學習線性代數(shù)應(yīng)用舉例教學教材

線性代數(shù)應(yīng)用實例取自《線性代數(shù)機算與應(yīng)用指導(dǎo)（MATLAB）版》2011.12例1平板穩(wěn)態(tài)溫度的計算為了計算平板形導(dǎo)熱體的溫度分布，將平板劃分為許多方格，每一個節(jié)點上的穩(wěn)態(tài)溫度將等于其周圍四個節(jié)點溫度的平均值。由此可得出階數(shù)與節(jié)點數(shù)相同的線性方程組，方程的解將取決于平板的邊界條件。這個方法可以用來計算飛行器的蒙皮溫度等。T1T2T3T4平板溫度計算的模型整理為向高階系統(tǒng)擴展則要解25階的線性方程組。運行書上的程序得溫度分布如下將平板分割得愈細，求出的解就愈精確。如果把上述區(qū)域分成25個點如右例2交通流的建模對于一個有雙向車流的十字路口，根據(jù)流出流入車數(shù)相等的規(guī)則，可以列出下列方程組:節(jié)點A：x1

360

x2

260節(jié)點B：x2

220

x3

292節(jié)點C：x3

320

x4

357節(jié)點D：x4

260

x1

251相應(yīng)的矩陣方程為：A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];b=[-100;72;37;-9];U=rref([A,b])MATLAB程序運行結(jié)果為：U=100-19010-1109 001-137 00000由于U的最后一行為全零，也就是說，四個方程中實際上只有三個獨立。x4可以任設(shè)，因為如果有一些車沿此路口環(huán)行，對方程無影響，故方程組的解可如上表示.把上述模型擴展到多個十字路，乃至整個城市，就構(gòu)成高階的線性代數(shù)方程組。例如下面的6節(jié)點交通流圖，它就要由6個方程和7個變量來描述。用行最簡型方法可以知道，它的解將包括兩個自由變量。其物理意義類推。向高階系統(tǒng)擴展左圖描述了四個城市之間的航空航線圖，其中1、2、3、4表示四個城市；帶箭頭線段表示兩個城市之間的航線。設(shè)行號表示起點城市，列號為到達城市，則定義鄰接矩陣A為：例3飛機航線問題轉(zhuǎn)機航線的數(shù)學模型不難證明：矩陣A^2=A*A表示一個人連續(xù)坐兩次航班可以到達的城市，矩陣A^3=A*A*A表示連續(xù)坐三次航班可以到達的城市：其中，第i行描述從城市i出發(fā)，可以到達各個城市的情況，若能到達第j個城市，記A(i,j)=1，否則A(i,j)=0，規(guī)定A(i,i)=0(其中i=1,2,3,4)。如第2行表示：從城市2出發(fā)可以到達城市3和城市4而不能到達城市1和2。多次轉(zhuǎn)機到達的城市分析矩陣A^3的第二行，可以得出：某人從城市2出發(fā)，連續(xù)坐三次航班可以到達城市2、3和城市4，不能到達城市1，而到達城市3和城市4的方法各有兩種。不難看出，轉(zhuǎn)機兩次以下的航線的航路矩陣為At2=A+A^2+A^3程序為：A=[0,1,1,1;0,0,1,1;0,0,0,0;1,1,0,0];At2=A+A^2+A^3例4行列式的幾何應(yīng)用二階行列式的幾何意義是兩個二維向量構(gòu)成的平行四邊形的面積，三階行列式的幾何意義是三個3維向量構(gòu)成的平行六面體的體積。如下圖所示，用MATLAB軟件來實現(xiàn)面積和體積的運算。由向量和所構(gòu)成的平行四邊形的面積為行列式的絕對值。計算的MATLAB語句為：S=abs(a1*b2-a2*b1)如果給出的是三角形三個頂點坐標[a1,b1]，[a2,b2]，[a3,b3]，求該三角形面積，則有：MATLAB寫成S=abs(det([a2-a1,b2-b1;a3-a1,b3-b1]))平行四邊形面積計算多邊形可以劃分為多個三角形來計算。先對三角形面積計算構(gòu)成一個函數(shù)程序；這個子程序名為：cal_area3(A,B,C)A,B,C為三個頂點的二維坐標向量凸多邊形面積只需多次調(diào)用這個函數(shù)程序；例如五邊形ABCDE，可由S5=cal_area3(A,B,C)+cal_area3(A,C,D)+cal_area3(A,D,E)求得。也可由多邊形面積子程序cal_arean(A)計算。擴展至多邊形面積計算MATLAB程序functions=cal_area3(a,b,c)%a,b,c應(yīng)為同形的2維行向量或列向量，%格式檢驗語句略去ab=b-a;

%計算向量ABac=c-a;

%計算向量ACifsize(ab)==[1,2]

%判讀向量AB是否為行向量A=[ab;ac];

%構(gòu)造矩陣AelseA=[ab,ac];ends=abs(det(A))/2;%根據(jù)公式計算三角形面積成藥1號成藥2號成藥3號成藥4號成藥5號成藥6號成藥7號成藥A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E012255336F255355355550G94172523925H651610103510I821200620例5藥方配置問題（1）某醫(yī)院要購買這7種特效藥，但藥廠的第3號和第6號特效藥已經(jīng)賣完，請問能否用其它特效藥配制出這兩種脫銷的藥品。分析：即3,6向量與其他向量是否線性相關(guān)（2）現(xiàn)在該醫(yī)院想用這7種中草藥配制三種新的特效藥，下表為新藥所需的成分質(zhì)量(單位:克)。請問如何配制。分析：這是新藥向量與原來藥向量是否線性相關(guān)的問題。問題及分析思路1號新藥2號新藥3號新藥A4016288B6214167C14278D4410251E53607F5015580G7111838H416821I145230新藥的成分要求u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0];u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6];u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20];U1=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7][V1,r]=rref(U1)問題(1)的MATLAB程序運行結(jié)果V1=

101000001200300001010000011000000010000000000000000000000000000r=12457可見這七種特效藥是“相關(guān)的”,3、6兩種藥可用其它5種藥線性配制出來,但第1、2、4、5、7種藥“無關(guān)”。因此，8，9兩種藥可以配出，第10種藥則不能配出。V2=1010000130 0120030340 0001010220 0000110000 0000001010 0000000001 0000000000 0000000000 0000000000s=1245710為求第二個問題,把3種新藥與7種原藥組成矩陣U2，求rref，得：假設(shè)一個城市的總?cè)丝跀?shù)是固定不變，但人口的分布情況變化如下：每年都有5％的市區(qū)居民搬到郊區(qū)；而有15％的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。若開始有700000人口居住在市區(qū)，300000人口居住在郊區(qū)。請分析：（1）10年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（2）30年后、50年后市區(qū)和郊區(qū)的人口各是多少？（3）分析（2）中數(shù)據(jù)相似的原因。例6人口遷徙問題解這個問題可以用矩陣乘法來描述。令人口變量其中xn為市區(qū)人口所占比例，yn為郊區(qū)人口所占比例。在n+1年的人口分布狀態(tài)為：用矩陣乘法可寫成：A=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];X10=A^10*X0開始市區(qū)和郊區(qū)的人口數(shù)為可以得到n年后市區(qū)和郊區(qū)的人口分布：因此(1)10年后的人口可用程序計算如下：運行結(jié)果為：故市區(qū)和郊區(qū)人口數(shù)約為：744630和255370。無限增加時間n，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向常數(shù)0.75/0.25。為了弄清為什么它趨向于一個穩(wěn)態(tài)值，需要可以求Ak,為此可先將A對角化,然后求其冪。對角矩陣的冪次可以化為元素的冪次余下很容易計算。令其中Λ為對角矩陣，則有%分析n年后城市人口分布clearA=[0.95,0.15;0.05,0.85];X0=[700000;300000];[P,lambda]=eig(A);symsn

%定義符號變量nXn=P*lamda.^n*inv(P)*X0

MATLAB程序顯然,隨n增大(4/5)^n趨近于零,而Xn趨于運行結(jié)果為：750000250000x01234y-270210-75例7多項式插值與擬合求:(1)過這五個點作一個四次多項式函數(shù)(2)請根據(jù)這五個點，擬合一個二次多項式函數(shù)下表給出了平面坐標系中五個點的坐標。并求x=5時的函數(shù)值p4(5)。用MATLAB繪制多項式函數(shù)p4(x)的曲線、已知點及插值點(5,p4(5))。并用MATLAB繪制p2(x)的曲線及已知的五個點。其中矩陣：解：(1)根據(jù)已知條件，把五個點的坐標值分別代入四次多項式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：系數(shù)矩陣A的行列式為范德蒙(Vandermonde)行列式，且五個坐標點的橫坐標各不相同，則該行列式不等于零，所以方程組有唯一解。MATLAB程序：x=[0;1;2;3;4];%輸入已知點坐標y=[-27;0;21;0;-75];A=[x.^0,x.^1,x.^2,x.^3,x.^4];%構(gòu)造vandermonde矩陣a=A\y;%得到適定方程組的唯一解a運行程序，得到a(1)=-27,a(2)=12,a(3)=26,a(4)=-12,a(5)=1.把五個點的坐標值分別代入二次多項式函數(shù)，可以得到如下線性方程組：其中，(2)多項式擬合要解一個超定方程該方程組有三個未知數(shù)，但有五個方程，進一步分析可以得到該方程組無解，即不存在一個二次多項式曲線剛好能過已知的五個點。MATLAB軟件提供了一個利用最小二乘法解決超定方程組解的方法。求系數(shù)的公式也是a=A\y，以找到一條二次曲線來近似地描述已知5個點的變化情況。對比插值和擬合的曲線如下圖用平面坐標系中的一個閉合圖形來描述剛體，用一個矩陣X來表示它。X的一列表示剛體一個頂點的坐標。為了使圖形閉合，X的最后一列和第一列相同；為了實現(xiàn)剛體的平移運算，給矩陣X添加元素值都為1的一行，使X為3×n矩陣。若有矩陣：則可以證明，矩陣Y1是剛體X沿x軸正方向平移c1，沿y軸正方向平移c2后的結(jié)果；矩陣Y2是剛體X以坐標原點為中心逆時針轉(zhuǎn)動t弧度的結(jié)果。例8剛體的平面運動x04610853.56.16.53.220y014140011664.54.500實例用下列數(shù)據(jù)表示字母A:

對A進行以下平面運動,并繪制移動前后的圖形。(1)向上移動15,向左移動30;(2)逆時針轉(zhuǎn)動π

/3;(3)先逆時針轉(zhuǎn)動3π

/4,然后向上平移30,向右平移20。解構(gòu)造剛體矩陣X，平移矩陣及轉(zhuǎn)動矩陣。M1=100010-30201M2=10001020301R1=00100R2=00100MATLAB程序?X=[0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0;

0,14,14,0,0,11,6,6,4.5,4.5,0,0;

ones(1,12)];%構(gòu)造剛體矩陣XM1=[1,0,-30;0,1,15;

0,0,1];

%構(gòu)造平移矩陣M1

Y1=M1*X;%計算平移結(jié)果?

fill(Y1(1,:),Y1(2,:),‘red’);

%繪制平移后剛體Y1?

plot(X(1,:),X(2,:));