經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：線性方程組

線性方程組第一節(jié)線性方程組的解一、線性方程組有解的判定條件定理3.1.1

n元線性非齊次方程組即并且①當(dāng)時，有惟一解

②當(dāng)時，有無窮解（1）無解的充分必要條件是（2）有解的充分必要條件是證明：設(shè)（1）若，則會得到同解方程組出現(xiàn)矛盾，因此原方程組無解（2）若，則得到因此原方程組有惟一解（2）若，則得到同解方程組稱為自由未知量，個數(shù)是個。

定理3.1.1可以簡單記為：

n元線性方程組有解的充分必要條件是，并且自由未知量的個數(shù)為個.例3.1.1

求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組無解例3.1.2

求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組有解，且有4－2＝2個自由未知量同解方程組為取為自由未知量,得行最簡矩陣所以方程組的通解為令，則即有無窮解的充分必要條件是并且自由未知量的個數(shù)為個齊次線性方程組只有零解定理3.1.2

n元線性齊次方程組例3.1.3

解線性方程組解故有無窮解，并且自由未知量的個數(shù)為4－2＝2個因此得同解方程組為取為自由未知量,得原方程組通解為令，則例3.1.4

設(shè)有線性方程組問取何值時，①有惟一解？②無解？③有無窮解？并求其通解。解:（1）當(dāng)且時，故方程組有唯一解（2）當(dāng)時，故方程組無解。（3）當(dāng)時，故方程組通解為：方程組解有無窮組解練習(xí)解線性方程組解故有無窮解，并且自由未知量的個數(shù)為5－2＝3個因此得令，則練習(xí)解線性方程組答案同解方程組為原方程組同解為二、小結(jié)有無窮多解.?()()nBRAR<=齊次線性方程組只有零解有非零解一定注意：n指的是未知量的個數(shù)或系數(shù)矩陣A的列數(shù)非齊次線性方程組?無解?()()nBRAR==唯一解第二節(jié)向量組及其線性組合3.2.1、向量組與矩陣定義3.2.1

n個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組稱為n維向量.記為：或

n維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示。

n維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示。注意

１.行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；

２.行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進(jìn)行運算；

３.當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量。

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。例如是一個三維向量組。是一個四維向量組。向量組與矩陣的關(guān)系向量組稱為矩陣的列向量組。記為：向量組

：這時，矩陣也可記為：向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組。3.2.2線性組合與線性表示定義3.2.4（1）線性組合就是向量組A的一個線性組合。例如定義3.2.4（2）給定向量組和另一個向量，如果存在一組數(shù)，使則稱向量可由向量組線性表示。顯然，零向量可由任何向量組線性表示。定理3.2.1：向量可由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩。例3.2.5設(shè)判斷：能否由向量組線性表示，若能求出線性表達(dá)式解：由于，所以能由線性表示。設(shè)同解方程組為取為自由未知量，得令取任意常數(shù)，因此有練習(xí)1設(shè)證明：可由線性表示，并求表達(dá)式而不可由線性表示。答案：練習(xí)2設(shè)且可由線性表示，求解：因此3.2.3向量組的等價設(shè)有兩個向量組和若向量組中的每一個向量都可由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示。定理3.2.3向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是定義3.2.5若向量組和向量組能夠相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。向量組等價也有以下三個性質(zhì)：（1）反身性；（2）對稱性；（3）傳遞性推論：3.2.1向量組和向量組等價的充分必要條件是例3.2.6設(shè)證明：與等價證：顯然，又故所以，和等價。四、小結(jié)（1）可由線性表示向量方程有解（2）向量組可由向量組線性表示（3）向量組與向量組等價第三節(jié)線性相關(guān)性概念3.3.1線性相關(guān)性的概念注意1.如果向量組線性無關(guān)，則只有當(dāng)時，才有：定義3.3.1則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。（零向量）5.兩個向量相關(guān)的充要條件是這兩個向量對應(yīng)的分量成比例.例3.3.2已知向量組線性無關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān)。證：設(shè)這就說明無關(guān)。故方程組只有零解，因此

定理3.3.1

向量組（當(dāng)時）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余個向量線性表示。證明充分性即有

設(shè)中有一個向量（比如）能由其余向量線性表示。故因這個數(shù)不全為0，故線性相關(guān)。必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使因中至少有一個不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示。

推論3.3.1

向量組（當(dāng)時）線性無關(guān)的充分必要條件是其中任何一個向量都不能由其余的向量線性表示.例如：由于，所以相關(guān)向量組線性相關(guān)方程組：有非零解3.3.2線性相關(guān)性的判定定理3.3.2向量組：線性相關(guān)的充要條件是向量組：線性無關(guān)的充要條件是因此n維單位坐標(biāo)向量組是線性無關(guān)的.稱為n維單位坐標(biāo)向量組.解：向量組線性相關(guān)；向量組線性無關(guān)；練習(xí)設(shè)是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量組能由它們線性表示，證明：線性無關(guān)證：只須證明。一方面，另一方面，由于能由線性表示，因此故記住：n+1個n維向量必相關(guān)。必相關(guān)推論3.3.1m個n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān).定理3.3.3設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式惟一。無關(guān)，相關(guān)，定理3.3.4若向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)；反之，若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)。顯然相關(guān)，故B也顯然相關(guān)。

該定理可以推廣為：一個向量組若部分相關(guān)，則整體也相關(guān)；若整體無關(guān)，則部分也無關(guān)。顯然無關(guān)，也無關(guān)。若向量組無關(guān)，則向量組也無關(guān)；反之，若相關(guān)，則也相關(guān)。無關(guān)，也無關(guān)定理3.3.5相關(guān)，還是相關(guān)。思考題練習(xí)設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明：（1）能由線性表示；（2）不能由線性表示。證明：（1）因為線性無關(guān)，故也無關(guān)又相關(guān)，所以可由線性表示（2）假設(shè)可由線性表示，而由（1）又可由線性表示，因此可由線性表示，這與無關(guān)矛盾。第四節(jié)齊次線性方程組

解的結(jié)構(gòu)復(fù)習(xí)推論

n元線性方程組有無窮解的充分必要條件是（1）無解的充分必要條件是n元線性方程組并且①有惟一解：（2）有解的充分必要條件是②有無窮解：3.4.1齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為的解，則

也是的解.

證明（2）若為的解，為實數(shù)，則也是的解.證明用表示齊次方程組的全體解向量所組成的集合，則由這兩個性質(zhì)知中一定含有無窮多個解向量，因此是一個含有無窮多個向量的向量組，故只要找到的一個最大無關(guān)組，就能把表示出來。定義3.4.1設(shè)齊次方程組有非零解，如果它的s個解向量滿足：（1）線性無關(guān)；（2）的任何一個解都可以由線性表示，即則稱是方程組的基礎(chǔ)解系.3.4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)并且方程組的通解為：定理3.4.1

n元齊次方程組，設(shè)系數(shù)矩陣的秩，則的基礎(chǔ)解系存在：

其中，為的一個基礎(chǔ)解系，

為任意實數(shù)例3.4.1

求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并寫出其通解。解令為自由未知量，得：代入上述方程組，得

原方程組的一個基礎(chǔ)解系為：

故原方程組的通解為上面的方法是先寫出基礎(chǔ)解系，再寫出通解而3.1節(jié)介紹的方法是先寫通解，再寫出基礎(chǔ)解系即由得到上式中令，則從而，原方程通解為由上述通解，可得是原方程組的一個基礎(chǔ)解系另外，在若取得則得到不同的基礎(chǔ)解系從而通解為練習(xí)1：求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解。得基礎(chǔ)解系：令得基礎(chǔ)解系：若令練習(xí)2.求，使齊次方程組有非零解，并求通解。解：所以，當(dāng)＝0即=0或1時，有非零解。（1）將＝0代入原方程組，得到由于，基礎(chǔ)解系含有一個解向量，取為自由未知量，得同解方程組為令＝1，則基礎(chǔ)解系為通解為，其中為任意常數(shù)。（2）同理將＝1代入原方程組，得到由于，基礎(chǔ)解系含有一個解向量，取為自由未知量，得同解方程組為令＝1，則基礎(chǔ)解系為通解為其中為任意常數(shù)。第五節(jié)非齊次方程組

解的結(jié)構(gòu)證明3.5.1非齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）設(shè)都是的解向量，則為對應(yīng)的齊次方程的解。證明（2）設(shè)是的解，是對應(yīng)的齊次方程的解，則仍是非齊次方程的解。設(shè)是的任意解，是的一個特解，則就是的任意解。又設(shè)是的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的通解為其中為非齊次方程的一個特解，為對應(yīng)的齊次方程的通解。

3.5.2非齊次線性方程組解的性質(zhì)例3.5.1

求下述方程組的通解解：由于，所以方程組有無窮解。令，得方程組的一個特解為又原方程組對應(yīng)的齊次方程組的同解方程組為：其基礎(chǔ)解系為：取為自由未知量，同解方程組為：故原方程組通解為：其中，為任意常數(shù)。解練習(xí)1

求下述方程組的解所以方程組有無窮多解.且原方程組等價于方程組所以原方程組的一個特解為又原方程組對應(yīng)的齊次方程組的同解方程組為：

令得齊次方程組的基礎(chǔ)解系為：故原方程組通解為：練習(xí)2求方程組的通解主要內(nèi)容典型例題第三章矩陣的初等變換

與線性方程組

習(xí)題課

矩陣的初等變換初等變換等價矩陣初等矩陣秩的定義相關(guān)定理及性質(zhì)矩陣的秩相關(guān)定理行階梯形矩陣行最簡形矩陣矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形有解判別定理方程組的解法線性方程組１初等變換的定義初等變換逆變換

三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換。反身性傳遞性對稱性２矩陣的等價由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣。３初等矩陣

（１）換法變換：對調(diào)兩行（列），得初等矩陣E(i,j)。

（２）倍法變換：以數(shù)k（非零）乘某行（列），得初等矩陣E(i(k))。

（３）消法變換：以數(shù)k乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩陣E(ij(k))。經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元。例如４行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0。例如５行最簡形矩陣對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都為0。例如６矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個等價類中形狀最簡單的矩陣。定義７矩陣的秩定義定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)。８矩陣秩的性質(zhì)及定理定理定理９線性方程組有解判別定理

齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解。

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣，寫出通解