2023-2024學年江蘇省南京市高一年級下冊6月期末考試數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省南京市高一下學期6月期末考試數(shù)學試題

、選擇題（第1-8題每題5分，第9-11題每題6分，共58分）

1.設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足i3z=1+2i,則已在復平面內(nèi)對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知。為銳角，且cos?+§=亳,則sin。=（）

A+1o2—A/3「2+1T-X4-\/3—3

3.在"BC中，己知a=A/2,b=島B=60°,則4角的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C,45°或135°D.60°

4.已知同=5,\b\=4,若之在3上的投影向量為-1?瓦則Z與刃的夾角為（）

A.60°B.120°C,135°D.150°

5.設樣本數(shù)據(jù)打,%2,…Mio的均值和方差分別為1和2,若％=2陽一10=1,2,?--,10）,則打）2,…,Vio的方差

為（）

A.1B.3C.4D.8

6.已知a,0是兩個不同的平面，m,1是兩條不同的直線，若機ua,aC0=1,貝ij“小〃2”是“機〃￡”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.如圖，在正四棱柱48CD-48停1。1中，441=348,則異面直線4道與力以所成角的余弦值為（）

9

B10C-1

8.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=BD=DC=2,N4=45。.現(xiàn)將鋁。。沿BD起，使二面角C-BD-A大

小為120。，則折起后得到的三棱錐C-AB0外接球的表面積為（）

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A.IOTTB.157rC.207TD.兀

9.已知n是不同的直線，a,￡是不重合的平面，則下列命題中，真命題有（）

A.若?！?，m1a,m//n,則n10

B.若zn〃a,aC0=n,則zn〃n

C,若m〃a,貝｝|7i〃a

D.若m1a,m10,na,貝!Jn//0

10.2023年10月26日，神舟十七號載人飛船成功發(fā)射，中國航天再創(chuàng)輝煌.為普及航天知識，弘揚航天精

神，某市舉辦了一次航天知識競賽.為了解這次競賽成績情況，從中隨機抽取了50名參賽市民的成績作為樣

本進行統(tǒng)計（滿分：100分），得到如下的頻率分布直方圖，則（

注：同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表.

A.圖中y的值為0.004

B.估計樣本中競賽成績的眾數(shù)為70

C.估計樣本中競賽的平均成績不超過80分

D.估計樣本中競賽成績的第75百分位數(shù)為76.75

11.已知正三棱臺AiBiCi—ABC,AB=2A1B1=4,=&，下列說法正確的是（）

A.正三棱臺&8忑1-48c體積為避

B.側(cè)棱CCi與底面力BC所成角的余弦值為半

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C.點4到面BB1JC的距離為2避

D.三棱臺a/iCi-ABC的外接球的表面積為衛(wèi)券

二、填空題(共15分)

12.已知向量2,茄勺夾角為拶，同=*,歷|=1,則|33+而=___.

O

13.在ATIBC中，內(nèi)角4B,。所對的邊a,b,c滿足房=兒，則微=,三角形48c為銳角三角

形，則cos(C-B)+cos/的取值范圍是.

14.如圖，在長方體&&的。1中，AB=AD=1,AAr=2,P為的中點，過PB的平面a分別與

棱441，CCi交于點E,F,且ZC〃仇，則截面四邊形PEBF的面積為.

15.已知cosa=*,sin(a-S)且a,/?€(05.求:

5104

(l)cos(2a一0)的值;

(2)口的值.

16.如圖，AB是圓。的直徑，點P在圓。所在平面上的射影恰是圓。上的點C,且PC=AC=2BC=4,點D

是PA的中點，點尸為PC的中點.

(1)求異面直線BF和PA所成角的大??；

⑵求二面角D-BC-4的大小.

17.在44BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2,c2=BA-~BC-2^S,其中S為44BC的

面積.

(1)求角A的大小;

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(2)設。是邊BC的中點，若481AD,求4。的長.

18.如圖，四棱錐P-4BC。的側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，底面4BCD為矩形，且平面P4D，平面

ABCD,M,N分別為4B,AD的中點，二面角D-PN-C的正切值為2.

(1)求四棱錐P—2BCD的體積；

(2)證明：DM1PC;

(3)求直線PM與平面PNC所成角的正弦值.

19.柯西是一位偉大的法國數(shù)學家，許多數(shù)學定理和結(jié)論都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一,

它在數(shù)學的眾多分支中有精彩應用，柯西不等式的一般形式為：

設的,a2,a3,an,歷,b2,b3,bnGR,則(底,+/+…+/)(比+與+…+扇)》

(01^1+

a2b2+…+anbn)

當且僅當仇=0(=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k,使得因=協(xié)&=1,2,…,71)時,等號成立.

(1)請你寫出柯西不等式的二元形式；

(2)設P是棱長為理的正四面體ABC。內(nèi)的任意一點，點P到四個面的距離分別為心、d2、d3、cU，求出+

0+d|+成的最小值；

(3)已知無窮正數(shù)數(shù)列｛an｝滿足：

①存在meR,使得=1,2,...)；

-1

②對任意正整數(shù)八Hj),均有@一町|》百孑

求證：對任意九>4,nEN*,恒有m>1.

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答案

1.5

2.D

3.B

4.B

5.D

6.C

7.5

8.C

9.ABD

10.ACD

ll.BCD

12.四

13.2;(1,1]

14.乎

15.解：(1)因為a,Be(0,^),所以a-0e(一瑞).

又因為sin(a-S)=更^>0,所以O<a-0.所以sina=(1-cos2a=至2cos(a-/?)=^/l—sin2(a—

_35

10,

cos(2a—/?)=cos[a+(or—/?)]=cosacos(a—S)—sinasin(a—/?)=xx=

(2)cos￡=cos[a—(a—S)]=cosacos(a—，)+sinasin(a—S)=xx

又因為6e(o,5,所以￡=J.

16.解：(1)取AC中點M,連結(jié)BM,FM,

因為乩M分別為PC,AC的中點，所以FM〃PH

所以NBFM(或其補角)為異面直線BF和R4所成角，

因為PC=4C=2BC=4,C為己48為直徑的圓上的點，

所以在直角三角形BCM中，BC=MC=2,乙BCM=90。得BM=2的，

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因為點P在圓。所在平面上的射影恰是圓。上的點C,所以P。1面4BC,

又BC,BA在平面ABC內(nèi)，

所以PC1BC,PC1BA,

所以BF=BM=2避，

所以三角形BMF為正三角形，4BFM=60。,

異面直線BF和P4所成角是60。；

(2)由(1)知BC1PC,BC1AC,PCCiXC=C,

得BC1平面PC4且DCu平面PC4

所以BC1CD,又BC1AC,

所以NDC4為二面角D-BC-A的平面角，

在等腰直角三角形PC4中易知NDC4=45°,

故二面角D—BC—A的大小為45。.

17.解：(1)據(jù)?2=瓦？?麗—2pS,可得02=c?a?cosB-28x'jacsinB,

即c=acosS-^/3asinB,

結(jié)合正弦定理可得sinC=sin/lcosB—^/3sinXsinB.

在△ABC中，sinC=sin[7T—(X+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosXsinB,

所以sinAcosB+cosAsinB=sinZcosB一巡sinAsinB,

整理得cosAsinB=—yf3sinAsinB.

因為Be(0,兀)，sinB>0,故cosA=—J5sinA,即tanA=一字，

又ae(O,TT),所以A=|TT.

(2)因為。是邊BC的中點，故SAABD=S^ACD，

所以3-AD=1b-AD-sinzDXC,

即，2〃！J，--

2262

整理得c=爭①.

222

在△ABC中，據(jù)余弦定理得，a=6+c—2bccosZ.BAC9

即按+c2+y/3bc=4②.

聯(lián)立①②，可得力亍c

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D是邊BC的中點，BD=1,

在RtAaBD中，據(jù)勾股定理得，AD2=BD2-AB2=1-(^|)2=

所以4D=星.

13

18.(1)解：VAP/0為正三角形，N為中點，

???PN1AD.

又???平面PA。1平面/BCD,平面PAD八平面ABC。=AD,

???PN1平面4BGD.

又NCu平面ABC。，

PN上NC,

???/DNC為二面角D—PN—C的平面角，

nr

：.tan乙DNC=2=照.

DN

又DN=1,DC=2,

???底面4BCD為正方形.

又易得PN=收，

四棱錐P—2BCD的體積U=|x2x2xV3=竽.

(2)證明：由(1)知，PN_L平面4BCD,DMu平面力BCD,PN1DM.

在正方形ABC。中，易知4M三ACDN,；.KADM=4DCN.

而N4DM+^MDC=90°,

.-.乙DCN+/.MDC=90°,

???DM1CN.

■：PNCtCN=N,：.DM1平面PNC.

PCu平面PNC,DM1PC.

(3)解：設DMnCAf=0,連接PO,MN.

???DM1平面PNC,

NMP。為直線PM與平面PNC所成的角.

可求得，DM=依，DO=嘈,M0=器-縛=嘻

V。555

又MN=A/2,PM=yJPN2+MN2=非,

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M。_誓_3

???sinZ-MPO兩=狀=引

直線PM與平面PNC所成角的正弦值為:

19.解：（1）柯西不等式的二元形式為：

設@1，敢，必,b2ER,則（於+，）（據(jù)+凌）之（僅仍1+a2b2）2,

當且僅當。1力2=a2bl時等號成立；

（2）由！?-：?1'??；1,I1---）,\?-I'■.,

彳安未遂）3=,X字（招）2@+d2+d3+44）,

iz。q

所以n+C?2+的+C?4=—,

又由柯西不等式得：

（城+的+培+6?4）（1+1+1+1）

N?i,1+C?2,1+C?3,1+d/[,1）2

=（詢+d，2+慮+6?4）2,

所以出+度+戲+或以?l+d2；d3+d4）2=5

當且僅當di==坐時等號成立；

6

（3）對71之4,記）1，左2，…，（n是1，2,…，九的一個排列,

a

且滿足0<<ctk2<…Vkn工m,

由條件②得：（i=2,3,-,n）,

于是，對任意的nN4,都有

ma

kn>。心一以1