為________．解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得a＋b＋c＝2R(sinA＋sinB＋sinC)．又a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－2×1×4×eq\f(1,2)＝13，∴a＝eq\r(13)，∴eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),sin60°)＝eq\f(2\r(39),3).答案eq\f(2\r(39),3)10．在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，又c＝eq\r(21)，b＝4，且BC邊上的高h(yuǎn)＝2eq\r(3).(1)求角C；(2)求邊a的長．解(1)由于△ABC為銳角三角形，過A作AD⊥BC于D點(diǎn)，sinC＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，則C＝60°.(2)由余弦定理，可知c2＝a2＋b2－2abcosC，則(eq\r(21))2＝42＋a2－2×4×a×eq\f(1,2)，即a2－4a－5＝0.所以a＝5，或a＝－1(舍)．因此所求角C＝60°，邊a長為5.11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC解(1)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4.又由于△ABC的面積等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)得ab＝4，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得a＝2，b＝2.(2)由題意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.當(dāng)cosA＝0時(shí)，A＝eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,6)，∴a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝eq\f(2\r(3),3).∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)·eq\r(a2－b2)·b＝eq\f(2,3)eq\r(3).當(dāng)cosA≠0時(shí)，sinB＝2sinA，由正弦定理，知b＝2a聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2\r(3),3)，,b＝\f(4\r(3),3).))∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).12．△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))；(2)若c－b＝1，求a的值．解(1)在△ABC中，∵cosA＝eq\f(12,13)，∴sinA＝eq\f(5,13).又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝12×13.∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up