經(jīng)濟數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：行列式

經(jīng)濟數(shù)學(xué)——線性代數(shù)行列式第一節(jié)二階和三階行列式一、二元線性方程組與二階行列式用消元法解二元線性方程組方程組（1）的解為

由方程組（1）的四個系數(shù)確定.排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表二階行列式主對角線副對角線對角線法則若記則二元線性方程組的解為例1解二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.注意：紅線上三元素的乘積冠正號，藍線上三元素的乘積冠負號．對角線法則例２解按對角線法則，有例３解方程左端練習:0-14三、二階行列式與三階行列式的關(guān)系余子式與代數(shù)余子式在三階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的元素按原來位置構(gòu)成的二階階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如，2.的余子式和代數(shù)余子式都和是什么沒有任何關(guān)系，只和的位置有關(guān)。注意：1.余子式和代數(shù)余子式都是比原行列式低一階的行列式；例如定理1.1.1

三階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或例如按第二行展開第二節(jié)n

階行列式定義稱為n階行列式.注意：行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的．它的行數(shù)和列數(shù)相等，本質(zhì)是一個數(shù)。一、n

階行列式的定義定理1.2.1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即二、行列式按行（列）展開法則或（按行展開）（按列展開）例如例1計算四階行列式解：由于第二列中含有兩個零，所以按照第二列展開例2

計算對角行列式解：先按第一行展開，再按第二行展開，依次進行下去，直到得到一階行列式上三角行列式:同理，下三角行列式:例如主對角行列式：但是要注意，副對角行列式注意符號和階數(shù)的奇偶性無關(guān)例如第三節(jié)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)基本性質(zhì)

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記

此性質(zhì)說明,行列式中凡是對行成立的性質(zhì)對列也成立.性質(zhì)1

互換行列式的兩行（列）行列式變號.例如,一般地，第i行記作，第j列記作推論

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)2

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．例如:性質(zhì)3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則D等于下列兩個行列式之和：例如，性質(zhì)5

行列式中把一行（列）的倍數(shù)加到另一行(列），行列式不變．證明例１二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算(或)把行列式化為上（或下）三角形行列式，從而算得行列式的值．jikcc+解練習例２

計算階行列式解注意：計算此種行列式的方法稱為歸一法，是計算行列式的一種常用方法。例3

例4AB

則形式上的下三角行列式例如:推廣:補充:12解方程：第四節(jié)行列式的計算方法是先利用行列式的性質(zhì)將行列式化簡，再利用行列式按行（列）展開公式進行計算.例1例2

計算行列式例3遞推公式此種方法也是計算行列式的一種常用方法，稱為遞推法。其關(guān)鍵是找到遞推公式。例4證明范德蒙德(Vandermonde)行列式注意：范德蒙德行列式可以當作公式直接用來計算行列式。例5

n階范德蒙德行列式定理1.4.1:行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即下面來證明按照第一行展開0=例6設(shè)求：（1）

（2）解：（1）（2）(1)

計算行列式=-1080(2)已知求：（1）

（2）＝0＝－1第五節(jié)克拉默法則一、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為二、重要定理定理1.5.1

如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式則（1）一定有惟一解。推論如果線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式一定為零。定義稱為齊次線性方程組。推論如果齊次線性方程組（2）的系數(shù)行列式，則（2）只有零解。如果齊次線性方程組（2）有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。例1

問取何值時，齊次方程組有非零解？解：由于時，D=0所以當時，齊次方程組有非零解.主要內(nèi)容典型例題第一章n階行列式

習題課排列全排列及其逆序數(shù)對換

行列式定義性質(zhì)展開克拉默法則把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）。個不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示且。１、全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列在一個排列中，若數(shù)，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序。一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。

２、逆序數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)。方法2方法1分別計算出排在前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出這個元素的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)。３、計算排列逆序數(shù)的方法定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為一次對換。將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換。定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。４、對換５、n階行列式的定義６、n階行列式的性質(zhì)１）余子式與代數(shù)余子式７、行列式按行（列）展開２）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：８、克拉默法則克拉默法則的理論價值分別算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)。解例１2k排在首位，逆序數(shù)為0；

1的前面比1大的數(shù)有一個(2k)，故逆序數(shù)為1；

2k-1的前面比2k-1大的數(shù)有一個(2k)，故逆序數(shù)為1；一、計算排列的逆序數(shù)

2的前面比2大的數(shù)有兩個(2k,2k-1)，故逆序數(shù)為2；

2k-2的前面比2k-2大的數(shù)有兩個(2k,2k-1)，故逆序數(shù)為2；……………

k-1的前面比k-1大的數(shù)有k-1個(2k,2k-1,…,k+2)，故逆序數(shù)為k-1；

k+1的前面比k+1大的數(shù)有k-1個(2k,2k-1,…,k+2)，故逆序數(shù)為k-1；

k的前面比k大的數(shù)有k個(2k,2k-1,…,k+1)，故逆序數(shù)為k。當為偶數(shù)時，排列為偶排列，當為奇數(shù)時，排列為奇排列。于是排列的逆序數(shù)為１用定義計算（證明）例２用行列式定義計算二、計算（證明）行列式解

評注：本例是從一般項入手，將行標按標準順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法。例３設(shè)證由行列式的定義有

評注：本題證明兩個行列式相等，即證明兩點，一是兩個行列式有完全相同的項，二是每一項所帶的符號相同。這也是用定義證明兩個行列式相等的常用方法。２利用范德蒙行列式計算例４計算利用范德蒙行列式計算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。解上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

評注：本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式。３用化三角形行列式計算例５計算解提取第一列的公因子，得

評注：本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式?；銜r一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應(yīng)充分利用這些特點，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達到化為三角形行列式之目的。４用降階法計算例６計算解

評注：本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）。這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用。５用拆成行列式之和（積）計算例７證明證

評注：本題是將所給行列式拆成兩個行列式之積，然后分別求出拆成的兩個行列式的值，從而求得所給行列式的值。６用遞推法計算例８計算解由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得評注７用數(shù)學(xué)歸納法例９證明證對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法評注計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應(yīng)用。在計算時，首先要仔細考察行列式在構(gòu)造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法。例１０求一個二次多項式f(x)，使

f(1)=0，f(2)=3，f(-3)=28。當線性方程組方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則。為了避免在計算中出現(xiàn)分數(shù)，可對有的方程乘以適當整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項都是整數(shù)的線性方程組后再求解。三、克拉默法則解設(shè)所求的二次多項式為由題意得這是一個關(guān)于三個未知數(shù)a,b,c的線性方程組。而由克萊姆法則，得于是，所求的多項式為

例11證明平面上三條不同的直線ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0相交于一點的充分必要條件是a+b+c=0.證：因為三條直線為不同的三條直線，所以