2022高三一輪復(fù)習(xí)學(xué)案(理數(shù))(人教)第六章-不等式與推理證明-第3課時-基本不等式及其應(yīng)用

第3課時基本不等式及其應(yīng)用考綱索引1.幾個重要的不等式.2.基本不等式成立的條件.課標要求1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡潔的最大(小)值問題.學(xué)問梳理1.基本不等式:(1)基本不等式成立的條件:.

(2)等號成立的條件:當且僅當時取等號.

2.幾個重要的不等式3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為.

4.利用基本不等式求最值問題已知x>0,y>0,則(1)假如積xy是定值p,那么當且僅當時,x+y有最值是.(簡記:積定和最小)

(2)假如和x+y是定值p,那么當且僅當時,xy有最值是.(簡記:和定積最大)

基礎(chǔ)自測1.(教材改編)函數(shù)的值域為().A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.(0,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞]2.下列不等式:.其中正確的個數(shù)是().A.0 B.1C.2 D.33.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,則ab的最大值為().A. B.1C.2 D.44.(教材改編)若x>0,則的最小值為.

5.(教材精選)若x>1,則的最小值為.

指點迷津◆公式的兩種應(yīng)用◆三個留意(1)使用基本不等式求最值,其失誤的真正緣由是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值,這三個條件缺一不行.(2)在運用基本不等式時,要特殊留意“拆”“拼”“湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格,要求同時滿足任何一次的字母取值存在且全都.考點透析考向一利用基本不等式求最值

(2)設(shè)x,y為實數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是.

【審題視點】(1)用三點共線,尋求a,b的等式關(guān)系,用基本不等式求最值.(2)求(2x+y)2滿足的取值,尋求xy與2x+y的不等關(guān)系.變式訓(xùn)練考向二基本不等式的實際應(yīng)用

例2(2021·山東濰坊高三模擬)某造紙廠擬建一座底面圖形為矩形且面積為162m2的三級污水處理池,池的深度確定(平面圖如圖所示),假如池四四周墻建筑單價為400元/m,中間兩道隔墻建筑單價為248元/m,池底建筑單價為80元/m2,水池全部墻的厚度忽視不計(1)試設(shè)計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價;(2)若由于地形限制,該池的長和寬都不能超過16m,試設(shè)計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低總造價.【審題視點】設(shè)污水處理池寬為xm,則長為m,然后建立總造價與x的函數(shù)關(guān)系,再利用基本不等式或單調(diào)性求最值.【方法總結(jié)】(1)問題的背景是人們關(guān)系的社會熱點問題,如“物價、銷售、稅收、原材料”等,題目往往較長,解題時需認真閱讀,從中提煉出有用信息,建立數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.(2)當運用基本不等式求最值時,若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時,就不能使用基本不等式求解,此時可依據(jù)變最的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.變式訓(xùn)練2.(2021·山西太原二模)如圖,一個鋁合金窗分為上、下兩欄,四周框架和中間隔檔的材料為鋁合金,寬均為6cm,上欄與下欄的框內(nèi)高度(不含鋁合金部分)的比為1∶2,此鋁合金窗占用的墻面面積為28800cm2,設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為acm,bcm,鋁合金窗的透光部分的面積為S(第2題)(1)試用a,b表示S;(2)若要使S最大,則鋁合金窗的寬和高分別為多少?經(jīng)典考題真題體驗1.(2022·福建)要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側(cè)面造價是每平方米10元,A.80元 B.120元C.160元 D.240元

(1)假如不限定車型,l=6.05,則最大車流量為輛/小時;

(2)假如限定車型,l=5,則最大車