解三角形滿分通關(guān)10講學(xué)生版

解三角形滿分通關(guān)10講專題一三角形中基本量的計(jì)算問(wèn)題 2考點(diǎn)一計(jì)算三角形中的角或角的三角函數(shù)值 3考點(diǎn)二計(jì)算三角形中的邊或周長(zhǎng) 6專題二三角形的三線兩圓及面積問(wèn)題 10考點(diǎn)一三角形的三線兩圓問(wèn)題 11考點(diǎn)二計(jì)算三角形的面積 14專題三三角形形狀的判定問(wèn)題 16專題四三角形中的最值(范圍)問(wèn)題 20考點(diǎn)一三角形中與角或角的函數(shù)有關(guān)的最值(范圍) 20考點(diǎn)二三角形中與邊或周長(zhǎng)有關(guān)的最值(范圍) 22考點(diǎn)三三角形中與面積有關(guān)的最值(范圍) 24專題五三角形中邊角的計(jì)算問(wèn)題 26專題六三角形中面積的計(jì)算問(wèn)題 32專題七三角形中的結(jié)構(gòu)不良題型 34專題八多三角形問(wèn)題 35專題九三角形中的最值(范圍)問(wèn)題 38考點(diǎn)一三角形中與角或角的函數(shù)有關(guān)的最值(范圍) 39考點(diǎn)二三角形中與邊或周長(zhǎng)有關(guān)的最值(范圍) 40考點(diǎn)三三角形中與面積有關(guān)的最值(范圍) 41專題十解三角形綜合問(wèn)題 43考點(diǎn)一正、余弦定理與三角函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題 43考點(diǎn)二正、余弦定理與與向量結(jié)合的問(wèn)題 46專題一 三角形中基本量的計(jì)算問(wèn)題1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理abca2＝b2＋c2－2bccosA；內(nèi)容＝＝＝2Rb2＝c2＋a2－2cacosB；sinAsinCsinBc2＝a2＋b2－2abcosC．bsinAasinBasinC(1)a＝，b＝，c＝；sinBsinAsinAasinBbsinAcsinAb2＋c2－a2(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；cosA＝；baa2bc(3)a2RsinC變形2RsinAb2RsinBccosB＝；abc2ac(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；a2＋b2－c22R2R2RcosC＝．(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；2ab(6)a＋b＋c＝2R．sinA＋sinB＋sinC2．三角形面積公式(a＋b＋c)·r(r，R為別是△ABC內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑)，111abc1S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝2224R2并可由此計(jì)算R、r．3．解三角形有關(guān)的二級(jí)結(jié)論(1)三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：A＋BπC＝－．222(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠π)；④sinA＋B＝cosC；⑤cosA＋B2222＝sinC．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠π)．22(3)三角形中的不等關(guān)系①在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊．π222．③若△ABC為銳角三角形，則A＋B>，sinA>cosB，cosA<sinB，a＋b>c．若△ABC為鈍角三角形(假2如C為鈍角)，則A＋B<π，sinA<cosB，cosA>sinB．?abc2④c2＝a2＋b2C為直角；c2>a2＋b2C為鈍角；c2<a2＋b2C為銳角．⑤＋＞，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈0，π，則sinx＜x＜tanx．若x∈0，π，則1＜sinx＋cosx≤2．22(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：①若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”，然后進(jìn)行代數(shù)式變形；②若式子中含有a，b，c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”，然后進(jìn)行三角恒等變換；③若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”，然后進(jìn)行代數(shù)式變形；④含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；⑤同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理．考點(diǎn)一 計(jì)算三角形中的角或角的三角函數(shù)值【方法總結(jié)】計(jì)算三角形中的角或角的三角函數(shù)值的解題技巧此類問(wèn)題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，最簡(jiǎn)單的問(wèn)題是只用正弦定理或余弦定理即可解決．中等難度的問(wèn)題要結(jié)合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決．難度較大的問(wèn)題要結(jié)合三角恒等變換并同時(shí)用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【例題選講】[例1](1)(2013·湖南)在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，若2asinB＝3b，則角A等于()A．πB．πC．πD．π12643(2)(2017·全國(guó)Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知C＝60°，b＝6，c＝3，則A＝________．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，．已知＝，＝，則cosC等于()(3)ABC7abc78b5cC2B24A．B．－C．±D．25252525(4)(2017·全國(guó)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，則C＝()A．πB．πC．πD．π12643(2018·全國(guó)Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為a2＋b2－c2，則C4＝()A．πB．πC．πD．π2346(6)(2016·山東)△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，則A等于()A．3πB．πC．πD．π4346(7)E，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan∠ECF＝________．(8)(2014·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知b－c＝1a，2sinB＝3sinC，4則cosA的值為_(kāi)_______．(9)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且c＝2a，()的值為13C．A．B．2D．24443(10)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若b＋a＝6cosC，則tanC＋tanC的值tanAabtanB是________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若ba＝，則cosB等于()3cosBsinAA．－1B．1C．－3D．322222．在ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于________．3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a＝b，A＝2B，則cosB＝()52A．5△B．5C．5D．534564．已知a，b，c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若3bcosC＝c(1－3cosB，則sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1)D．3∶25．(2013·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若asinBcosC＋csinBcosA＝1b，且a2＞b，則B等于()A．πB．πC．2πD．5π63366．如圖，在△ABC中，∠C＝π3，BC＝4，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝22，則cosA等于( )A．232 B．42 C．46 D．367．在ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，則cosC的值為_(kāi)_______．8．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝π，則cos5B＝()36A．－3B．1C．1或－1D．－3或022229．已知△在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，則sinB等于________．10．在 ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，則角B的大小為( )A．πB．πC．π或5π636611．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D在邊BC上，∠BAD＝45°，則12．(2020·全國(guó)Ⅲ)在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，則cosB等于(

D．π3或2π3tan∠CAD的值為_(kāi)_______．)A．1B．1C．1D．2932313．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C＝120°，a＝2b，則tanA＝________．14．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(3＋1)∶2，則最大角為_(kāi)_______．15．(2020·全國(guó)Ⅰ)如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開(kāi)圖中，AC＝1，AB＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝________．16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tanC＝()A．3B．4C．－4△D．－3)344317．在 ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝2， ABC面積的最大值為3，則角B的值為A．2πB．πC．πD．π336418．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－23bcsinA，則C＝________．19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB，則角B＝________．20．在 ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，則＝()A．60°B．120°C．30°D．150°21．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則A＝( )A．πB．πC．5πD．2π636322．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sinB－sinA＝3a＋c，則角B＝_______．sinCa＋b23．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b＋a＝2asinB－c，則A＝________．sinCsinB－sinA24．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，則角A為()A．30°B．60°C．120°D．150°25．設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，．若＋＝，＝5sinB，則角C＝________．ABCabcbc2a3sinA126．△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，則sinB的值為2()A．22B．3C．7D．14343sin2A27．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若a＝4，b＝5，c＝6，則等于________．sinC考點(diǎn)二計(jì)算三角形中的邊或周長(zhǎng)【方法總結(jié)】計(jì)算三角形中的邊長(zhǎng)的解題技巧此類問(wèn)題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，最簡(jiǎn)單的問(wèn)題是只用正弦定理或余弦定理即可解決．中等難度的問(wèn)題要結(jié)合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決．難度較大的問(wèn)題要結(jié)合三角恒等變換并同時(shí)用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【例題選講】[例2](1)在△ABC中，若A＝60°，a＝2a＋b＋c3，則等于________．sinA＋sinB＋sinC45(2)(2016·全國(guó)Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝5，cosC＝13，a＝1，則b＝________．(3)在△ABC中，C＝2π，AB＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為()3A．6sinA＋π＋3B．6sinA＋π＋3C．23sinA＋π＋3363(4)(2016·全國(guó)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知a＝

D．23sinA＋π＋365，c＝2，cosA＝23，則b＝()A．2B．3C．2D．3C(5)(2018·全國(guó)Ⅱ)在△ABC中，cos＝5，BC＝1，AC＝5，則AB＝()25A．42B．30C．29D．25(6)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列．若sinB＝5，cosB＝12，13ac則a＋c的值為_(kāi)_______△．(7)如圖，在 ABC中，∠B＝45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____．(8)如圖所示，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．(9)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若S△ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋bcosAc＝2cosC，則c等于()A．27B．4C．23D．333(10)已知△ABC中，AC＝2，BC＝6，△ABC的面積為．若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D，使∠BDC2＝π，則CD＝________．4【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，則a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶2D．2∶3∶12．在△ABC中，若b＝5，B＝π，tanA＝2，則a＝________．43．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a＝1π3，sinB＝，C＝，則b＝________．26b4．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，則等于()aA．23B．22C．3D．25．(2019浙江)在△ABC中，ABC90，AB4，BC3，點(diǎn)D在線段AC上，若BDC45，則BD___________，cosABD___________．6．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA＝3，cosB＝5，b＝3，則c＝________．7．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝51345，cosC＝，a＝1，則b＝()513A．21B．7C．12D．2313513128．(2017·山東)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是( )A．a(chǎn)＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b＝2，sin2C＝1，B＝π，則a的值為()1－cos2C6A．3－1B．23＋2C．23－2D．2＋610．在ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝()D4B2C3．．．．711．△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，則a＝()8A．2B．5C．3D．72212．(2013·福建)在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝22，AB＝32，AD＝3，則3BD的長(zhǎng)為()A．3B．3C．2D．213．(2014·廣東)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則a＝____．b14．(2014·全國(guó)Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是1，AB＝1，BC＝2，則AC等于()2A．5B．5C．2D．1π3sin2C15．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，則c＝()3cosCA．2B．3C．4D．6316．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足2cos2A＋3sin2A＝2，b＝1，S＝，2A＝________，b＋c＝________．sinB＋sinC17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝7，且△ABC的面積為33，則△ABC的周長(zhǎng)為()2A．1＋7B．2＋7C．4＋7D．5＋718．在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知a＝4，b＝26，sin2A＝sinB，則邊c的長(zhǎng)為A．2B．3C．4D．2或419．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B＝2sinAsinC，且a>c，cosB＝1a，則＝()4cA．2B．3C．3D．4220．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，則a＝()bA．2B．3C．2D．321．(2019·全國(guó)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝1b－，則＝()4cA．6B．5C．4D．322．在△ABC中，已知B＝π，D是BC邊上一點(diǎn)，AD＝10，AC＝14，DC＝6，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．4A＋B23．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若2cos2－cos2C＝1，4sinB＝3sinA，a－b＝1，2則c的值為()A．13B．7C．37D．6→3－1→24．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一點(diǎn)，且BD＝BC，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)______．225．如圖，在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝，則AB＝________．10，DC＝226．如圖，在△ABC中，AB＝2，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝31010，cos∠C＝255，則AC＝________．27．已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，則BD的長(zhǎng)等于________．28．在四邊形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，且A∶∠ABC∶C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．29．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且B為銳角，若sinA＝5c，sinB＝7，S△ABC＝57，4sinB2b4則b的值為_(kāi)_______．π3＋330．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知A＝，b＝6，△ABC的面積為，42則c＝________，B＝________．331．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面積為，且sinA＋sinC2＝2sinB，則b的值為_(kāi)_______．△32．在ABC中，B＝30°，AC＝2ACD的面積為5，D是AB邊上的一點(diǎn)，CD＝2，若∠ACD為銳角，BC＝________．，則，△ABC的面積為．若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D，使∠BDC33．已知△ABC中，AC＝，BC＝3262＝π，則CD＝________．434．在ABC中，A＝60°，BC＝，BCD的面積為10，D是AB邊上不同于A，B的任意一點(diǎn)，CD＝2AC()，則的長(zhǎng)為A．2B．C．3D．233333專題二 三角形的三線兩圓及面積問(wèn)題一．中線中線定理：一條中線兩側(cè)所對(duì)邊的平方和等于底邊平方的一半與該邊中線平方的2倍．即：如圖，在ABC中，D為BC中點(diǎn)，則AB2AC212BC22AD2．證明在ABD中，cosBAB2BD2AD2，在ABC中，cosBAB2BC2AC2．2ABBD2ABBCAB2AC212BC22AD2．另外已知兩邊及其夾角也可表述為：4AD2AB2AC22ABACcosA．121212121證明由AD(ABAC)，AD(ABAC)ABACABACcosA，244424AD2AB2AC22ABACcosA．二．角平分線角平分線定理：如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，則ABBD．ACCD證法1在ABD中，ABBD，在ACD中，ACCD，ABBD．sinADBsinBADsinADCsinCADACCD證法2該結(jié)論可以由兩三角形面積之比得證，即SABDABBD．SACDACCD三．高高的性質(zhì)：h，h，h分別為ABC邊a，b，c上的高，則h:h:h1:1:11:1:1123123abcsinAsinBsinC求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長(zhǎng)度．四．外接圓過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫三角形的外接圓．其圓心叫做三角形的外心．外接圓半徑的計(jì)算：R＝abc＝＝．2sinA2sinB2sinCabc外接圓半徑與三角形面積的關(guān)系：S△ABC＝＝(R為△ABC外接圓半徑)．4R五．內(nèi)切圓與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓．其圓心叫做三角形的內(nèi)心．內(nèi)切圓半徑與三角形面積的關(guān)系：S△ABC＝12(a＋b＋c)·r(r為△ABC內(nèi)切圓半徑)，并可由此計(jì)算r．考點(diǎn)一三角形的三線兩圓問(wèn)題【例題選講】[例1](1)△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于()3C．＋＋A．3B．336D．33942227(2)在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC邊的中線AD＝，則BC＝________．2(3)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分線AD＝3，則AC＝________．(4)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若tanC＝125，a＝b＝13，BC邊上的中點(diǎn)為D，則sin△∠BAC＝________，AD＝________．(5)已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，BC邊上的中線長(zhǎng)為22，高線長(zhǎng)為3，且btanA＝(2c－b)tanB，則bc的值為_(kāi)_______．(6)已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，一腰長(zhǎng)為12，則它的內(nèi)切圓面積為_(kāi)_______．(7)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，則△ABC外接圓的面積為()A．4πB．2πC．πD．π2(8)設(shè)△ABC內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為r與R，且sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cosC＝________；當(dāng)BC＝1時(shí)，△ABC的面積為_(kāi)_______．(9)在ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，AB＝AC＝6，AD＝4，若ABC的外心恰在線段BD上，則BC＝_____．△△答案36解析解法1如圖1，設(shè)ABC的外心為O，連結(jié)AO，則AO是∠BAC的平分線，所BOAB33→→3→→→2→3→→＝＝，→＝→＋→＝→＋＝＋－，＝＋，AB5(ADAB)5AD以O(shè)DAD2所以AOABBOAB5BD即AO5AB兩邊同時(shí)點(diǎn)乘AB得→→2→3→→23136＋36－2×62×1AO·AB＝(AB)2＋AB·AD，即18＝×36＋×6×4cos∠BAC，所以cos∠BAC＝，則BC＝455554＝3→6．(說(shuō)明：兩邊同時(shí)點(diǎn)乘AD也是一樣的)圖1圖2圖311解法2·6Rsinα＋·4Rsinα221·6·4sin2α，化簡(jiǎn)得24cosα＝5R．在Rt△AFO65＝中，Rcosα＝3，聯(lián)立解得R＝10，cosα＝，所以sinα2583，所以BC＝2BE＝2ABsinα＝12×3＝3＝6．88解法3如圖3，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為F，則BO＝AB＝3，OE＝BO＝ODAD2DFBD3．又DF∥AE，則DFCD1OE1．設(shè)OE＝x，則AE＝5x，所以O(shè)B＝OA＝4x，所以BE＝＝＝，所以＝15x．又5AECA3AE51因?yàn)?5x2＋15x2＝36，所以x＝3，所以BC＝2BE＝36．10(10)已知△ABC的外接圓半徑為R，且滿足2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)·sinB，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，則AC邊上的高為_(kāi)_______．2．如圖所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝473，則BC邊上的高AD的長(zhǎng)為_(kāi)____．π13．(2016·全國(guó)Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cosA＝()433101010310A．B．C．－D．－101010104．在銳角ABC中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為a，b，c，b＝4，c＝6且asinB＝23，D為BC的中點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．5．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中點(diǎn)，AM＝4，則BC等于________．6．在 ABC中，AD為邊BC上的中線，AB＝1，AD＝5，∠ABC＝45°，則sin∠ADC＝________，AC＝________．7．在△ABC中，已知AB＝436，cos∠ABC＝66，AC邊上的中線BD＝5，則sinA的值________．８．在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝26，則B的角平分線的長(zhǎng)是________．9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分線交BC于點(diǎn)D，且BD＝7，則cos∠ADB的值為()C．2A．－21B．217D．±21777710．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知A＝π3，b＝1，△ABC的外接圓半徑為1，則△ABC的面積S＝________．11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，則△ABC的外接圓直徑為_(kāi)_______．12．△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2，3，其夾角的余弦值為1，則其外接圓的直徑為_(kāi)_______．313．已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為1和3，第三邊上的中線長(zhǎng)為1，則三角形的外接圓半徑為_(kāi)_______．14．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC＝2，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接23圓面積為()A．4πB．8πC．9πD．36π15．已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝162，則三角形的面積為_(kāi)_______．16．如圖所示，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，則BC＝________．17．在外接圓半徑為12的△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，則b＋c的最大值是()1A．1B．C．3D．32218．在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且BC邊上的高為63a，則bc＋bc取得最大值時(shí)，內(nèi)角A的值為()A．πB．πC．2πD．π2633考點(diǎn)二 計(jì)算三角形的面積【方法總結(jié)】三角形面積問(wèn)題的題型及解題策略三角形的面積是與解三角形息息相關(guān)的內(nèi)容，經(jīng)常出現(xiàn)在高考題中，難度不大．解題的前提條件是熟練掌握三角形面積公式，具體的題型及解題策略為：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有關(guān)元素之后，直接求三角形的面積，或求出兩邊之積及夾角正弦，再求解．(2)把面積作為已知條件之一，與正弦定理、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他各量．面積公式中涉及面積、兩邊及兩邊夾角正弦四個(gè)量，結(jié)合已知條件列方程求解．【例題選講】[例2](1)(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，則△ABC的面積等于________．答案23解析在△ABC中，由正弦定理得sin60°23＝sin4B，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝12×AB×23＝12×42－232×23＝23．(2)(2019·全國(guó)Ⅱ)△ABC的內(nèi)角內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝π3，則△BDC的面積是________．答案6解析由余弦定理得b2a2c22accosB，所以(2c)2c222cc162，即32c212，解得c23,c23（舍去），所以a2c43，S△ABC12acsinB1243232363．(3)(2018·全國(guó)Ⅰ)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為_(kāi)_________．答案23解析已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC?2sinBsinC＝4sinA·sinBsinC，所以sinA＝1，由b2322228＋c2－a2＝8>0知A為銳角，所以cosA＝3，所以3＝b＋c－a＝4，所以bc＝＝83，所以S△ABC＝222bcbc331bcsinA＝1×83×1＝23．23232(4)(2017·浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________．(5)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝4，cosC＝5，a＝1，則△ABC的面積S135＝________．→→(6)在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB，BA·BC＝2，則△ABC的面積為_(kāi)_______．(7)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A，且c＝6，C3()，則的面積是A．3B．33C．3或1D．3或33(8)已知四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，試求四邊形ABCD的面積．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 △1．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè) ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，1a2＋c2－b2C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為S＝a2c2－22．若a2sinC4＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為()C．3△A．3B．2D．6π2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知a＝2，c＝22，且C＝，則△ABC的面積4為()A．3＋1B．3－1C．4D．23．(2013·全國(guó)Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝π，C＝π，則△ABC的64面積為()A．23＋2B．3＋1C．23－2D．3－14．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若a＝2bcosA，B＝π3，c＝1，則△ABC的面積為_(kāi)_______．5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知cosA＝23，sinB＝5cosC，并且a＝2，則△ABC的面積為_(kāi)_______．6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且(2b－a)cosC＝ccosA，c＝3，sinA＋sinB＝26sinAsinB，則△ABC的面積為()33333A．B．2C．D．8247．在△ABC中，c＝22，a>b，tanA＋tanB＝5，tanAtanB＝6，則△ABC的面積為_(kāi)_______．38．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝1，2b－3c＝2acosC，sinC＝，則2△ABC的面積為()33333A．B．C．或D．3或242429．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，則其面積等于________．10．(2014·江西)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若c2＝(a－的面積是()A．3B．93C．3322

b)2＋6，C＝π3，則△ABCD．3311．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝22，cosA＝34，sinB＝2sinC，則△ABC的面積是________．12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝2，cosB＝1，則c＝________；△ABC4的面積S＝________．713．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝5，a＝3，cos(B－A)＝，則△ABC的面積為9()1552A．B．C．52D．222314．如圖，在四邊形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于________．專題三 三角形形狀的判定問(wèn)題【方法總結(jié)】利用正、余弦定理判斷三角形形狀的兩種思路(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁，無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因△式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能．注意挖△掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)△值的限制．特別地，在ABC中，c是最大△的邊，若c2<a2＋b2，則ABC是銳角三角形；若c2＝a2＋b2，則ABC是直角三角形；若c2>a2＋b2，則ABC是鈍角三角形．【例題選講】[例1](1)在△ABC中，cos2B＝a＋c(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為( )2 2cABCDA．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形(2)在ABC中，若tanAtanB>1，則ABC是()．銳角三角形．直角三角形．鈍角三角形．無(wú)法確定(3)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則△ABC()A．一定是銳角三角形B．一定是直角三角形△BCDC．一定是鈍角三角形D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形(4) ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acosB＋acosC＝b＋c，則 ABC的形狀為( )．等邊三角形

．銳角三角形

．鈍角三角形

．直角三角形(5)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，則△ABC的形狀為( )A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形答案 C 解析 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋

B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB．方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理、余弦定理得：a2bb2＋c2－a2＝b2aa2＋c2－b2，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，2bc 2ac∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．(6)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若tanA∶tanB＝a2∶b2，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形(7)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形abc答案D解析法一：由＝＝＝2R，則條件化為：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝sinAsinBsinC8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0．又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC為直角三角形．a(chǎn)2＋b2－c2法二：將已知等式變形為：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，即b2＋c2－b2·2ab2－a2＋c2－b222222222222224c2·2ac2＝2bc·a＋c－b·a＋b－c，即b2＋c2＝[a＋b－c＋a＋c－b]＝4a＝a2，∴A＝90°，2ac2ab4a24a2∴△ABC為直角三角形．(8)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形答案A解析法一：由正弦定理得sinC＝c，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC＝c．又由余sinBb2sinB2b弦定理得cosA＝b2＋c2－a2，所以c＝b2＋c2－a2，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b．又因?yàn)?a2bc2bc2b＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2．所以b＝c，所以a＝b＝c．所以△ABC為等邊三角形．法二：因?yàn)锳＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因?yàn)?cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0．又因?yàn)锳與B均為△ABC的內(nèi)角，所以A＝B．又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理，得cosC222ab1＝a＋b－c＝＝，又0°＜C＜180°，所以C＝60°．所以△ABC為等邊三角形．2ab2ab2(9)在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2C＋1，則△ABC為()22A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．銳角非等邊三角形D．鈍角三角形a2＋c2－b2C答案B解析由2acosB＝c?2a·＝c?a2＝b2，所以a＝b．因?yàn)閟inAsinB(2－cosC)＝sin22ac212，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2C2＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因?yàn)閏osC≠2，所以sinAsinB＝12，因?yàn)閍＝b，所以sin2A＝12，所以A＝B＝π4，所以△ABC是等腰直角三角形，故選B．(10)已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．下列四個(gè)命題：①若tanA＋tanB＋tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；②若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形；③若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形；④若cosaA＝cosbB＝coscC，則△ABC是等邊三角形．其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號(hào))【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在△ABC中，sin2A＝c－b，則△ABC的形狀為()22cA．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形2．在△ABC中，cos，則△ABC一定是(A1＋cosB)＝22A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．無(wú)法確定c3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若<cosA，則△ABC為()bA．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形4．在ABC中，acosA＝bcosB，則這個(gè)三角形的形狀為()D△ABBCC．等腰三角形．等腰直角三角形．等腰三角形或直角三角形．直角三角形5．在 ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知2sinAcosB＝sinC，則 ABC的形狀為( ) △．直角三角形6．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，則 ABC的形狀為(

)

．等腰直角三角形A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形7．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形sinAcosBcosC，則△ABC是()８．若＝＝abcA．等邊三角形B．有一內(nèi)角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一內(nèi)角是30°的等腰三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知三個(gè)向量m＝a，cosA，n＝b，cosB，p．在9△c，cosCABC的形狀為()222共線，則＝A．等邊三角形△B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形10．(2013·陜西)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定11．在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()△()B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形A．等腰三角形12．在 ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，則 ABC的形狀為A．等邊三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若直線bx＋ycosA＋cosB＝0與ax＋ycosB＋cosA＝0平行，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰或者直角三角形14．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sinsinAB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為( )A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形15．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC，則△ABC的形狀為( )A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形bcosC1＋cos2C16．在△ABC中，若＝，則△ABC為()ccosB1＋cos2B()C．直角三角形D．等腰或者直角三角形A．銳角三角形B．等腰三角形17．在 ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且sinB＝3cosC，則下列結(jié)論中正確的是D．△ABC是等邊三角形A．A＝πB．c＝2aC．C＝π62cosAb18．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若＝2，則該三角形的形狀是()＝cosBa19．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，其對(duì)邊為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為()20A．等腰三角形B．等邊三角形△C．直角三角形D．鈍角三角形A．和A2B2C2都是銳角三角形A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則()．如果A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形D．△A1B1C1是鈍角三角形，是銳角三角形是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形專題四 三角形中的最值(范圍)問(wèn)題三角形中最值(范圍)問(wèn)題的解題思路任何最值(范圍)問(wèn)題，其本質(zhì)都是函數(shù)問(wèn)題，三角形中的范圍最值問(wèn)題也不例外．三角形中的范圍最值問(wèn)題的解法主要有兩種：一是用函數(shù)求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范圍用函數(shù)．由于三角形中的最值(范圍)問(wèn)題一般是以角為自變量的三角函數(shù)問(wèn)題，所以，除遵循函數(shù)問(wèn)題的基本要求外，還有自己獨(dú)特的解法．要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大．考點(diǎn)一 三角形中與角或角的函數(shù)有關(guān)的最值(范圍)【例題選講】[例1](1)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，則角A的取值范圍是()π，ππ，ππ，π0，πB．42C．32D．2A．2(2)在ABC中，若AB＝1，BC＝2，則角C的取值范圍是()A．0，πB．0，ππ，ππ，π62C．62D．62(3)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，A≠π，sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，則角A的2取值范圍為()A．0，πB．0，πC．π，πD．π，π646463BπCπ(AB)sin(AB)sin(BA)2sinBcosA答案解析法一：在中，＝－＋，所以＋＋－＝，即＝22sinAcosA，因?yàn)锳≠，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA，由正弦定理得，b＝2a，所以A為銳角，2π0，20，又sinB＝2sinA∈(0,1]，所以sinA∈2，所以A∈4．△ABC法二：在中，＝－＋，所以＋＋－＝，即＝2sinAcosA，πCπ(AB)sin(AB)sin(BA)2sin2A2sinBcosA2b2＋c2－a2因?yàn)锳≠，所以cosA≠0，所以sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a，由余弦定理得cosA＝＝22bc122212·c2π2b＋c2b220，≥＝224．2bc2bc(4)(2014·江蘇)若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋2sinB＝2sinC，則cosC的最小值是________．(5)設(shè)△ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，則tanC＝_____；tanB的最tanA大值為_(kāi)_______．(6)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a＝2bsinC，則tanA＋tanB＋tanC的最小值是()A．4B．33C．8D．63【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，則角A的取值范圍為()A．0，ππ，ππ，ππ，π2B．42C．63D．322．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，則角A的取值范圍是()π，2ππ，πC．0，ππ，πA．63B．646D．633．已知a，b，c分別是△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsin(B，則C的最大值為_(kāi)_______．)4．在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b2＋c2＝2a2，則cosA的最小值為_(kāi)_______．5ABCABCabccos2Acos2B2cos2CcosC．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且＋＝，則的最小值為B．C．1D．－1A．32()22226．在鈍角 ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B為鈍角，若acosA＝bsinA，則sinA＋sinC的最大值為B．9D．7A．2C．1887．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB－bcosA＝12c，當(dāng)tan(A－B)取最大值時(shí)，角△B的值為_(kāi)_______．8．在 ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinA＋bsinB＝csinC－2asinB，則sin2Atan2B的△最大值是__________．9．在 ABC中，若sinC＝2cosAcosB，則cos2A＋cos2B的最大值為_(kāi)_______．10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若3acosC＋b＝0，則tanB的最大值是________．11．(2016江蘇)在銳角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是________．12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足b2－a2＝ac，則tan1A－tan1B的取值范圍是________．13．在銳角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，則tan1A＋tan1B＋tan1C的最小值為_(kāi)_______．考點(diǎn)二 三角形中與邊或周長(zhǎng)有關(guān)的最值(范圍)【例題選講】[例2](1)已知△ABC中，角A，32B，C成等差數(shù)列，且△ABC的面積為1＋2，則AC邊的長(zhǎng)的最小值是________．(2)(2015·全國(guó)Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________．答案 (6－2，6＋2) 解析 通法：依題意作出四邊形ABCD，連結(jié)BD．令BD＝x，AB＝y(tǒng)，∠CDB＝α，∠CBD＝β．在△BCD中，由正弦定理得2x＝．由題意可知，∠ADC＝135°，則∠ADBsinαsin75＝135°－α．在△ABD中，由正弦定理得xyy2，即y＝2sin(135°－α)＝．所以＝sin75°sin(135°－α)sin(135°－α)sinαsinα＝2sin[90°－(α－45°)]＝2cos(α－45°)＝2(cosα＋sinα)．因?yàn)?°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，sinαsinαsinα1＋1．又tan30°＝當(dāng)α＝90°時(shí)，易得y＝；當(dāng)α≠90°時(shí)，y＝2(cosα＋sinα)3，tan105°＝tan(60°2＝2tanαsinα3tan60°＋tan45°11＋45°)＝＝－2－3，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)知，∈(3－2，3)，且≠0，所以y＝1－tan60°tan45°tanαtanα1＋12tanα∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．綜上所述：y∈(6－2，6＋2)．提速方法：畫(huà)出四邊形ABCD，延長(zhǎng)CD，BA，探求出AB的取值范圍．如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F，則BF<AB<BE．在等腰三角形CFB中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，∴BF＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－2．在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BEBE22＝CE，BC＝2，，∴BE＝×6＋2＝＝6＋2．∴6－2<AB<6＋2．sin75°sin30°142(3)在△ABC中，若C＝2B，則bc的取值范圍為_(kāi)_______．答案(1，2)解析因?yàn)锳＋B＋C＝π，C＝2B，所以A＝π－3B>0，所以0<B<π3，所以12<cosB<1．因?yàn)閎c＝sinsinCB＝sinsin2BB＝2cosB，所以1<2cosB<2，故1<bc<2．(2018·北京)若△ABC的面積為43(a2＋c2－b2)，且∠C為鈍角，則∠B＝__________；ac的取值范圍是__________．sinBsinCcosA，則ab的C)(5)在c2最大值為_(kāi)_________．(6)在△ABC中，若＝60°，＝，則＋的取值范圍為_(kāi)_______．Cc2ab222→→3(7)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足b＋c－a＝bc，AB·BC＞0，a＝2，則b＋c的取值范圍是()331313A．1，3，，，2B．22C．22D．22(2018·江蘇)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為_(kāi)_______．(9)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足asinB＝3bcosA．若a＝4，則△ABC周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______．(10)在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>1，AC＝AB＋12，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最短時(shí)，BC的長(zhǎng)是________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面積為1＋2，則b的最小值為()A．2B．3C．2D．32．已知△ABC中，AB＋2AC＝6，BC＝4，D為BC的中點(diǎn)，則當(dāng)AD最小時(shí)，△ABC的面積為_(kāi)_______．3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A＝2B，C為鈍角，則c的取值范圍是________．b4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝3B，則a的取值范圍是()bA．(0，3)B．(1，3)C．(0，1]D．(1，2]5．已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，其面積滿足S△ABC＝1a2，則c的最大值為()4bA．2－11cB．2sinBC．2＋1sinCD．2＋2________．2sinAsinAsinBab中，已知＝，若2＋2－＝2，則＋的取值范圍為7．在外接圓半徑為2的△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，則b＋c的最大值是()1A．1B．C．3D．3228．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，則2a＋c的最大值為_(kāi)_______．9．在△ABC中，AB＝2，C＝π，則3a＋b的最大值為()6A．7B．27C．37D．4710．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c．若A＝120°，a＝1，則2b＋3c的最大值為( )22135A．3B．C．32D．3211．在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且BC邊上的高為3a，則c＋b取得最大值6bc時(shí)，內(nèi)角A的值為()A．πB．πC．2πD．π263312．在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)·sinC．若a＝bc()，則2＋2的取值范圍是A．(5，6]B．(3，5)C．(3，6]D．[5，6]13．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，則△ABC的周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______．14．凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，其具有如下性質(zhì)：若定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則對(duì)任意的xi∈(a，x1＋x2＋…＋xnb)(i＝1，2，…，n)，必有f≥f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)成立．已知y＝sinx是(0，π)上的凸函數(shù)，nn利用凸函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)△ABC的外接圓半徑為R時(shí)，其周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______．考點(diǎn)三三角形中與面積有關(guān)的最值(范圍)【例題選講】[例3](1)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，tanA＝4，a＝4，則△ABC的面積的最3大值為()A．4B．6C．8D．12答案C解析因?yàn)閠anA＝4，所以sinA＝4．又sin2A＋cos2A＝1，所以cos2A＝9，解得cosA＝3或3cosA3255cosA＝－3(舍去)，故sinA＝4．又16＝b2＋c2－2bc×3≥2bc－6bc，所以bc≤20，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)55555取等號(hào)，故△ABC的面積的最大值為1×20×4＝8．251b－sinCcosA＝sinAcosC，且a＝23，(2)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______．1b－sinCcosA＝sinAcosC，所以1bcosA－sinCcosA＝sinAcosC，所以1bcosA答案33解析因?yàn)?221cosAsinBsinBsinAcosAsinA3，所以＝sin(A＋C)，所以bcosA＝sinB，所以＝，又＝，a＝2＝，得tanA22bba223＝3，又A∈(0，π)，則A＝π3，由余弦定理得(23)2＝b2＋c2－2bc·12＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤12，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝23時(shí)取等號(hào)，從而△ABC面積的最大值為12×12×23＝33．(3)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，且滿足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，則S的最大值為_(kāi)_______．答案8解析由題意得，4×1bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得，2A＋π＝1，又0＜A＜π，∴π＜A＋π5π，∴A＋π2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，2sin4＜＝44443π4，∴A＝π2，S＝12bcsinA＝12bc，又b＋c＝8≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取“＝”，∴bc≤16，∴S的最大值為8．(4)若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，面積為S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______．答案 4解析S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－(a2＋b2－c2)，由余弦定理得a2＋b2－c2＝172abcosC，∴c2－(a－b)2＝2ab(1－cosC)，即S＝2ab(1－cosC)．∵S＝12absinC，∴sinC＝4(1－cosC)．又∵sin2C＋cos2C＝1，∴17cos2C－32cosC＋15＝0，解得cosC＝1517或cosC＝1(舍去)，∴sinC＝178，∴S＝12absinC＝174a(2－a)＝－174(a－1)2＋174．∵a＋b＝2，∴0<a<2，∴當(dāng)a＝1，b＝1時(shí)，Smax＝174．(5)已知△ABC的外接圓半徑為R，且滿足2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)·sinB，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______．2＋1R2解析由正弦定理得a2－c2＝(ab．由余弦定理得cosC答案2a－b)b，即a2＋b2－c2＝22a2＋b2－c22ab2π1122R2sinAsinB＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．∴S＝absinC＝×2RsinA·2RsinB·＝2ab2ab242223π11－cos2A2cosA＋2sinA＝R2(sinAcosA＋sin2A)＝R2sin2A＋－AR2sinA＝2R2sinAsin4＝22222＝2A－π3ππ5ππ＋sin4，∵A∈0，π∈－，2A－∈－，1，∴S∈0，RR2224，∴2A－44，∴sin422，R2．4∴面積S的最大值為2＋12(6)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足b＝c，b1－cosB．若點(diǎn)O是△ABC＝acosA外一點(diǎn)，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2，OB＝1，如圖所示，則四邊形OACB面積的最大值是()A．4＋53B．8＋53C．3D．4＋5442答案B解析由b＝1－cosB及正弦定理得sinBcosA＝sinA－sinAcosB，所以sin(A＋B)＝sinA，所acosA以sinC＝，因?yàn)锳，C∈(0，π)，所以C＝A，又b＝c，所以A＝B＝C，ABC為等邊三角形．設(shè)ABCsinA△△2221323的邊長(zhǎng)為k，則k＝1＋2－2×1×2×cosθ＝5－4cosθ，則S四邊形OACB＝2×1×2sinθ＋4k＝sinθ＋4(5－4cosθ)＝2sinθ－π＋53≤2＋53＝8＋53，所以當(dāng)θ－π＝π，即θ＝5π時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值，3464432且最大值為8＋53．4【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．(2014·全國(guó)Ⅰ)已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______．2．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，則△ABC面積的最大值為()A．2B．2C．3D．3→→→→)3．在△ABC中，AC·AB＝|AC－AB|＝3，則△ABC的面積的最大值為(321214．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積S＝a2－(b－c)2，且b＋c＝8，則的最大值為_(kāi)_______．5．若AB＝2，AC＝2BC，則SABC的最大值為()B．A．23C．2D．322326．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知sinA－sinB＝1sinC，3b＝2a，2≤a2＋ac≤18，3設(shè)△ABC的面積為S，p＝2a