2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圖形的相似

第1頁（共1頁）2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圖形的相似一．選擇題（共10小題）1．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，BC，EF都與x軸平行，點A，D與位似中心點P都在x軸上，點C，E在y軸上．若點B的坐標(biāo)是（2，3），點F的橫坐標(biāo)為﹣1，則點P的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1.5，0） D．（0，﹣1.5）2．把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值為黃金分割，比值為5-12，它被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙娜麗莎．如圖2，點E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，以AE為邊作正方形AEHF，延長EH交CD于點I，連結(jié)BF交EI于點G，連結(jié)BI，則S△BCI：SA．1：1 B．5+13 C．5-13．如圖，在5×5網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，三角形①、②均為格點三角形，則下列關(guān)于三角形①、②的說法正確的是（）A．一定不相似，周長比為1：2 B．一定位似，位似比為1：2 C．一定相似，面積比為1：4 D．一定相似，相似比為1：44．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式中錯誤的是（）A．AEEC=BFFC B．ADBF=ABBC5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB延長線上一點，連接DE，交AC于點G，交BC于點F，那么圖中相似三角形（不含全等三角形）共有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對6．如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，AF與DE相交于點G，則AGFGA．23 B．32 C．34 7．如圖，矩形紙片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿對角線AC將矩形紙片ABCD剪開，再將三角形紙片ABC沿著對角線AC向下適當(dāng)平移，得到三角形紙片A'BC'，然后剪出如圖所示的最大圓形紙片，則此時圓形紙片的半徑為（）A．607cm B．1207cm C．365cm D8．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，以O(shè)為位似中心，作線段AB的位似圖形，若點D是點B的對應(yīng)點，則點A的對應(yīng)點是（）A．C點 B．F點 C．E點 D．G點9．如圖，點A（0，3），B（1，0），將線段AB平移得到線段DC．若∠ABC＝90°，BC＝2AB，則點C的坐標(biāo)為（）A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）10．生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感，若圖中b＝3m，則a約為（）A．1.236m B．1.416m C．1.584m D．1.854m二．填空題（共5小題）11．對許多畫家、藝術(shù)家來說“黃金分割”是他們在現(xiàn)實的創(chuàng)作中必須深入領(lǐng)會的一種指導(dǎo)方針，攝影師也不例外．?dāng)z影中有一種拍攝手法叫黃金分割構(gòu)圖法，其原理是：如圖，將正方形ABCD的邊BC取中點O，以O(shè)為圓心，線段OD為半徑作圓，其與邊BC的延長線交于點E，這樣就把正方形ABCD延伸為黃金矩形ABEF，若CE＝4，則AB＝．12．如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果EFDF=35，AB＝3，則BC＝13．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E為AD邊的中點，連接BD、CE，BD與CE相交于點F，則DF的長為．14．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，則△DEF的面積為．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點E在邊BC上，DF⊥AE，垂足為F．若DF＝6，則線段EF的長為．三．解答題（共5小題）16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點A，B，C的坐標(biāo)分別是（﹣3，4）、（﹣4，1）、（﹣2，2），結(jié)合平面直角坐標(biāo)系解答下列問題．（1）畫出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A'B'C'，并寫出點B'的坐標(biāo)；（2）以點O為位似中心，畫出一個三角形，使它與△ABC的相似比為1217．如圖，某位同學(xué)通過調(diào)整自己的位置測量樹高AB，設(shè)法使三角板的斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知兩條邊DE＝0.4m，EF＝0.2m，測得邊DF離地面距離AC＝1.5m，人與樹的距離CD＝8m，求樹高AB的值．18．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，BD＝5，則DEBC的值為19．如圖AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧BC的中點，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P，與AB的延長線交于點F，AD與BC交于點E．（1）求證：①∠DCB＝∠CAD：②CD2＝DE?AD：（2）若DE＝2，AE＝4，求PCPD20．小明和小亮同學(xué)想利用數(shù)學(xué)知識測量矗立在廣場邊上的旗桿AB的高度．如圖，他們在廣場上的D處放置了一根垂直于地面的標(biāo)桿CD，然后小明筆直地站在F處，小亮在F和D之間找到一個合適的位置P，并在P點處放置了一面小鏡子，此時小明恰好看到在鏡子里點A和點C重合．已知，點F、P、D、B在同一條直線上，通過測量，BD＝8.8m，F(xiàn)D＝2.2m，CD＝1.8m，小明的眼睛離地面的高度EF＝1.5m．求旗桿AB的高度．

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之圖形的相似參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，BC，EF都與x軸平行，點A，D與位似中心點P都在x軸上，點C，E在y軸上．若點B的坐標(biāo)是（2，3），點F的橫坐標(biāo)為﹣1，則點P的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1.5，0） D．（0，﹣1.5）【考點】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】過點B作BH⊥x軸于點H，根據(jù)△PEF∽△PBC，得到POPH=PE【解答】解：如圖，過點B作BH⊥x軸于點H，則OE∥BH，∴△PEF∽△PBC，∴POPH∵點B的坐標(biāo)是（2，3），點F的橫坐標(biāo)為﹣1，∴CB＝2，EF＝1，∵BC，EF都與x軸平行，∴BC∥EF，∴PE∴POPH∵OH＝2，∴OP＝2，∴點P的坐標(biāo)為（﹣2，0），故選：A．【點評】本題考查的是位似變換，根據(jù)題意求出相似比是解題的關(guān)鍵．2．把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值為黃金分割，比值為5-12，它被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙娜麗莎．如圖2，點E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，以AE為邊作正方形AEHF，延長EH交CD于點I，連結(jié)BF交EI于點G，連結(jié)BI，則S△BCI：SA．1：1 B．5+13 C．5-1【考點】黃金分割；整式的混合運算．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC＝CD＝DA＝AB，EH＝HF＝FA＝AE，F(xiàn)H∥AE．根據(jù)黃金分割的意義得出AEAB=BEAE=5-12．由△FHG∽△BEG，得出GHGE=FHBE，根據(jù)合比性質(zhì)得出GHHE=AEAB=5-【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝DA＝AB．∵點E是正方形ABCD的AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，∴AEAB∵四邊形AEHF是正方形，∴EH＝HF＝FA＝AE，F(xiàn)H∥AE，∴△FHG∽△BEG，∴GHGE∴GHHE∴GH=5-12∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°，∴四邊形BCIE是矩形，∴IC＝BE，∴S△BCI：S△FGH=12BC?IC12故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形、矩形的性質(zhì)與判定，黃金分割的意義，比例的性質(zhì)，三角形的面積，掌握黃金分割的意義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在5×5網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，三角形①、②均為格點三角形，則下列關(guān)于三角形①、②的說法正確的是（）A．一定不相似，周長比為1：2 B．一定位似，位似比為1：2 C．一定相似，面積比為1：4 D．一定相似，相似比為1：4【考點】位似變換．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出兩個三角形的各邊長，根據(jù)相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理以及位似圖形的概念判斷即可．【解答】解：由勾股定理得：三角形①的三邊長分別為2、5、5，三角形②的三邊長分別為22、25、25，∴三角形①與三角形②相似，且相似比為1：2，∴三角形①與三角形②的面積比為1：4，∵三角形①與三角形②的對應(yīng)邊不平行也不在同一條直線上，∴三角形①與三角形②不位似，故選：C．【點評】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式中錯誤的是（）A．AEEC=BFFC B．ADBF=ABBC【考點】平行線分線段成比例．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，再分別對每一項進(jìn)行判斷即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴AEECB．∵DE∥BC，∴ADAB∵EF∥AB，∴DE＝BF，∴ADAB∴ADBF故本選項正確，C．∵EF∥AB，∴EFAB∵CF≠DE，∴EFAB故本選項錯誤，D．∵EF∥AB，∴CEEA∴CECF故本選項正確，故選：C．【點評】此題主要考查平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式并能進(jìn)行靈活變形．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB延長線上一點，連接DE，交AC于點G，交BC于點F，那么圖中相似三角形（不含全等三角形）共有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對【考點】相似三角形的判定．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠EBF＝∠EAD，∠EFB＝∠EDA，∴△EFB∽△EAD；同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF．故選：B．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)等知識點，能運用相似三角形的判定定理進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．6．如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，AF與DE相交于點G，則AGFGA．23 B．32 C．34 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，點E是中點，可證△ADE≌△BHE，可得BH＝AD，可求出FH與AD的關(guān)系，再證△ADG∽△FHG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖所示，延長DE，CB交于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠H，且AE＝BE，∠AED＝∠BEH，∴△ADE≌△BHE（AAS），∴BH＝AD，∵F是BC中點，∴BF=∴HF=∵AD∥HF，∴△ADG∽△FHG，∴AGFG故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，矩形紙片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿對角線AC將矩形紙片ABCD剪開，再將三角形紙片ABC沿著對角線AC向下適當(dāng)平移，得到三角形紙片A'BC'，然后剪出如圖所示的最大圓形紙片，則此時圓形紙片的半徑為（）A．607cm B．1207cm C．365cm D【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；剪紙問題；平移的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】過點A'作A'P⊥AD于點P，設(shè)AP＝xcm，A'P＝y(tǒng)cm，圓的直徑為dcm，利用對邊之間的關(guān)系可得x與y的關(guān)系，再利用A字型相似也可求出x與y的關(guān)系，進(jìn)而可求出x，d，從而得出結(jié)論．【解答】解：過點A'作A'P⊥AD于點P，設(shè)AP＝xcm，A'P＝y(tǒng)cm，圓的直徑為dcm，由題意可得：d+x＝20，d﹣y＝15，∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5，∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC，∴△APA'∽△ADC，∴APAD=A∴y=3∴x=207，d∴半徑為：607cm故選：A．【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適的輔助線．8．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，以O(shè)為位似中心，作線段AB的位似圖形，若點D是點B的對應(yīng)點，則點A的對應(yīng)點是（）A．C點 B．F點 C．E點 D．G點【考點】位似變換．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)OD、OB的長度求出相似比，根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵OD＝4，OB＝2，∴線段AB與其位似的圖形的相似比為1：2，由圖可知：點A的對應(yīng)點是點G，故選：D．【點評】本題考查的是位似圖形，根據(jù)題意求出相似比是解題的關(guān)鍵．9．如圖，點A（0，3），B（1，0），將線段AB平移得到線段DC．若∠ABC＝90°，BC＝2AB，則點C的坐標(biāo)為（）A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】過點C作CH⊥x軸于點H，先證明△AOB∽△BHC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BHAO=CHOB=【解答】解：過點C作CH⊥x軸于點H，如圖所示：則∠BHC＝90°，∵點A（0，3）、B（1，0），∴OA＝3，BO＝1，∵∠AOB＝90°，∠ABC＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠HBC＝90°，∴∠OAB＝∠HBC，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB∽△BHC，∴BHAO∵BC＝2AB，∴BH＝2OA＝6，CH＝2OB＝2，∴點C坐標(biāo)為（7，2），故選：A．【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變換—平移，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感，若圖中b＝3m，則a約為（）A．1.236m B．1.416m C．1.584m D．1.854m【考點】黃金分割．【專題】計算題；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，因為圖中b為2米，即可求出a的值．【解答】解：∵雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，∴ab≈∵b為3米，∴a約為1.854米．故選：D．【點評】本題考查了黃金分割，解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割定義．二．填空題（共5小題）11．對許多畫家、藝術(shù)家來說“黃金分割”是他們在現(xiàn)實的創(chuàng)作中必須深入領(lǐng)會的一種指導(dǎo)方針，攝影師也不例外．?dāng)z影中有一種拍攝手法叫黃金分割構(gòu)圖法，其原理是：如圖，將正方形ABCD的邊BC取中點O，以O(shè)為圓心，線段OD為半徑作圓，其與邊BC的延長線交于點E，這樣就把正方形ABCD延伸為黃金矩形ABEF，若CE＝4，則AB＝25+2【考點】黃金分割；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】25+2【分析】設(shè)AB＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝x，則BE＝x+4，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得ABBE=5【解答】解：設(shè)AB＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵CE＝4，∴BE＝BC+CE＝x+4，∵四邊形ABEF是黃金矩形，∴ABBE∴xx解得：x＝25+2經(jīng)檢驗：x＝25+2∴AB＝25+2故答案為：25+2【點評】本題考查了黃金分割，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果EFDF=35，AB＝3，則BC＝【考點】平行線分線段成比例．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】92【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算得到答案．【解答】解：∵EFDF∴DEEF∵AD∥BE∥CF，∴ABBC=DE解得：BC=9故答案為：92【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E為AD邊的中點，連接BD、CE，BD與CE相交于點F，則DF的長為2．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】2．【分析】由題意可求BD=BCcos45°=32，證明△DEF∽△【解答】解：∵正方形ABCD，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BD=∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠CBF，∠DEF＝∠BCF，∴△DEF∽△BCF，∴DFBF=DE解得，DF=故答案為：2．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，則△DEF的面積為49．【考點】位似變換．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】49．【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE，得到△OAB∽△ODE，求出ABDE【解答】解：∵OA：AD＝3：4，∴OA：OD＝3：7，∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴ABDE∴S△ABCS△DEF=∵S△ABC＝9，∴△DEF的面積為49，故答案為：49．【點評】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點E在邊BC上，DF⊥AE，垂足為F．若DF＝6，則線段EF的長為3．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【答案】3．【分析】證明△AFD∽△EBA，得到AFBE=ADAE=DFAB【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴AFBE∵DF＝6，∴AF=AD2∴8BE∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．三．解答題（共5小題）16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點A，B，C的坐標(biāo)分別是（﹣3，4）、（﹣4，1）、（﹣2，2），結(jié)合平面直角坐標(biāo)系解答下列問題．（1）畫出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A'B'C'，并寫出點B'的坐標(biāo)；（2）以點O為位似中心，畫出一個三角形，使它與△ABC的相似比為12【考點】作圖﹣位似變換；作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換．【專題】作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】（1）圖見解析，點B′的坐標(biāo)為（1，4）；（2）圖見解析．【分析】（1）用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分別作出對應(yīng)點A'、B'、C'，依次連接即可得到△A'B'C'和點B'的坐標(biāo)；（2）利用位似變換的性質(zhì)分別作出對應(yīng)點，依次連接即可得到答案．【解答】解：（1）△A′B′C′如下圖，點B′的坐標(biāo)為（1，4）；（2）位似三角形如圖所示△A1B1C1．【點評】本題考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換、位似變換，掌握旋轉(zhuǎn)變換和位似變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．如圖，某位同學(xué)通過調(diào)整自己的位置測量樹高AB，設(shè)法使三角板的斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知兩條邊DE＝0.4m，EF＝0.2m，測得邊DF離地面距離AC＝1.5m，人與樹的距離CD＝8m，求樹高AB的值．【考點】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】樹高AB的值為5.5米．【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的長后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴DEDC∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴0.48∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．答樹高AB的值為5.5米．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．18．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，BD＝5，則DEBC的值為27【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的相似；運算能力．【答案】27【分析】由AD，BD的長，可求出AB的長，由DE∥BC，可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出DEBC【解答】解：∵AD＝2，BD＝5，∴AB＝AD+BD＝2+5＝7．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC故答案為：27【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”是解題的關(guān)鍵．19．如圖AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧BC的中點，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P，與AB的延長線交于點F，AD與BC交于點E．（1）求證：①∠DCB＝∠CAD：②CD2＝DE?AD：（2）若DE＝2，AE＝4，求PCPD【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】（1）①見解答；②見解答；（2）33【分析】（1）①由圓周角定理即可得證；②證明△CED∽△DCA即可得證；（2）連接OD，DB，OD交BC于點G，由②得出CD＝23，然后得出OD//AP，進(jìn)而得出∠P＝90°，△PCD∽ADB，利用對應(yīng)邊成比例即可解答．【解答】（1）證明：①∵D為劣弧BC的中點，∴DB=∴∠DCB＝∠CAD；②∵∠DCB＝∠CAD，∠CDE＝∠CDA，∴△CED∽△DCA，∵DECD∴CD2＝DE?AD；（2）解：如圖，連接OD，DB，OD交BC于點G，∵DE＝2，AE＝4，∴AD＝DE+AE＝6，∵CD2＝DE?AD＝2×23，∴CD＝23，∵DB=∴OD⊥CB，CD＝DB＝23，∴∠OGC＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OD//AP，∴∠P＝90°，∵四邊形ACDB是⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠PCD＝∠ABD，∴△PCD∽ADB，∴PCPD【點評】本題考查與圓有關(guān)的性質(zhì)和概念，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．20．小明和小亮同學(xué)想利用數(shù)學(xué)知識測量矗立在廣場邊上的旗桿AB的高度．如圖，他們在廣場上的D處放置了一根垂直于地面的標(biāo)桿CD，然后小明筆直地站在F處，小亮在F和D之間找到一個合適的位置P，并在P點處放置了一面小鏡子，此時小明恰好看到在鏡子里點A和點C重合．已知，點F、P、D、B在同一條直線上，通過測量，BD＝8.8m，F(xiàn)D＝2.2m，CD＝1.8m，小明的眼睛離地面的高度EF＝1.5m．求旗桿AB的高度．【考點】相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識．【答案】旗桿AB的高度為15米．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠EFP＝∠CDP＝90°，∠EPF＝CPD，∴△PEF∽△PCD，∴EFCD∴1.51.8∴PD＝1.2，∴PB＝10m，∵CD⊥PB，AB⊥PB，∴△CDP∽△ABP，∴CDAB∴1.8AB∴AB＝15，答：旗桿AB的高度為15米．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．整式的混合運算（1）有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順序相似．（2）“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來．2．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆枺?、有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．3．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．4．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．5．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．7．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．8．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運用運用切線的性質(zhì)進(jìn)行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形解決問題．9．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．（2）任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．10．剪紙問題一張紙經(jīng)過折和剪的過程，會形成一個軸對稱圖案．解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的找到對稱軸．一般方法是動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案．11．平移的性質(zhì)（1）平移的條件平移的方向、平移的距離（2）平移的性質(zhì)①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等．12．坐標(biāo)與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標(biāo)變化①向右平移a個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+b）①向下平移b個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．）13．作圖-旋轉(zhuǎn)變換（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．14．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5-12AB≈0.618（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：5-12；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值