《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修5)教師用書：2.4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其性質(zhì)-講義

第4課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其性質(zhì)1.把握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法.2.會(huì)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些簡潔的問題.重點(diǎn):探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.難點(diǎn):對(duì)公式的機(jī)敏應(yīng)用.高斯是怎樣想的兩百多年前,德國出了一位名揚(yáng)世界的“數(shù)學(xué)王子”——高斯(Gauss,1777—1855).高斯從小就聽父親講一些生產(chǎn)中的簡易算法,養(yǎng)成了動(dòng)腦筋的習(xí)慣,在他十歲的時(shí)候,算術(shù)課上老師出了一道題目:1+2+3+…+99+100=?正值同學(xué)們靜心地逐項(xiàng)相加時(shí),高斯快速地說出了答案:5050.你知道高斯是怎樣算出來的嗎?高斯的算法是:首項(xiàng)與末項(xiàng)的和為1+100=101,第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和為2+99=101,第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和為3+98=101,……第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和為50+51=101,故所求的和為101×=5050.請(qǐng)你學(xué)習(xí)高斯的算法,計(jì)算:1+3+5+…+49=?問題1:(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=或Sn=na1+n(n-1)d.

(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法:倒序相加法.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,則Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,將和式倒序?qū)憺镾n=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1,兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an),∴Sn=.

將通項(xiàng)an=a1+(n-1)d代入可得Sn=na1+d.問題2:(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=和Sn=na1+及通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中含有五個(gè)量a1、d、n、an、Sn,在具體解題時(shí),通過解方程組做到“知三求二”.

(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特點(diǎn)是Sn=na1+=

n2+(a1-)n,即等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).其圖象是過原點(diǎn)的拋物線上一些孤立的點(diǎn).

問題3:如何求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值?(1)用等差數(shù)列的單調(diào)性求前n項(xiàng)和的最值.①d>0?{an}為遞增數(shù)列,若a1≥0,則S1=a1最小;若a1<0,則當(dāng)n滿足時(shí)的Sn最小.

②d<0?{an}為遞減數(shù)列,若a1≤0,則S1=a1最大;若a1>0,則當(dāng)n滿足時(shí)的Sn最大.

(2)利用函數(shù)的學(xué)問求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值:等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn,通過配方得Sn=A(n+)2-,可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,但應(yīng)特殊留意n∈N*,所以當(dāng)n為最接近-的正整數(shù)時(shí),Sn取得最值.

問題4:已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn,求通項(xiàng)公式an的步驟:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1;

(2)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1;

(3)假如當(dāng)n=1時(shí),a1符合(2)中算出的an,那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an(n∈N*),反之,則an=

.

把2022表示為兩個(gè)及兩個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)之和,有幾種不同的表示方法?我們可以假設(shè)這個(gè)數(shù)可以表示為n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和:m+1+m+2+…+m+n(m大于0),用等差數(shù)列求和,即可得到.1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S101=0,則有().A.a1+a101>0B.a1+a101<0C.a1+a101=0D.a1+a101的符號(hào)不確定【解析】∵S101=,∴a1+a101=0.【答案】C2.若等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和S3=9,則a2等于().A.3B.4C.5D.6【解析】∵S3=a1+a2+a3=3a2=9,∴a2=3【答案】A3.已知{an}是等差數(shù)列,a4+a6=6,其前5項(xiàng)和S5=10,則其公差d=.

【解析】由題意得解得d=.【答案】4.一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列,它的前5項(xiàng)和為34,最終5項(xiàng)的和為146,全部項(xiàng)的和為234,求它的第7項(xiàng)a7.【解析】∵a1+a2+a3+a4+a5=34,an-4+an-3+an-2+an-1+an=146,又a1+an=a2+an-1=…=a5+an-4,∴5(a1+an)=180?a1+an=36,∴Sn=234==,∴n=13.∴a1+a13=36=2a7,∴a7=18等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用設(shè){an}為等差數(shù)列,公差d=-2,Sn為其前n項(xiàng)和,且S10=S11.(1)求首項(xiàng)a1;(2)求前n項(xiàng)和Sn.【方法指導(dǎo)】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式求解.【解析】(1)由S10=S11,得a11=S11-S10=0,故a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.(2)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知Sn=na1+×d=20n+(n-n2)=-n2+21n.【小結(jié)】在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中,已知一些變量可求其他變量,在解題時(shí)要依據(jù)題目中的條件選擇適當(dāng)?shù)墓?以簡化計(jì)算過程.依據(jù)數(shù)列求和公式求數(shù)列通項(xiàng)公式已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+3n+2,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【方法指導(dǎo)】已知Sn求an,可利用an=但要留意對(duì)n=1進(jìn)行爭辯.【解析】∵Sn=a1+a2+…+an,①Sn-1=a1+a2+…+an-1,②由①-②得an=Sn-Sn-1,∴an=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1.[問題]an=4n+1對(duì)任意的項(xiàng)都成立嗎?[結(jié)論]Sn-1=a1+a2+…+an-1成立的條件是n≥2,故an=4n+1,在n=1時(shí)不愿定成立.于是,正確解答如下:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=7,不適合上式.故an=【小結(jié)】求an的公式有:an=同時(shí)可以發(fā)覺:已知Sn=An2+Bn+C,若C=0,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;若C≠0,則數(shù)列{an}從其次項(xiàng)起成等差數(shù)列,通項(xiàng)公式要分段寫出.求等差數(shù)列和的最大項(xiàng)在等差數(shù)列{an}中,若a1=25,且S9=S17,則數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大?【方法指導(dǎo)】可依據(jù)題意先求得數(shù)列的公差,再由通項(xiàng)的正負(fù)或前n項(xiàng)和公式推斷,也可依據(jù)前n項(xiàng)和的函數(shù)特性求解.【解析】(法一)由得解得d=-2.則Sn=25n+(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,∴數(shù)列的前13項(xiàng)和最大.(法二)同(法一)解得d=-2.∴an=25+(-2)(n-1)=-2n+27.令an>0,即-2n+27>0,解得n<13.5,即數(shù)列的前13項(xiàng)均為正數(shù),第13項(xiàng)以后均為負(fù)數(shù),∴數(shù)列的前13項(xiàng)和最大.(法三)∵等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),且S9=S17,∴拋物線的對(duì)稱軸為n=13,∴數(shù)列的前13項(xiàng)和最大.【小結(jié)】法一是利用二次函數(shù)的最值求解,法二是通過數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)找出正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn),法三是結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特點(diǎn)利用數(shù)形結(jié)合思想解答.利用法三時(shí)確定要留意對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)是否為正整數(shù),假如不為整數(shù)應(yīng)當(dāng)找靠近對(duì)稱軸的正整數(shù).在等差數(shù)列{an}中,a4=10,a10=-2,若Sm=60,求m的值.【解析】設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,由a4=10,a10=-2,得∴∴Sm=16m+×(-2)=60整理,得m2-17m+60=∴m=5或12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-2n+3,問這個(gè)數(shù)列成等差數(shù)列嗎?【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-3.∵a1不滿足an=2n-3,∴an=∴數(shù)列{an}不成等差數(shù)列,但從第2項(xiàng)起成等差數(shù)列.已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是().A.21 B.20 C.19 D【解析】由a1+a3+a5=105得3a3=105,即a3=35由a2+a4+a6=99得3a4=99,即a4=33,∴d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n由得19.5≤n≤20.5,∴n=20.【答案】B1.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=-6,a8=6,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,則有().A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S【解析】設(shè)公差為d,則解得a1=-8,d=2,則S4=4×(-8)+×2=-20,S5=5×(-8)+×2=-20,S6=6×(-8)+×2=-18,即S4=S5<S6.【答案】B2.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=,S4=20,則S6等于().A.16 B.24 C.36 D【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則S4=4×+×4×3d=20,所以d=3,則S6=S4+(a1+4d)+(a1+5d)=20+1+27=48.【答案】D3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2-4n+1,則an=.

【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=12-4×1+1=-2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.又a1≠2×1-5,則an=【答案】4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2-2n,bn=(n=1,2,3,…),求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=-1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1