第四章-彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程

第四章彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程

§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)

塑性力學(xué)的附加假設(shè)

§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)

§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件

§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則

§4-6加載準(zhǔn)則、加載曲面、加載方式

§4-7

塑性本構(gòu)方程

彈塑性力學(xué)第四章彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程(續(xù)1)

本章介紹彈塑性力學(xué)基本理論中的本構(gòu)理論。在本構(gòu)理論的研究過(guò)程中，涉及到了材料，也就是涉及到物體的物理變形特性。因此，本構(gòu)理論進(jìn)一步細(xì)分為彈性本構(gòu)理論和塑性本構(gòu)理論兩部分。本章本構(gòu)理論的學(xué)習(xí)可分成以下四部分進(jìn)行學(xué)習(xí)。

其一：正確理解彈性變形、塑性變形、本構(gòu)關(guān)系、力學(xué)變形模型等概念。熟練掌握材料的彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)和常用力學(xué)變形模型。這些內(nèi)容涉及教材§4-1§4-2節(jié)。彈塑性力學(xué)第四章彈性變形、塑性變形、本構(gòu)方程(續(xù)2)

其二：正確理解應(yīng)變能、應(yīng)變比能、彈性參數(shù)、極端各向異性體、正交各向異性體、橫觀各向同性體、各向同性體等概念。了解各向異性材料的彈性本構(gòu)關(guān)系，熟練掌握各向同性材料的彈性本構(gòu)關(guān)系。上述內(nèi)容涉及教材§4-3節(jié)。

其三：正確理解屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、平面、屈服曲線、屈服條件、強(qiáng)度準(zhǔn)則等概念。熟練掌握常用屈服條件及其應(yīng)用，簡(jiǎn)單了解巖土材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則。這些內(nèi)容涉及教材§4-4、§4-5節(jié)。

其四：正確理解加載、加載準(zhǔn)則等概念。簡(jiǎn)單了解塑性本構(gòu)關(guān)系。這些內(nèi)容涉及教材§4-6、§4-7節(jié)。彈塑性力學(xué)§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)◆彈塑性力學(xué)研究的問(wèn)題一般都是靜不定問(wèn)題。｛◆靜不定問(wèn)題的解答1、靜力平衡分析——平衡微分方程2、幾何變形分析——幾何方程3、物理關(guān)系分析——物理方程

◆此即彈塑性力學(xué)分析解決問(wèn)題的基本思路?！舯砻鞴腆w材料產(chǎn)生彈性變形或塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變，以及應(yīng)力率與應(yīng)變率之間關(guān)系的物性方程，稱為本構(gòu)方程（關(guān)系）。彈塑性力學(xué)§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)1）◆

大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)，固體受力變形時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系是相輔相成的?！?/p>

固體材料在一定條件下，應(yīng)力與應(yīng)變之間各自有著確定的關(guān)系，這一關(guān)系反映著固體材料的變形的客觀特性。彈塑性力學(xué)§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)2）

⑴彈性變形特點(diǎn):①?gòu)椥宰冃问强赡娴?。物體在變形過(guò)程中，外力所做的功以能量（應(yīng)變能）的形式貯存在物體內(nèi)，當(dāng)卸載時(shí)，彈性應(yīng)變能將全部釋放出來(lái)，物體的變形得以完全恢復(fù)；②無(wú)論材料是處于單向應(yīng)力狀態(tài)，還是復(fù)雜應(yīng)力態(tài)，在線彈性變形階段，應(yīng)力和應(yīng)變成線性比例關(guān)系；③對(duì)材料加載或卸載，其應(yīng)力應(yīng)變曲線路徑相同。因此，應(yīng)力與應(yīng)變是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。彈塑性力學(xué)§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)3）⑵塑性變形特點(diǎn):①塑性變形不可恢復(fù)，所以外力功不可逆，塑性變形的產(chǎn)生必定要耗散能量（稱耗散能或形變功）。②在塑性變形階段，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。由于本構(gòu)方程的非線性，所以不能使用疊加原理。又因?yàn)榧虞d與卸載的規(guī)律不同，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即應(yīng)力與相應(yīng)的應(yīng)變不能唯一地確定，而應(yīng)當(dāng)考慮到加載路徑（或加載歷史）。③在載荷作用下，變形體有的部分仍處于彈性狀態(tài)稱彈性區(qū)，有的部分已進(jìn)入了塑性狀態(tài)稱塑性區(qū)。在彈性區(qū)，加載與卸載都服從廣義虎克定律。但在塑性區(qū)，加載過(guò)程服從塑性規(guī)律，而在卸載過(guò)程中則服從彈性的虎克定律。并且隨著載荷的變化，兩區(qū)域的分界面也會(huì)產(chǎn)生變化。④依據(jù)屈服條件，判斷材料是否處于塑性變形狀態(tài)。彈塑性力學(xué)§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)4）◆具強(qiáng)化性質(zhì)的固體材料，隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個(gè)方向上提高，而在相反的方向上降低的效應(yīng)，稱為包辛格效應(yīng)?！?/p>

包辛格效應(yīng)導(dǎo)致材料物理力學(xué)性質(zhì)具有各向異性?！粲捎谶@一效應(yīng)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜,一般塑性理論（在本教程）中都忽略它的影響。⑶包辛格效應(yīng):彈塑性力學(xué)§4-1彈性變形與塑性變形的特點(diǎn)、塑性力學(xué)的附加假設(shè)（續(xù)5）⑷

塑性力學(xué)附加假設(shè):為研究塑性力學(xué)需要，對(duì)材料提出如下附加假設(shè)：①球應(yīng)力引起了全部體變（即體積改變量），而不包含畸變（即形狀改變量），體變是彈性的。因此，球應(yīng)力不影響屈服條件；②偏斜應(yīng)力引起了全部畸變，而不包括體變，塑性變形僅是由應(yīng)力偏量引起的。因此，在塑性變形過(guò)程中材料具有不可壓縮性（即體積應(yīng)變?yōu)榱悖虎鄄豢紤]時(shí)間因素對(duì)材料性質(zhì)的影響，即認(rèn)為材料是非粘性的。

◆

這些附加假設(shè)都是建立在一些金屬材料的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的，前兩條對(duì)巖土材料不適應(yīng)。彈塑性力學(xué)§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型◆

變形力學(xué)模型是在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將各種反映材料力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，進(jìn)行分析歸類抽象總結(jié)后提出的?！?/p>

對(duì)不同的固體材料，不同的應(yīng)用領(lǐng)域，可采用不同的變形體力學(xué)模型?！?/p>

確定力學(xué)模型時(shí)應(yīng)注意：

①必須符合材料的實(shí)際情況；

②模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)足夠簡(jiǎn)單。彈塑性力學(xué)§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)1）不同的固體材料，力學(xué)性質(zhì)各不相同。即便是同一種固體材料，在不同的物理環(huán)境和受力狀態(tài)中，所測(cè)得的反映其力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線也各不相同。盡管材料力學(xué)性質(zhì)復(fù)雜多變，但仍是有規(guī)律可循的，也就是說(shuō)可將各種反映材料力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，進(jìn)行分析歸類并加以總結(jié)，從而提出相應(yīng)的變形體力學(xué)模型。彈塑性力學(xué)§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)2）

在確定力學(xué)模型時(shí)，要特別注意使所選取的力學(xué)模型必須符合材料的實(shí)際情況，這是非常重要的，因?yàn)橹挥羞@樣才能使計(jì)算結(jié)果反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實(shí)應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)。另一方面要注意所選取的力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)足夠簡(jiǎn)單，以便在求解具體問(wèn)題時(shí)，不出現(xiàn)過(guò)大的數(shù)學(xué)上的困難。關(guān)于彈塑性力學(xué)中常用的簡(jiǎn)化力學(xué)模型分析如下：彈塑性力學(xué)§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)3）◆

理想彈塑性力學(xué)模型

理想彈塑性力學(xué)模型亦稱為彈性完全塑性力學(xué)模型，該模型抓住了韌性材料的主要變形特征。其表達(dá)式為：（4-2）彈塑性力學(xué)§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)4）◆

理想線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型

理想線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型亦稱為彈塑性線性強(qiáng)化材料或雙線性強(qiáng)化模型。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：彈塑性力學(xué)§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)5）◆理想剛塑性力學(xué)模型

理想剛塑性力學(xué)模型亦稱剛性完全塑性力學(xué)模型，特別適宜于塑性極限載荷的分析。其表達(dá)式為:（4--4）彈塑性力學(xué)§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)6）◆

理想線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型

理想線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：（4--5）彈塑性力學(xué)§4-2

常用簡(jiǎn)化力學(xué)模型（續(xù)7）◆冪強(qiáng)化力學(xué)模型

為了避免在處的變化，有時(shí)可以采用冪強(qiáng)化力學(xué)模型。當(dāng)表達(dá)式中冪強(qiáng)化系數(shù)n分別取

0或1時(shí)，就代表理想彈塑性模型和理想剛塑性模型。其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式為：（4--6）彈塑性力學(xué)§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)大量的試驗(yàn)研究結(jié)果表明，在許多工程材料的彈性范圍內(nèi)，單向的應(yīng)力與應(yīng)變之間存在著線性關(guān)系。若取過(guò)某點(diǎn)的x方向?yàn)閱屋S向力方向，則簡(jiǎn)單拉(壓)時(shí)的虎克定律為：

由于這種關(guān)系反映出來(lái)的材料變形屬性，應(yīng)不隨應(yīng)力狀態(tài)的不同而變化，因而人們認(rèn)為，對(duì)于各種復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)也應(yīng)有性質(zhì)相同的關(guān)系，故可將上述應(yīng)力應(yīng)變線性比例關(guān)系推廣到一般情況，即在彈性變形過(guò)程中，任一點(diǎn)的每一應(yīng)力分量都是六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量的線性函數(shù)；反之亦然。這種形式的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，稱為廣義虎克定律或彈性本構(gòu)方程，表達(dá)為數(shù)學(xué)形式則為：

彈塑性力學(xué)§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)1）式中Cmn稱為彈性常數(shù)，與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)。（4-8）⑴

廣義虎克定律一般表達(dá)式：假設(shè)物體中沒(méi)有初應(yīng)力，對(duì)于均勻的理想彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系下：彈塑性力學(xué)◆廣義虎克定律張量表達(dá)式：（4-9）◆

廣義虎克定律式（4-8）中36個(gè)彈性常數(shù)是否彼此無(wú)關(guān)？◆

彈性常數(shù)針對(duì)各種不同的研究對(duì)象；它們之間的關(guān)系是什么？◆式（4-8）若采用矩陣表達(dá)式,則為：{σ}=[D]{ε}{σ}稱為應(yīng)力列陣；{ε}稱為應(yīng)變列陣；[D]稱為彈性矩陣?！?-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)2）彈塑性力學(xué)⑵彈性應(yīng)變能函數(shù):◆

彈性體的實(shí)功原理：若對(duì)于靜荷載作用下產(chǎn)生彈性變形過(guò)程中不計(jì)能量耗散，則據(jù)功能原理：產(chǎn)生此變形的外力在加載過(guò)程中所作的功將以一種能量的形式被積累在物體內(nèi)，此能量稱為彈性應(yīng)變能，或稱彈性變形能。并且物體的彈性應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力功。這就是實(shí)功原理，也稱變形能原理。若彈性應(yīng)變能用U表示，外力功用We表示，則有：

（4--10）若以Wi表示內(nèi)力功，則有：（4--11）（a）且：§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)3）

彈塑性力學(xué)⑶、彈性體中的內(nèi)力功和應(yīng)變能：物體內(nèi)代表一點(diǎn)的微分體，在變形時(shí)存在有剛性位移與變形位移兩部分。但由于內(nèi)力是平衡力系，在微分體的剛體（性）位移上不作功，則只須討論應(yīng)力對(duì)微分體引起應(yīng)變所作的內(nèi)力功（亦稱形變功）?！?-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)4）首先考察單元體上外法線與x軸相平行的微截面上拉力（或壓力）所作的功如圖4-8(a)所示。彈塑性力學(xué)

同理可得：

于是拉力所作的內(nèi)力功為：同理可得：

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)5）彈塑性力學(xué)則彈性體由零應(yīng)變狀態(tài)加載至某一應(yīng)變狀態(tài)的過(guò)程中，彈性體整個(gè)體積的內(nèi)力功為：（4—12）于是從零應(yīng)變狀態(tài)到達(dá)某一應(yīng)變狀態(tài)的過(guò)程中，積累在彈性體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能為：

（4—14）

（4—13）§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)6）（4—13）彈塑性力學(xué)⑷、彈性勢(shì)能函數(shù):有勢(shì)力在勢(shì)力場(chǎng)（彈性體）中，由于質(zhì)點(diǎn)位置的改變（變形）有做功的能力，這種能稱為勢(shì)能。這種勢(shì)能顯然就是上述應(yīng)變能。勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，故我們把應(yīng)變能亦稱為應(yīng)變能函數(shù)，或彈性勢(shì)能函數(shù)。

對(duì)于理想彈性體，在每一確定的應(yīng)變狀態(tài)下，都具有確定的應(yīng)變值。彈性勢(shì)能函數(shù)與應(yīng)變過(guò)程無(wú)關(guān)。在加、卸載的過(guò)程中：

（b）§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)7）彈塑性力學(xué)上式表明：應(yīng)力分量等于彈性勢(shì)函數(shù)對(duì)相應(yīng)的應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)。適用于一般彈性體。其縮寫式為：

彈性勢(shì)能函數(shù)是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，故必為全微分，即：

（4—19）

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)8）（4—17）

（4—18）

彈塑性力學(xué)⑸、彈性常數(shù)間的關(guān)系:①、極端各向異性體:對(duì)極端各向異性體，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有21個(gè)。

變形過(guò)程中，積累在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能為：

（4—21）

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)9）（4—20）

彈塑性力學(xué)②、正交各向異性體:正交各向異性體：過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)具有三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面，在每個(gè)對(duì)稱面兩側(cè)的對(duì)稱方向上彈性性質(zhì)相同，但在三個(gè)互相正交方向的彈性性質(zhì)彼此不同?！?-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)10）應(yīng)變能的值只取決于彈性常數(shù)及最終的應(yīng)變狀態(tài)，應(yīng)該與坐標(biāo)軸的指向無(wú)關(guān)。彈塑性力學(xué)

正交各向異性體獨(dú)立的彈性常數(shù)只有9個(gè)。則其相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

其單位體積應(yīng)變能為：（4—22）

（4—23）

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)11）彈塑性力學(xué)有一類正交各向異性體，其特點(diǎn)是在平行于某一平面的所有各個(gè)方向(即所謂橫向)都具有相同的彈性，我們將這類正交異性體稱為橫觀各向同性體。許多成層的巖石就屬于這一類。③、橫觀各向同性體:

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)12）（4—24）（4—25）彈塑性力學(xué)§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)13）對(duì)比材料力學(xué)的公式，則式(4-25)可寫成：（4—26）由于在平面內(nèi)各向同性，故由材料力學(xué)的證明知：（4—27）對(duì)于橫觀各向同性體，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有5個(gè)，它們是：。

彈塑性力學(xué)§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)14）④、各向同性體:所謂各向同性體：是指過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)沿任何方向上的物理力學(xué)性質(zhì)均相同的物體。其獨(dú)立的彈性常數(shù)只有兩個(gè)。

各向同性體兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)通常取為：

彈性模量E和泊桑比υ

★各向同性彈性體的本構(gòu)方程:（4—28）（4—29）A.用應(yīng)力表達(dá)應(yīng)變的廣義虎克定律:彈塑性力學(xué)B.用應(yīng)變表達(dá)應(yīng)力的廣義虎克定律：上式中λ稱為拉梅常數(shù)。（4—33）

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)15）剪切彈性模量G，楊氏彈性模量E，泊松(Poisson)比三者間的關(guān)系為：（4—30）（4—33）彈塑性力學(xué)C．用球應(yīng)力與應(yīng)力偏量表示的廣義虎克定律：

（4—38）

此式說(shuō)明各向同性彈性體的本構(gòu)方程也可表示為：應(yīng)變球張量與應(yīng)力球張量成正比，應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比。§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)16）若將式(4-31)中各彈性系數(shù)代人式(4-23)，即可得各向同性體的應(yīng)變比能為：

（4—34）

彈塑性力學(xué)體積彈性模量K剪切彈性模量G>0

彈性模量E>0

拉梅常數(shù)λ>0

§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)17）泊桑比

0<

<0.5彈塑性力學(xué)

例4—1

當(dāng)泊松比υ=0.5時(shí)，為什么表示材料不可壓縮性，即體積不變。此時(shí)的剪切彈性模量G與拉壓彈性模量E有什么關(guān)系？解：設(shè)υ=0.5，由式（4—38）第一式及式（4—37），所以，體積應(yīng)變:說(shuō)明材料體積不變，即材料有不可壓縮性。又由式（4—30），得:§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)18）彈塑性力學(xué)§4-3

彈性本構(gòu)方程、彈性應(yīng)變能函數(shù)（續(xù)19）

A、球應(yīng)力（平均正應(yīng)力）引起了單元體全部體變而不包括畸變；體變是彈性的。B、偏應(yīng)力引起了單元體全部畸變而不包括體變。塑性變形僅是由應(yīng)力偏量引起的。事實(shí)上，由于應(yīng)力狀態(tài)中發(fā)生體變的球應(yīng)力始終存在、發(fā)生彈性畸變的偏應(yīng)力也始終存在，因此整個(gè)變形階段彈性變形是始終存在的。當(dāng)應(yīng)力超過(guò)屈服極限而發(fā)生塑性變形時(shí)，始終還伴隨著彈性變形，故而這個(gè)變形階段稱為彈塑性階段。上述的兩點(diǎn)討論有助于我們對(duì)塑性變形的研究，

★應(yīng)力張量和應(yīng)變張量分解的物理意義：彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件1、屈服函數(shù):

判斷材料是處于彈性狀態(tài)還是已經(jīng)進(jìn)入到塑性狀態(tài)，進(jìn)行這一判斷所依據(jù)的準(zhǔn)則就稱為屈服條件，又稱塑性條件。當(dāng)材料處于簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限材料便處于塑性狀態(tài)。即便是對(duì)那些應(yīng)力應(yīng)變曲線上彈塑性階段分界不明顯的材料，也可采用屈服極限。彈塑性力學(xué)提出問(wèn)題:

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的屈服條件如何確立呢？

一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通常是由六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量所確定。作為判斷材料是否進(jìn)入塑性狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該考慮到所有這些應(yīng)力分量的貢獻(xiàn)。固體材料破壞的基本類型只有兩類：（1）材料屈服流動(dòng)、強(qiáng)化，產(chǎn)生較大的塑性變形，最終導(dǎo)致剪切斷裂；（2）材料幾乎不產(chǎn)生塑性變形，就導(dǎo)致脆性斷裂；§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)1）彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)2)★

對(duì)于同一種材料，無(wú)論它處于何種應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)導(dǎo)致它產(chǎn)生某種破壞的這一共同的因素達(dá)到某一個(gè)極限值時(shí)，材料就會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的破壞?！?/p>

因此，我們希望通過(guò)材料的簡(jiǎn)單力學(xué)試驗(yàn)來(lái)確定這個(gè)因素的極限值?！?/p>

人們根據(jù)材料破壞的現(xiàn)象，總結(jié)材料破壞的規(guī)律逐漸認(rèn)識(shí)到：不管固體材料產(chǎn)生破壞（脆性斷裂或塑性屈服→剪切斷裂）的表面現(xiàn)象多么復(fù)雜，對(duì)應(yīng)某種破壞形式都具有共同的某一決定強(qiáng)度的因素。彈塑性力學(xué)

現(xiàn)在的問(wèn)題就是：考慮如何根據(jù)簡(jiǎn)單受力狀態(tài)的試驗(yàn)結(jié)果（上述極限值），去建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下（即與所有的應(yīng)力分量都相關(guān)的）判別材料變形狀態(tài)的關(guān)系——屈服條件。

在一般情況下，屈服條件與所考慮的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，或者說(shuō)屈服條件是該點(diǎn)六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量的函數(shù)，即為：（4—40）上式中的稱為屈服函數(shù)。

§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)3）彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)4）2、主應(yīng)力空間：（4—41）

對(duì)于各向同性材料來(lái)說(shuō)，坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不應(yīng)當(dāng)影響材料的屈服。因而可以取三個(gè)應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸。此時(shí)，屈服函數(shù)式（4—40）可改寫為：若球應(yīng)力狀態(tài)只引起彈性體積變化，而不影響材料的屈服。則可認(rèn)為屈服函數(shù)為：（4—42）因此，屈服函數(shù)就轉(zhuǎn)化為用應(yīng)力偏量表示的函數(shù)，而且可以在主應(yīng)力所構(gòu)成的空間，即主應(yīng)力空間來(lái)討論。彈塑性力學(xué)

主應(yīng)力空間是一個(gè)三維空間，物體中任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都可以用主應(yīng)力空間中相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)矢量來(lái)表示，如圖所示。因此，我們?cè)谶@一主應(yīng)力空間內(nèi)可以形象地給出屈服函數(shù)的幾何圖象，而直觀的幾何圖形將有助于我們對(duì)屈服面的認(rèn)識(shí)?！?-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)5）彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)6）⑴．球應(yīng)力狀態(tài)：或稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，即應(yīng)力偏量為零：

在主應(yīng)力空間中，其軌跡是經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并與三坐標(biāo)軸夾角相同的等傾斜直線

on。

彈塑性力學(xué)

⑵．平均應(yīng)力為零：即，應(yīng)力偏量不等于零。在主應(yīng)力空間中，它的軌跡是一個(gè)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并與on直線相垂直的平面，稱它為π平面。

§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)7）彈塑性力學(xué)⑶．應(yīng)力偏量為常量：即為常數(shù))。它在主應(yīng)力空間中的軌跡是與on線平行但不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線L

。⑷．平均應(yīng)力為常量：即：（C為常量）。其在主應(yīng)力空間的軌跡為一個(gè)與on直線正交但不通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，也即和π平面相平行的平面?！?-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)8）彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)9）在主應(yīng)力空間中，坐標(biāo)原點(diǎn)附近的彈性區(qū)是被塑性區(qū)包圍著的。作為彈性區(qū)與塑性區(qū)交界的曲面，稱之為屈服面。它是屈服條件式（4—41）在主應(yīng)力空間中的軌跡。屈服面的概念是拉伸（或壓縮）應(yīng)力應(yīng)變曲線的屈服極限概念的推廣。彈塑性力學(xué)

若我們認(rèn)為球應(yīng)力（靜水壓力）狀態(tài)不影響材料的屈服，則上述屈服面必定是一個(gè)與坐標(biāo)軸呈等傾斜的柱體表面，其母線垂直于平面。曲線C就稱為屈服曲線或屈服軌跡。§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)10）彈塑性力學(xué)3、屈服曲線及其在π平面內(nèi)的重要性質(zhì):

(2)．屈服曲線與任一從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向徑必相交一次，且僅有一次。(3)．屈服曲線對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的正負(fù)方向均為對(duì)稱。(1)．屈服曲線是一條封閉曲線，而且坐標(biāo)原點(diǎn)被包圍在內(nèi)。(4)．屈服曲線對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)為外凸曲線，也即屈服曲面為外凸曲面?！?-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)11）彈塑性力學(xué)4.討論屈服曲線的可能位置：

一切滿足各向同性、不計(jì)包辛格效應(yīng)、與球應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)、并且外凸等條件的可能的屈服軌跡一定位于正六邊形

ABCDEFA與之間。并且只有外凸的曲線才是可能的屈服軌跡?！?-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)12）彈塑性力學(xué)5、常用屈服條件:

歷史上（從十九世紀(jì)中葉開始）曾經(jīng)先后提出許多不同形式的屈服條件，如最大正應(yīng)力條件（G.Galileo）、最大彈性應(yīng)變條件（B.Saint—Venant）、彈性總能量條件（E.Beltrami）、最大剪應(yīng)力條件（H.Tresca）、歪形能條件（R.Von

Mises）、Mohr條件（O.Mohr）、……等等。經(jīng)過(guò)許多實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，證明符合工程材料特征，又便于在工程中應(yīng)用的常用屈服條件有以下兩種：§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)13）彈塑性力學(xué)（1）．Tresca屈服條件（最大剪應(yīng)力條件）:1864年，法國(guó)工程師屈雷斯卡（H.Tresca）在作了一系列金屬擠壓實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)在變形的金屬表面有很細(xì)的痕紋，而這些痕紋的方向很接近于最大剪應(yīng)力的方向，因此他認(rèn)為金屬的塑性變形是由于剪切應(yīng)力引起金屬中晶格滑移而形成的。(指絕對(duì)值)達(dá)到某一極限值時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。當(dāng)

Tresca指出：在物體中，當(dāng)最大剪應(yīng)力(指絕對(duì)值)達(dá)到某一極限值時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。即：§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)14）（4—43）彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)15）（4—43）通過(guò)簡(jiǎn)單受力狀態(tài)的試驗(yàn)來(lái)測(cè)定。如采用單向拉伸試驗(yàn)和純剪切試驗(yàn)可測(cè)得：（4—48）（4—49）最大剪應(yīng)力的假設(shè)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca條件時(shí)，主應(yīng)力的大小和次序應(yīng)該知道，因?yàn)檫@樣才能求出最大剪切應(yīng)力，使用Tresca條件是很方便的。彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)16）

Tresca屈服條件在主應(yīng)力空間中的幾何軌跡，相當(dāng)于圖4-18(a)中所示正六角柱體。該柱體與平面的截跡如圖4-18(b)所示。該柱體與平面的截跡，則為一等邊等角的六邊形，如圖4-18(c)所示。彈塑性力學(xué)

Tresca最大剪應(yīng)力屈服條件忽略了中間主應(yīng)力對(duì)材料屈服的貢獻(xiàn)，這是它的不足之處。德國(guó)力學(xué)家米塞斯（R.VonMises）注意到了這個(gè)問(wèn)題。

§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)17）米塞斯（R.VonMises）（1913年）指出：在等傾面上，Tresca條件六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)是由實(shí)驗(yàn)得到的，但是連接六個(gè)頂點(diǎn)的直線段卻包含了假定（認(rèn)為中間主應(yīng)力不影響屈服），這種假定是否合適，需經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明。彈塑性力學(xué)

Mises認(rèn)為：用一個(gè)圓來(lái)連接這六個(gè)頂點(diǎn)似乎更合理，并且可避免因曲線不光滑而造成的數(shù)學(xué)上的困難。因此，Mises屈服條件在主應(yīng)力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖所示?！?-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)18）彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)19）

Mises屈服條件在主應(yīng)力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體，如圖4-19(a)所示，該圓柱體垂直于正八面體斜面或平面。

彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)20）于是Mises提出了另一個(gè)屈服條件——畸變能條件，即認(rèn)為當(dāng)物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的畸變能達(dá)到某一極限數(shù)值k時(shí)，該點(diǎn)處材料便屈服?？赏频没兡苊芏裙綖椋汗蔒ises條件可寫為：（4—52）（4—51）式中k為表征材料屈服特征的參數(shù)。彈塑性力學(xué)§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)21）通過(guò)簡(jiǎn)單受力狀態(tài)的試驗(yàn)來(lái)測(cè)定k

。若采用單向拉伸試驗(yàn)和純剪切試驗(yàn)可測(cè)得：和則：（4—53）（4—54）彈塑性力學(xué)★

Hencky認(rèn)為：當(dāng)韌性材料的形狀改變能密度達(dá)到一定數(shù)值k′時(shí)，材料便開始屈服。（4—55）

§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)22）故Mises條件也可寫為：彈塑性力學(xué)★

1937年納達(dá)依（A.Nadai）認(rèn)為當(dāng)八面體剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，材料便開始屈服。即：（4—56）

★

1952年諾沃日洛（В.Б.Новожипов）又對(duì)Mises條件的物理意義用剪應(yīng)力的均方值給了又一個(gè)解釋。以上各種屈服條件的解釋雖然表達(dá)形式不同，但實(shí)際上它們之間是存在有內(nèi)在聯(lián)系的。§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)23）彈塑性力學(xué)6．Tresca屈服條件與Mises屈服條件的比較：通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：一般認(rèn)為Mises條件比Tresca條件更符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。而在實(shí)際使用中各有優(yōu)缺點(diǎn)：Tresca條件是主應(yīng)力分量的線性函數(shù)，因而對(duì)于已知主應(yīng)力方向及主應(yīng)力間的相對(duì)值的一類問(wèn)題，是比較簡(jiǎn)便的。而Mises條件則顯然復(fù)雜得多。但是從理論上講，最大剪應(yīng)力條件忽略了中間主應(yīng)力對(duì)屈服的影響，似有不足。而畸變能條件則克服了這一缺點(diǎn)。§4-4

屈服函數(shù)、主應(yīng)力空間、常用屈服條件（續(xù)24）彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則地質(zhì)或采掘工程中的巖土、煤炭、土壤，結(jié)構(gòu)工程中的混凝土、石料以及工業(yè)陶瓷等材料統(tǒng)稱為巖土材料?；蚩估瓘?qiáng)度極限實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)應(yīng)力較低時(shí)，試件材料的內(nèi)部裂隙被壓實(shí)，在這個(gè)階段（OA段），應(yīng)力的數(shù)值增加不大，而壓縮應(yīng)變較大；在內(nèi)部裂隙被壓實(shí)之后，應(yīng)力與應(yīng)變呈現(xiàn)近似線性地增長(zhǎng)，在這個(gè)階段（AB段）中，伴有體積變化，而B點(diǎn)的應(yīng)力值稱為屈服強(qiáng)度。隨著應(yīng)力的增加，材料的微裂紋也在不斷地發(fā)生與擴(kuò)展，因此應(yīng)力和應(yīng)變之間表現(xiàn)出明顯的非線性增長(zhǎng)，也表現(xiàn)一定的應(yīng)變硬化特性（BC段），C點(diǎn)的應(yīng)力值稱為強(qiáng)度極限（抗壓強(qiáng)度極限）。1、巖土材料的變形特征：彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)1）在C點(diǎn)附近，試件總的體積變化從收縮轉(zhuǎn)入擴(kuò)脹，即材料出現(xiàn)宏觀裂紋，裂紋的擴(kuò)展使得材料的變形不斷增加，而應(yīng)力不斷下降，將這一階段（CD段）稱為應(yīng)變軟化階段；DE階段則顯示出了材料的剩余強(qiáng)度。

綜上所述，可將巖土材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線大體分為三段。第l階段（OABC）為應(yīng)力應(yīng)變非線性上升；第Ⅱ階段（CD）為應(yīng)變軟化階段；第Ⅲ階段（DE）為剩余強(qiáng)度階段，在有些材料中并不出現(xiàn)該階段。通常在拉伸情況下，材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線的變化規(guī)律與壓縮時(shí)相似，但表征各階段的應(yīng)力和應(yīng)變的數(shù)值與壓縮時(shí)有很大的差別。巖土材料的受壓強(qiáng)度比受拉時(shí)要高得多。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)2）在巖石力學(xué)和土力學(xué)中，模擬三向受力狀態(tài)的試驗(yàn)被稱為“三軸試驗(yàn)”。三軸試驗(yàn)中最常見的是模擬三向受力狀態(tài)的一種特殊情況，即在三個(gè)相互垂直方向上保持兩方向上的壓力值相等，而改變另一方向上的壓力的大小。這種試驗(yàn)可以在三軸實(shí)驗(yàn)機(jī)上完成，圖4-23為這種三軸實(shí)驗(yàn)機(jī)的主體構(gòu)造原理示意圖。一般圍壓愈低，材料屈服強(qiáng)度也愈低，應(yīng)變軟化階段也愈明顯，隨著圍壓的增大，屈服強(qiáng)度增大，塑性性質(zhì)也明顯增加。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)3）一般圍壓愈低，材料屈服強(qiáng)度也愈低，應(yīng)變軟化階段也愈明顯，隨著圍壓的增大，屈服強(qiáng)度增大，塑性性質(zhì)也明顯增加。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)4）另一種三軸試驗(yàn)就是模擬三個(gè)相互垂直方向的壓力各自獨(dú)立變化。為了和上述三軸試驗(yàn)相區(qū)別，通常稱之為“真三軸試驗(yàn)”。真三軸試驗(yàn)通常是在立方體巖石試件的三組相互正交對(duì)應(yīng)的表面上，獨(dú)立地加載來(lái)進(jìn)行的。試驗(yàn)時(shí)要特別注意減小受載巖石試件表面上的摩擦，以使試件獲得三向受力狀態(tài)的良好近似值?？上攵?，進(jìn)行真三軸試驗(yàn)要比三軸試驗(yàn)復(fù)雜和困難得多，目前這方面還有許多問(wèn)題有待解決。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)5）★通過(guò)以上討論和對(duì)大量巖土材料的試驗(yàn)資料的分析，人們認(rèn)識(shí)到，由于巖土材料組成上的不均勻性、缺陷以及有裂隙的分布，使得材料在受載過(guò)程中細(xì)微裂隙進(jìn)一步擴(kuò)展與運(yùn)動(dòng)，并導(dǎo)致材料的宏觀強(qiáng)度和剛度的降低。因此，材料的非彈性變形主要是由微裂隙和缺陷的產(chǎn)生與擴(kuò)展所引起的?！飵r土材料的：

壓硬性：抗剪強(qiáng)度隨壓應(yīng)力的增高而提高；

剪脹性：在剪應(yīng)力作用下產(chǎn)生塑性體積應(yīng)變；

等壓屈服：在各向相等的壓力作用下產(chǎn)生塑性屈服；使得巖土塑性理論與金屬塑性理論有著重要的差異。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)6）★巖土塑性理論與金屬塑性理論有著重要的差異：在靜水壓力不太大或環(huán)境溫度不太高的工程環(huán)境下，巖土類介質(zhì)表現(xiàn)出應(yīng)變軟化的特性。巖土材料的壓硬性決定了巖土的剪切屈服與破壞必須考慮平均應(yīng)力與材料的內(nèi)摩擦性能。材料的彈性系數(shù)與塑性變形無(wú)關(guān)是金屬材料的特點(diǎn)，而巖土材料則需考慮彈塑性的耦合。(4)在巖土材料中需考慮奇異屈服面。(5)金屬材料中的正交流動(dòng)法則在巖土材料中亦不再適用。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)7）由于影響巖土塑性變形的因素較多，且有些因素是不能忽略的，因此巖土塑性理論中的假設(shè)相對(duì)較少，主要假設(shè)有：

(1)連續(xù)性假設(shè)雖然巖土介質(zhì)在肉眼可見的尺度內(nèi)呈現(xiàn)不均勻性和不連續(xù)性，但是在進(jìn)行工程問(wèn)題的力學(xué)分析時(shí)，可作為連續(xù)介質(zhì)巖土力學(xué)問(wèn)題，即在更大的尺度范圍內(nèi)來(lái)描述各種力學(xué)量時(shí)，取其統(tǒng)計(jì)平均值。

(2)不計(jì)時(shí)間與溫度的影響在多數(shù)情況下，可以忽略蠕變與松弛效應(yīng)，并可略去應(yīng)變率對(duì)變形規(guī)律的影響。在一般工程問(wèn)題中，溫度的變化是不大的，可以不計(jì)溫度的影響。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)8）2、巖土材料的變形模型：脆塑性模型：

如圖4-25(b)所示，在該模型中，應(yīng)力達(dá)到最大值時(shí)產(chǎn)生“跌落”，下降后的應(yīng)力值稱為剩余強(qiáng)度，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：(4-58)彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)9）線性軟化模型：

如圖4-25(c)所示，將應(yīng)變軟化過(guò)程近似為線性的，即：

(4-59)彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)10）

3、巖土材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則：對(duì)于一般巖土材料來(lái)說(shuō)，隨著靜水壓力的增加，屈服應(yīng)力和破壞應(yīng)力都有很大增長(zhǎng)。即使在初始各向同性的假定下，也應(yīng)該對(duì)式(4-42)進(jìn)行修正，而采用的屈服條件形式為：

(4-60)⑴庫(kù)倫(C．A．Coulomb)剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則：巖土力學(xué)中的強(qiáng)度準(zhǔn)則通?？杀硎鋈缦拢涸诮橘|(zhì)一點(diǎn)單元體的任何微截面上，其剪應(yīng)力的大小都不能超過(guò)某一臨界值。當(dāng)達(dá)到該臨界值時(shí)，材料就要產(chǎn)生剪切滑移。在最簡(jiǎn)單的情況下，上述的臨界值和破裂面上的正應(yīng)力之間呈線性關(guān)系，即有：

(4-61)彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)11）

(4-61)上式中：C通常為一常量，是固體材料在微截面上的抗剪強(qiáng)度，在巖石力學(xué)中常稱為粘聚力；為內(nèi)摩擦角（在巖土力學(xué)中一般取壓應(yīng)力為正，此時(shí)前的負(fù)號(hào)應(yīng)改為正號(hào)）。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)12）(4-62)⑵莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則：在更一般的情況下，式(4-61)中的將隨的增加而減小，也即：莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則可用曲線（如雙曲線、拋物線、擺線等）來(lái)表示的增加而變化的情況如圖4-26（b）所示。當(dāng)我們僅考慮值為常數(shù)的情形時(shí)，就是庫(kù)倫剪斷裂準(zhǔn)則式（4-61），表示的是一對(duì)射線，如圖4-6（a）所示。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)13）

當(dāng)我們僅考慮值為常數(shù)的情形時(shí)，就是庫(kù)倫剪斷裂準(zhǔn)則式（4-61），表示的是一對(duì)射線，如圖4-26（a）所示。莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則的包絡(luò)線可以通過(guò)材料的一系列不同應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)，材料產(chǎn)生破壞時(shí)的極限應(yīng)力圓來(lái)確定，如圖4-26（b）所示。介質(zhì)應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力圓就是極限應(yīng)力圓。當(dāng)材料產(chǎn)生剪切滑移時(shí)，極限應(yīng)力圓應(yīng)與射線或包絡(luò)線相切。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)14）而在庫(kù)倫剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則中，則可用單向抗拉強(qiáng)度與單向抗壓強(qiáng)度來(lái)表示粘聚力C和內(nèi)摩擦角它們之間的關(guān)系為：

(4-63)用主應(yīng)力表示庫(kù)倫剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則，得：(4-64)在庫(kù)倫準(zhǔn)則中考慮到了材料的抗拉壓強(qiáng)度極限的明顯差異以及靜水壓力對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則的影響。彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)15）另一種計(jì)及靜水壓力的強(qiáng)度準(zhǔn)則是卓柯—普拉格（Drucker—Prager,1952）準(zhǔn)則，它是Mises條件的推廣，如上圖4—28所示。在庫(kù)倫準(zhǔn)則中考慮到了材料的抗拉壓強(qiáng)度極限的明顯差異以及靜水壓力對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則的影響。它是Tresca

條件的推廣，如下圖4—27所示。⑶卓柯—普拉格強(qiáng)度準(zhǔn)則：彈塑性力學(xué)§4-5巖土材料的變形模型與強(qiáng)度準(zhǔn)則（續(xù)16）關(guān)于材料的屈服條件或強(qiáng)度準(zhǔn)則，除已經(jīng)介紹的Tresca條件、Mises條件、Coulomb準(zhǔn)則、Mohr準(zhǔn)則和Drucker-Prager準(zhǔn)則外，還有選用材料的單拉屈服極限和剪切屈服極限K來(lái)表示的雙剪應(yīng)力屈服條件，還有選用單拉強(qiáng)度極限，單壓強(qiáng)度極限，以及雙壓強(qiáng)度極限來(lái)描述的強(qiáng)度準(zhǔn)則，以及根據(jù)混凝土破壞包絡(luò)面的幾何特性，建議采用以八面體應(yīng)力表達(dá)的強(qiáng)度準(zhǔn)則等。彈塑性力學(xué)§4-6加載準(zhǔn)則、加載曲面、加載方式1、加載準(zhǔn)則：在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)，材料經(jīng)過(guò)塑性變形后卸載再加載屈服極限提高了，我們就稱這一材料的新屈服點(diǎn)為后繼屈服點(diǎn)，而材料剛開始產(chǎn)生塑性變形時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)稱為初始屈服點(diǎn)（即屈服極限）。一