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隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布

一、隨機(jī)變量的函數(shù)二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布定義：若存在一個(gè)函數(shù)g(X)，使得隨機(jī)變量X,Y滿足Y=g(X)，則稱隨機(jī)變量Y是X的函數(shù)。概率論中主要研究隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征即由隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律出發(fā)研究其連續(xù)函數(shù)Y=g(X)的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律.此時(shí),Y也是隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量的函數(shù)二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則求函數(shù)Y=g(X)的分布列的步驟為：

①

求Y的所有可能取值

②

計(jì)算Y取各可能值的概率：◆如果Y各可能取值中存在多個(gè)值相等,則Y取該值的概率為這些相等值對(duì)應(yīng)的X取值的概率之和.例如,當(dāng)則由基本事件互斥性與概率可加性得：◆如果Y各可能取值互異,即則例:設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為:

求X-1,X2-1的分布列.

解:采用“同一表格法”.X-1012P0.20.30.10.4P0.20.30.10.4X-1012X-1-2-101X2-10-103互異有等值X-1-2-101P0.20.30.10.4

故X-1分布列為:X2-1的分布列為:X2-1-103P0.30.30.4

其中二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)概率密度的求法方法分布函數(shù)法其中積分區(qū)間Iy是以y的函數(shù)為端點(diǎn)的區(qū)間。②分布函數(shù)對(duì)y求導(dǎo)數(shù)即得概率密度：,求導(dǎo)時(shí)一般用到變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.①求Y的分布函數(shù)：

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為,則求Y=g(X)的概率密度的步驟為：例：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

求Y=2X+8的概率密度f(wàn)Y(y)。對(duì)y求導(dǎo)得：得：

解：設(shè)Y的分布函數(shù)為，則當(dāng)y<0時(shí),

例

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=sinX的概率密度.當(dāng)y≥1

時(shí)解

=P(0<Xarcsiny)+P(-arcsin

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