經(jīng)濟數(shù)學(xué)課件-多因素方案的分析與選擇

多因素方案的分析與選擇

名言笛卡爾當(dāng)我懷疑一切事物的存在時，我卻不用懷疑我本身的思想，因為此時我惟一可以確定的事就是我自己思想的存在。

故事?lián)f有一天，笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反復(fù)思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形和代數(shù)方程結(jié)合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達(dá)到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨。這時，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲．蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗．他想，可以把蜘蛛看作一個點，它在屋子里可以上，下，左，右運動，能不能把蜘蛛的每一個位置用一組數(shù)確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻角作為起點，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點的位置就可以在這三根數(shù)軸上找到有順序的三個數(shù)．反過來，任意給一組三個有順序的數(shù)也可以在空間中找到一點與之對應(yīng).這就是笛卡爾坐標(biāo)系的雛形．

目錄最小成本最大收益問題及解決方案

1.使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值

2.多元極值問題典型案例

3.進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)

4.第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案一、問題引入問題分析兩種商品的需求量和成本不再只跟其中一種商品單價有關(guān)，而是受兩種商品的單價共同作用，所以，總利潤函數(shù)也由兩種商品的單價共同決定。

引例

設(shè)分別為商品的需求量，需求函數(shù)為

，總成本函數(shù)為最大？為商品的價格，試問價格

取何值時可使利潤那么，總利潤關(guān)于商品單價的導(dǎo)數(shù)與第三章的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？如何求這樣的導(dǎo)數(shù)？又如何確定利潤最大值點？這些正是我們所需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在該引例中，需要確定兩種商品的單價，使總利潤達(dá)到最大，屬于多元函數(shù)的最大值、最小值問題。根據(jù)第四章的討論，可以從利潤關(guān)于商品單價的導(dǎo)數(shù)等于0的點(即駐點)中去尋找利潤最大值點。第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案二、典型問題解決方案它的經(jīng)濟意義是：當(dāng)其中一個經(jīng)濟量變化一個單位時(其他經(jīng)濟量保持不變)總經(jīng)濟量的變化量。與一元函數(shù)類似，多元函數(shù)關(guān)于其中每個自變量的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上表示邊際經(jīng)濟量。在經(jīng)濟分析中，不同的經(jīng)濟函數(shù)，邊際函數(shù)被賦予不同的名稱。第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案例如，某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，當(dāng)A、B產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x和y單位時，總利潤函數(shù)為L=f(x,y)。導(dǎo)數(shù)稱為關(guān)于A產(chǎn)品的邊際利潤，它是當(dāng)B產(chǎn)品的產(chǎn)量固定時，總利潤L關(guān)于x的邊際利潤.

其經(jīng)濟意義是：當(dāng)B產(chǎn)品的產(chǎn)量固定在y處，A產(chǎn)品的產(chǎn)量在x的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)一個單位時利潤大約增加。關(guān)于B產(chǎn)品邊際利潤的討論類似。第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案問題1：解決總利潤L=f(x,y)的最大值問題方案方案：利潤最大，則產(chǎn)量x,y滿足條件上式表明產(chǎn)出的邊際收益等于邊際成本，在經(jīng)濟學(xué)中稱為“最大利潤原則”。第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案解：總收益函數(shù)總利潤函數(shù)

第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案案例1

設(shè)分別為商品的需求量，需求函數(shù)為

，總成本函數(shù)為最大？為商品的價格，試問價格

取何值時可使利潤為了使得總利潤最大，解方程組得駐點

，由于只是惟一的駐點，且實際問題是

存在最大利潤的，故大利潤為164.25。

時可獲最大利潤，最第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案案例2：某工廠生產(chǎn)兩種型號的機密機床，其產(chǎn)量分別為x,y臺，總成本函數(shù)根據(jù)市場調(diào)查預(yù)測，共需要這兩種機床8臺，如何合理安排生產(chǎn)，才能使得總成本最??？這是一個含有約束條件(共需要這兩種機床8臺)的最小值問題，解決這類問題的常見辦法就是作拉格朗日乘數(shù)法.解決方案:第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值。解方程組解得

因為只有惟一的駐點，且實際問題的最小值是存在的，因此駐點(5,3)是函數(shù)的最小值點,因此當(dāng)兩種型號的機器各生產(chǎn)5臺和3臺時，其總成本最小，最小值為。即構(gòu)造拉格朗日函數(shù)第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案綜上所述，對于經(jīng)濟上最小成本最大收益的實際問題，其解決步驟可歸納如下：第三步將所求駐點代人目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中，求出最值。第一步根據(jù)題意寫出所求最值的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式。第二步求出目標(biāo)函數(shù)對于每一個自變量的導(dǎo)數(shù)(一般稱之為偏導(dǎo)數(shù))，并且令偏導(dǎo)數(shù)等于0，然后解方程組求出駐點(對于實際問題通常只有一個駐點)。注意：如果求給定條件G(x,y)=0下目標(biāo)函數(shù)z=f(x,y)

的最值，則需要引進(jìn)拉格朗日函數(shù)第一節(jié)最小成本最大收益問題及解決方案第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值一、典型案例讓我們繼續(xù)來研究第一節(jié)的案例，求出兩種型號機器的產(chǎn)量x,y的值，使取到最小值，即求

的最小值。

二、解決方案要求出

的最小值，需要完成三個任務(wù):

第一，分別求出

對于

的導(dǎo)數(shù)；

第二，令三個導(dǎo)數(shù)等于0，解關(guān)于的方程組，求出駐點；第三，求成本函數(shù)在駐點處的函數(shù)值。

第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值三、微軟數(shù)學(xué)演算步驟第一步：在主界面左側(cè)的計算器鍵盤中依次點擊】?！疚⒎e分】→【第二步：在右側(cè)工作表輸入窗口的括號“()”中輸入函數(shù)如圖6-1所示。

圖6-1輸入拉格朗日函數(shù)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第三步：單擊工作表右下角的【輸入】，將計算出，如圖6-2所示。

圖6-2計算拉格朗日函數(shù)關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值得到如圖6-3和6-4所示的結(jié)果第四步：分別把改為和

，重復(fù)上述操作，圖6-3計算拉格朗日函數(shù)關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)圖6-4計算拉格朗日函數(shù)關(guān)于λ的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第五步：單擊菜單欄的【方程求解器】，在“解1個方程”下拉菜單中選中“解含3個方程的方程組”，依次輸入圖6-2至圖6-4對應(yīng)的三個方程，如圖6-5所示。圖6-5輸入方程組第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第六步，單擊“方程求解器”右下方的“求解”，求解結(jié)果如圖6-6所示。圖6-6求出駐點第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第七步：在工作表中輸入如下內(nèi)容，如圖6-7所示，得最小成本為

。

圖6-7計算最小成本第二節(jié)使用微軟數(shù)學(xué)討論多元極值第三節(jié)多元極值問題典型案例案例1確定原料搭配以使利潤最大某工廠在生產(chǎn)中使用甲、乙兩種原料，已知使用x單位甲種

原料，y單位乙種原料可生產(chǎn)P單位的產(chǎn)品,且已知甲、乙兩種原料每單位的價格分別為10元和30元,產(chǎn)品的單位售價為100元,產(chǎn)品的固定成本為1000元,求該工廠的最大利潤.二、解決方案設(shè)L為該工廠的利潤,則有由方程組求得惟一駐點(5,8)。根據(jù)問題的實際意義，得L(x,y)在(5,8)處取得極大值L(5,8)=16000,即該工廠的最大利潤為16000元.第三節(jié)多元極值問題典型案例案例2廣告策略問題某企業(yè)通過電視和報紙兩種媒體做廣告,已知銷售收入R(萬元)與電視廣告費x(萬元)、報紙廣告費y

(萬元)的關(guān)系為系為如果計劃提供1.5萬元廣告費，求最佳的廣告策略.第三節(jié)多元極值問題典型案例二、解決方案廣告費為1.5萬元時的最佳廣告策略，就是在x+y=1.5

的條件下求R(x,y)的最大值問題.作拉格朗日函數(shù)解方程組第三節(jié)多元極值問題典型案例得惟一可能極值點(0,1.5)。由問題本身可知最大值一定存在，所以當(dāng)報紙廣告費y=1.5

萬元時，銷售收入達(dá)到最高為R(0,1.5)=40.5

萬元，即只做報紙廣告為最佳的策略.第三節(jié)多元極值問題典型案例案例3生產(chǎn)批量計劃問題某公司有兩種產(chǎn)品，市場每年的需求量分別為1200件和2000件，如果分批生產(chǎn)，其每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費分別為40元和70元，每年每件產(chǎn)品庫存費均為0.15.設(shè)兩種產(chǎn)品每批總生產(chǎn)能力為1000件，試確定兩種產(chǎn)品每批生產(chǎn)的批量，使生產(chǎn)準(zhǔn)備費和庫存費之和最少.第三節(jié)多元極值問題典型案例二、解決方案設(shè)兩種產(chǎn)品每批生產(chǎn)的批量分別為x和y，在均勻售出情況下平均庫存量為批量的一半，一年的庫存費為一年的批次分別為和

,所以一年的總生產(chǎn)準(zhǔn)備費為第三節(jié)多元極值問題典型案例于是,總的費用為約束條件是作拉格朗日函數(shù)第三節(jié)多元極值問題典型案例解得,這是惟一可能的極值點,由問題

的實際意義知存在總費用的最小值,故當(dāng)兩種產(chǎn)品的批量分別為369和631時總費用最小。解方程組第三節(jié)多元極值問題典型案例第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)一、二元函數(shù)的概念在許多自然現(xiàn)象和實際問題中，往往是多因素相互制約，若用函數(shù)反映它們之間的聯(lián)系便表現(xiàn)為存在多個自變量．例１圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系這里

當(dāng)r,h在集合

內(nèi)取定一對值

(r,h)時

V的值就隨之確定

即V依賴于r和h的變化而變化．

1．二元函數(shù)的定義定義1設(shè)有三個變量x,y和z,如果當(dāng)變量x,y在一定范圍內(nèi)任意取定一對數(shù)值時,變量z按照一定的規(guī)律f總有唯一確定的值與它們對應(yīng),則稱z是x,y的二元函數(shù)．記為Z=f(x,y),其中x,y稱為自變量,z稱為因變量．自變量x,y的取值范圍稱為函數(shù)的定義域．二元函數(shù)在點所取得的函數(shù)值記為第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)例2

設(shè),求

．

解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)2．二元函數(shù)的定義域

同一元函數(shù)一樣,定義域和對應(yīng)規(guī)律是二元函數(shù)定義的兩要素．對于以算式表示的二元函數(shù),其定義域就

是使算式有意義的自變量的取值范圍．二元函數(shù)的定義域比較復(fù)雜,可以是全部坐標(biāo)平面,也可以是由曲線所圍成的部分平面．全部坐標(biāo)平面或由曲線所圍成的部分平面稱為區(qū)域．常用字母

D表示．圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界．不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域,連同邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域；開區(qū)域內(nèi)的點稱為內(nèi)點,而邊界上的點稱為邊界點．如果一個區(qū)域D內(nèi)任意兩點之間的距離都不超過某一正常數(shù)M,則D稱為有界區(qū)域,否則稱為無界區(qū)域．

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)以點

為中心,為半徑的圓所圍的開區(qū)域,稱為點的鄰域．記為

．

即

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)例3求二元函數(shù)

的定義域D,并畫出D的圖形．

解由函數(shù)的要求可知,函數(shù)的定義域應(yīng)滿足，如圖6-8.圖6-8例4

求二元函數(shù)

的定義域D,并畫出D的圖形．

解由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知x,y必須滿足.

如圖6-9.第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)圖6-9

二、偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法在一元函數(shù)微分學(xué)中,通過研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的的概念,同樣多元函數(shù)也要研究類似問題.但多元函數(shù)的自變量不止一個,函數(shù)關(guān)系更為復(fù)雜,為此,我們僅考慮函數(shù)對于某一個自變量的變化率,也就是在其中一個自變量發(fā)生變化,而其余自變量都保持不變的情形下，考慮函數(shù)對于該自變量的變化率.第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)定義2設(shè)函數(shù)

z=f(x,y)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，

當(dāng)y固定在

，而x在

處取得增量時，相應(yīng)的函數(shù)的增量為

(稱為偏增量).

如果極限

存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點

處對x的偏

導(dǎo)數(shù)，記作第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)類似地，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點

處對y的偏

導(dǎo)數(shù)，記作

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)如果函數(shù)z=f(x,y)在某區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)均存在，那么f(x,y)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)仍然是x,y的二元函數(shù)，我們稱它們?yōu)閒(x,y)的偏導(dǎo)函數(shù)，記作或

從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，求多元函數(shù)對一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時,實際上只需將其它自變量看成常數(shù),按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行即可.為了簡便，偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱為偏導(dǎo)數(shù).對于二元以上的函數(shù)，用同樣的方法可以定義偏導(dǎo)數(shù).第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)例4求函數(shù)在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

解將y看作常數(shù),對x求導(dǎo)得

將x看作常數(shù),對y求導(dǎo)得

所以

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)例5求函數(shù)

偏導(dǎo)數(shù).

解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)處處存在偏導(dǎo)數(shù)

和,如果這兩個偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍存在,則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù),按照對變量求導(dǎo)次序

的不同有下列四種二階偏導(dǎo)數(shù)其中偏導(dǎo)數(shù)

、

稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)例6

求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù).解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)及

定理1

如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在D內(nèi)必有

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)上例中的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即.但

這個關(guān)系式并不是對所有的二元函數(shù)都成立,這里不加證明的給出二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等的充分條件.四、復(fù)合函數(shù)微分法在一元函數(shù)微分學(xué)中,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則起著重要的作用,現(xiàn)在我們把它推廣到多元復(fù)合函數(shù)上去。第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)定理2

設(shè)

,

在點(x,y)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

z=f(u,v)在相應(yīng)的點(u,v)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，且

為了更清楚地表示復(fù)合函數(shù)中變量之間的關(guān)系,常用圖6-10表示,稱這種圖為函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖.

在進(jìn)行多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)時,一般是先寫出函數(shù)與中間變量、自變量的結(jié)構(gòu)圖．求函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時，看函數(shù)到該自變量有幾條路線，則求導(dǎo)公式中就有幾項，每條路線有幾根連線，每項就有幾個偏導(dǎo)數(shù)相乘.如果只有唯一的自變量，偏導(dǎo)數(shù)就成為了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（稱為全導(dǎo)數(shù)）．圖6-10第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)例7設(shè)

,其中

求

解因為所以第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)例8設(shè)

，求

和

解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)五、多元函數(shù)的極值問題二元函數(shù)極值的定義與一元函數(shù)極值的定義是類似的．定義3

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點

的某個

鄰域內(nèi)有

定義，如果對該鄰域內(nèi)異于的點

都滿足不

等式

，則稱

為函數(shù)

的極大值；如果都滿足不等式

，則稱

為函數(shù)

的極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為

極值，使函數(shù)為極值的點

稱為極值點．

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)例如函數(shù)

在點(0,0)處取得極小值z(0,0)=0(見圖6-11).圖6-11

而函數(shù)

在點(0,0)

處既不取

得極大值也不取得極小值,因為在(0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點,也有使函數(shù)值為負(fù)的點.第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)對于可導(dǎo)的一元函數(shù)y=f(x),我們知道在點

處有極值的必要條件是

,對于多元函數(shù)我們也有類似的結(jié)論.定理3(極值存在的必要條件)設(shè)函數(shù)

z=f(x,y)在點

處具有偏導(dǎo)數(shù),且在點

處取得極值,則有使和

同時成立的點

稱為

函數(shù)

的駐點.

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：多元微分學(xué)從定理3可知,對可偏導(dǎo)的函數(shù)f(x,y),極值點必為駐點,但函數(shù)的駐點不一定