高等數(shù)學(xué)課件D112數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法幻燈片資料

二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂

第二節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十一章1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若定理1.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件例1.

討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知p級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件由定理

2可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2知收斂,若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件的斂散性.～例3.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件定理4

.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)(2)當(dāng)說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件例5.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件對(duì)任意給定的正數(shù)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級(jí)數(shù)說(shuō)明:但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件例6.

證明級(jí)數(shù)收斂于S,似代替和S時(shí)所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計(jì)以部分和Sn

近機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件證:

是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S,且故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件三、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱(chēng)原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱(chēng)原級(jí)數(shù)條件收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件定理7.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件例7.證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件其和分別為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).*定理8.絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和.

(P203定理9)說(shuō)明:證明參考P203～P206,這里從略.*定理9.

(絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法)則對(duì)所有乘積按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂,其和為但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì).(P205定理10)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件

作業(yè)

P2061(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

3(1),(2);

4(1),(3),(5),(6);

5(2),(3),(5)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/11/2025高等數(shù)學(xué)課件備用題1.判別級(jí)數(shù)的斂散性:解:

(1)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.不是p–級(jí)數(shù)(