2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬卷6

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬06

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)3i+2「的虛部為（）

A.1B.3iC.3D.i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡(jiǎn)，即可判斷.

【詳解】因?yàn)?i+2i3=—2i+3i=i，所以3i+2j3的虛部為1.

故選：A

2.某紡織廠4月份生產(chǎn)了三種類型的紗線，分別為大卷紗線、中卷紗線和小卷紗線，其中大卷紗線有2000

卷，中卷紗線有8000卷，小卷紗線有20000卷.為檢查該紡織廠4月份生產(chǎn)的這三種類型紗線的質(zhì)量，按

比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽檢240卷，則被抽檢的小卷紗線有（)

A.120卷B.150卷C.160卷D.200卷

【答案】C

【解析】

【分析】利用分層抽樣的意義列式計(jì)算即得.

20000

【詳解】依題意，被抽檢的小卷紗線有240x=160（卷）.

2000+8000+20000

故選：C

3.有一艘船以每小時(shí)25海里的速度向正東方向行駛，在A處測(cè)得燈塔尸在該船的東北方向，該船行駛2

小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得燈塔尸在該船的東偏北75方向上，則的=（）

A.50后海里B.25a海里C.50海里D.50痣海里

【答案】A

【解析】

【分析】由題意畫圖，再利用正弦定理求解.

【詳解】由題可知/PAB=45=180-75=105，/APB=180-45-105=30,

ABBP

A3=50海里，在A3P中，由正弦定理可得

sin^APB-sin^PAB

則Bp="Bsm/PAB=5>sm45=5。?海里.

sinNAPBsin30

A.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)是72

B.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差是42

C.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是75

D.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的第80百分位數(shù)是92

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)，極差，中位數(shù)和百分位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算.

58+92+100+70+80+45+60505”…

【詳解】-----------------------------------------=——*72,A錯(cuò)誤;

77

B選項(xiàng)，小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差是100-45=55,B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，將小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)從小到大排列為45,58,60,70,80,92,100,

則小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是70,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)?x80%=5.6,所以第80百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)，即92,D正確.

故選：D

5.若某圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為4,該圓臺(tái)的體積不小于63兀，則該圓臺(tái)的高的取值范圍是

()

A[18,+co）B.[9,+oo）C.(18,+oo)D.(9,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式代入求解即可.

【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的高為力，則該圓臺(tái)的體積V=?（兀+16兀+J兀xl6兀）=7/OT.

因?yàn)樵搱A臺(tái)的體積不小于63兀，所以7/mN63兀，解得力29.

故選：B

6.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星ASCDE

中，A3=6,。是該正五角星的中心，則OAAB=（）

-12C.12D.18

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)。。交A3于點(diǎn)則尸是A3中點(diǎn)且ODLAB,根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得.

【詳解】如圖，0。交AB于點(diǎn)/，則口是AB中點(diǎn)且ODLAB,

2

由題意可得=—49?AB=—49ABcosNOAB=-|AF||AB|=-1|AB|=-18.

故選：A.

EB

7.

如圖，在直三棱柱ABC-4與G中，所有棱長(zhǎng)都相等，D,E，R分別是棱A3,BC,與G的中點(diǎn)，則

異面直線。尸與GE所成角的余弦值是（）

1379

A.—B.——C.—D.

10101010

【答案】D

【解析】

【分析】利用平移法作出異面直線。/與C]E所成的角，解三角形即可求得答案.

【詳解】連接班1，因?yàn)樵谥比庵鵄3C-4用G中，E，R分別是棱3C,2c的中點(diǎn),

故〃BE,C〔F=BE,即四邊形BEC】E為平行四邊形,

所以BF〃QE,則NDRB即異面直線小與QE所成角或其補(bǔ)角;

直三棱柱ABC-4與￡中，所有棱長(zhǎng)都相等，設(shè)其棱長(zhǎng)為2,

連接EF,DE,則EF=2,EF〃BB「而8與，平面ABC,故即上平面ABC,

OEu平面A3C，故EFLDE，

。是棱AB的中點(diǎn)，故DE=；AC=1,則DF=在加+DE?=6，

而BF=7EF2+BE?=#>,又DB=1，

”》,“nDF"+BF2-DB25+5-1_9

故在DBb中，cosZDFB=----------------------

2DF-BF2-V5-V5-10

由于異面直線所成角的范圍為大于0，小于等于90，

9

故異面直線OR與所成角的余弦值是一,

故選：D

JT

8.如圖，在平面四邊形A5CD中，/。/4與=—2人5。為鈍角三角形，AB=BC=AD=1,則四邊形

2

ABC。的面積的最大值為（）

1A/2+1r^/^+3\/3+1

1D.-------------------------LJ.---------------

242

【答案】B

【解析】

7T

【分析】（方法一）設(shè)NA5C=a,利用余弦定理求出AC,由ND4B=一,求出四邊形A5CO的面積為

2

一二]+L求出最大值；

2I4）2

（方法二）四邊形A3CD的面積S=5AA物+5會(huì)”，求出最大值.

【詳解】（方法一）設(shè)NABC=tz,貝i]ae1|>7r；AC=A/l+l—2xlxlxcosa=j2-2costz,在

,八，-n-a7ia

ABC中，ZBAC=------=--------

222

TTn

因?yàn)镹DAB=—,所以/D4C=—.

22

四邊形ABCD的面積為一xlxlxsini+—xl.j2-2coso-sin一

222

=Lina+LV^^?\^E=J_sina+J_(i_cos0=交sinJ_2]+L

22V222V724j2

當(dāng)即時(shí),

四邊形A3CD的面積取得最大值，最大值為叵口.

2

（方法二）四邊形ABCZ）的面積S=SAEO+Sflra=-+-xlxV2xsinZCfiD<-+-=^±1.

ABOBCD22222

故選：B

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若復(fù)數(shù)力=3+4i,貝I（）

A.z=—4-3iB.|z+i|=2V5

z724.

C.z+3i為實(shí)數(shù)D.——=-----1-----1

z2525

【答案】BC

【解析】

【分析】首先求解復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及共軌復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)模的公式，即可判斷選項(xiàng).

3+4i

【詳解】由力=3+4i,得2=-------=4—3i,A錯(cuò)誤.

i

|z+i|=|4-2i|=^16+4=2^/5,B正確.

因?yàn)閦+3i=4,所以z+3i為實(shí)數(shù)，C正確.

z4-3i（4-3i）（4-3i）16-24i+9i2724.

z4+3i（4+3i）（4-3i）16-9i22525’

故選：BC

10.在正三棱錐P—ABC中，AB=6,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若PA=而，則二面角P-AB-。是4

6

B.若二面角P-AB-。是g，則正三棱錐P—ABC的體積是96

C.苔R4=6,則正三棱錐P—ABC內(nèi)切球的半徑是逅.

6

D.若QA=6,則正三梭錐P-A5c外接球的表面積為54兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)正三棱錐的幾何關(guān)系，構(gòu)造二面角的平面角，即可判斷A,根據(jù)二面角的平面角，計(jì)算三棱錐

的高，再根據(jù)三棱錐的體積公式，即可判斷B,根據(jù)等體積公式的變換，求解三棱錐的內(nèi)切球的半徑，即可

判斷C,根據(jù)球心的位置，構(gòu)造球半徑的關(guān)系式，再根據(jù)球的表面積公式，即可判斷D.

【詳解】如圖，取A5的中點(diǎn)/，連接則/PMC是二面角P-AB-。的平面角.

作平面ABC,垂足為點(diǎn)”在CM上，且CH=2HM=2?

對(duì)于A,由巳4=厲，得PM=2,貝==從而=工，故A正確.

PM26

7TJT'pJ—Ti—

對(duì)于B,二面角P-AB-。是一，即/PMC=—,得tan/PMC=——=，3,

33HM

則PH=3,從而三棱錐P—A5C的體積V=』S/z=Lx」3x62x3=9j^，故B正確.

334

由QA=6,得PH=2卡.對(duì)于C,設(shè)三棱錐P—ABC內(nèi)切球的半徑為「，則/TBC=gSp..c.，所

々I,3x-x—x62x276r

以「=AABC=_34--------------=吏，故c錯(cuò)誤.

S…3,62x42

4

設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為A,球心為。，且在PH上，連接CO,

則R?=CH2+OH2=(PH-OH)。,即&=12+OH2=(2n-OH)2,

解得?！?逅，所以R=還,所以4兀尺2=54兀，故D正確.

22

故選：ABD

11.歐拉線定理指出三角形的外心、垂心、重心都在同一條直線士，且重心與外心之間的距離是重心與垂心

之間的距離的一半.設(shè)O,〃,G分別是的外心、垂心和重心，則()

A.OA+OB+OC=0B.2OH+3HG=0

C.ABAH=ACAHD.AH=3AG+2OA

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形外心、垂心、重心的意義及歐拉定理，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.

【詳解】對(duì)于A,連接AG并延長(zhǎng)，交3c于點(diǎn)。，則。是的中點(diǎn)，O8+OC=2O。，

于是OA+OB+OC=Q4+2O。，當(dāng)AB/AC時(shí)，不共線，即OA+28RO，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由歐拉線定理得GH=2OG，有OH=3OG,HG=-2OG,則2OH+3HG=0，B正確；

對(duì)于C,H是，ABC的垂心，即則

于是AH.(AC-AB)=O,即=C正確；

對(duì)于D,由歐拉線定理知G〃=2OG，則A//—AG=2(AG+04),即AH=3AG+2Q4，D正確.

故選：BCD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知復(fù)數(shù)馬=i*2=1/3=7〃+3i,Z4=-2+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A5C。，若AB//CZ)，

則實(shí)數(shù)機(jī)=；若AB,CD，則實(shí)數(shù)機(jī)=.

【答案】?.-40

【解析】

【分析】先得到43=(1,-1),8=(-2-m,-2),根據(jù)平行和垂直得到方程，求出答案.

【詳解】依題意得A(0,l),B(l,0),C(m,3),￡>(-2,1),則AB=(1,-1),CD=(-2-m,-2).

若AB//CD，則一2-加=2，解得加=—4；

若ABLCD，則—2—根+2=0,解得m=0.

故答案為：-4，0

13.某校高一(1)班有男生20人，女生30人.已知某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，男生成績(jī)的平均數(shù)為100,方差為

11,女生成績(jī)的平均數(shù)為95,方差為16,則這次測(cè)驗(yàn)中班級(jí)總體成績(jī)的方差為.

【答案】20

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.

2030

【詳解】依題意得這次測(cè)驗(yàn)中班級(jí)總體成績(jī)的平均數(shù)為-------X100+----------x95=97,

20+3020+30

方差為20x「(100-97)2+111+30x「(95-97)2+161=20.

20+30「」20+30L」

故答案為：20

14.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABC。-中，瓦尸分別為線段55］,3。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為側(cè)面

Be"的中心，則.0郎的周長(zhǎng)的最小值為.

［答案］2,4+2及

【解析】

【分析】由對(duì)稱性得到QEF周長(zhǎng)的最小值即0￡+即+網(wǎng)0的最小值，將兩平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，

得到OE+EF+FM>OM=2"+2及，得到答案?

【詳解】如圖①，設(shè)側(cè)面45片4中心為根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可得=

則.OEF周長(zhǎng)的最小值即OE+砂+府的最小值.

將側(cè)面BCC&1繞著33］旋轉(zhuǎn)至與平面與在同一平面上，

將平面A"繞著BDX旋轉(zhuǎn)至與平面BQ］B在同一平面上，

過點(diǎn)。作0SL3C于點(diǎn)S,則05=35=2,其中"3=20，

如圖②，則OE+EF+FM>OM=yjMS2+OS2=7（2+272）2+22=214+20，

故iOEF的周長(zhǎng)的最小值為2”+2夜?

故答案為：2"+2友

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在直四棱柱ABC?！狝4GR中，底面A3CD為菱形，43=30=44=4,M為。。中

（2）求點(diǎn)B到平面AMC1的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2）73.

【解析】

【分析】（1）連接3D],設(shè)3R與AC1交于點(diǎn)。，連接則〃皿，故可證明皮）〃平面

（2）利用等積法可求點(diǎn)面距.

【小問1詳解】

連接8R,因?yàn)锳B〃C|2，AB=G2,故四邊形ABGR為平行四邊形，

設(shè)與AC1交于點(diǎn)。，則。為32的中點(diǎn)，連接OM.

因?yàn)椤椤的中點(diǎn)，所以為，8。。]的中位線，則

因?yàn)镺A/u平面AMQ,8。＜Z平面AMC,,所以BDH平面AMQ.

【小問2詳解】

延長(zhǎng)M0交B用于點(diǎn)N,連接AN,3M,取A3的中點(diǎn)P,連接。P,

則MO=ON,而AO=OG，故四邊形ANGM為平行四邊形，

=

故^B-AMCV%一AMN?

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，故AD=AB,故AZ)=AB=B0=4，

故△AB。為等邊三角形，所以且DP=2G.

因?yàn)锳4，平面ABC。，DPu平面ABCD

所以A41~LDP，而441cAB=A,A4],ABu平面ABB14,

所以。尸，平面ABB^,因?yàn)?。拉〃平面ABB^,

則點(diǎn)M到平面ABB^的距離為DP=2y/3-

VM-ABN=；*2百xgx4x2=^^.

因?yàn)锳Af=A7V=J16+4=2石,AfN=5D=4,所以5A=gx4x吊20-4=8.

1Q

設(shè)點(diǎn)2到平面AMQ的距離為h,則=VB…=可兒S'=~h.

由VM-ABN=VB-AMN,得一/z=---，解得h=A/3?

33

故點(diǎn)B到平面AM。1的距離為73.

16.在ABC中，角AS。的對(duì)邊分別是a,b,c,已知cos2A+sinBsinC=cos3cosC,且BD=2DC

(1)求角A的大??；

(2)若AD=4,求_ABC面積的最大值.

【答案】（1）A

⑵6收

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換關(guān)系，化簡(jiǎn)條件等式，即可求解；

（2）根據(jù)向量關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積公式，得到關(guān)于ac的等式4^+02+280=144,再根據(jù)基本不等式

轉(zhuǎn)化為求Ac的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)閏os2A+sinBsinC=cosBcosC，所以2cos2A-1-cos（B+C）=O.

因?yàn)锳+3+C=7t,所以cos（5+C）=-cosA,

所以2cos2A—1+cosA=0，解得cosA=—或cosA=-1.

2

1

因?yàn)?<4<兀，所以cosA=—,則人=-.

23

【小問2詳解】

..12

因?yàn)樗?+，即3AD=AB+2AC，則

-2.2_*一-2

9AD=AB+4ABAC+4AC-

jr

因?yàn)锳O=4,/BAC=—,所以4加+C2+2A=144.

3

因?yàn)?尸+°224根，當(dāng)且僅當(dāng)c=2b時(shí)，等號(hào)成立，

所以6bcW144,即Z?cW24,

則A3C的面積S=gbcsinA=^6c<68，故.A3C面積的最大值為68.

17.近年來，由于互聯(lián)網(wǎng)的普及，直播帶貨已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種營(yíng)銷形式.某直播平臺(tái)工作人員在問詢了

解了本平臺(tái)600個(gè)直播商家的利潤(rùn)狀況后，隨機(jī)抽取了100個(gè)商家的平均日利潤(rùn)（單位：百元）進(jìn)行了統(tǒng)

計(jì)，所得的頻率分布直方圖如圖所示.

?頻率抓跖

0.030

0.025

0.015

111III1>

°405060708090100平均日利潤(rùn)/仃元

(1)求相的值，并估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值作代表).

(2)以樣本估計(jì)總體，該直播平臺(tái)為了鼓勵(lì)直播帶貨，提出了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案，一是對(duì)平均日利潤(rùn)超過78

百元的商家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，二是對(duì)平均日利潤(rùn)排名在前工的商家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案只選擇一種，你覺得

3

哪種方案受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多?并說明理由.

【答案】(1)m=0.02,中位數(shù)為74,平均數(shù)為72.5

(2)方案一受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多，理由見解析

【解析】

【分析】(1)由頻率分布直方圖中各組頻率之和等于1,列出方程求出利用中位數(shù)定義和平均數(shù)公式分

別計(jì)算即得；

(2)按照方案一要求，利用頻率分布直方圖先求出平均日利潤(rùn)超過78百元的商家所占的比率，再求對(duì)應(yīng)的

商家數(shù)目；方案二只需取前,，即前200個(gè)商家家，比較即得結(jié)論.

3

【小問1詳解】

由題意可知(0.005x2+0.015+m+0.025+0.03)xl0=l,解得加=0.02.

設(shè)中位數(shù)為“，則0.05+0.15+0.2+(〃—70)x0.025=0.5,解得〃=74,所以中位數(shù)為74,

平均數(shù)為(45+95)x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.25+85x0.3=72.5.

【小問2詳解】

20—78、

[-^―X0.25+0.3+0.05x600=240,

方案二受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家的個(gè)數(shù)為工x600=200,

3

因?yàn)?40>200,所以方案一受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多.

11

rrtn,,n

18.對(duì)任意兩個(gè)非零向量加，“，定義：m0n=r

⑴若向量a=（5,3）,1=（-3,2）,求力伍+23）的值；

（2）若單位向量a,力滿足力慳儂—力）=焉，求向量a與”的夾角的余弦值；

⑶若非零向量a,匕滿足|小3回，向量&與b的夾角是銳角，且4（6③a）是整數(shù)，求的取值

范圍.

Q

【答案】（1）一

25

⑵如

4

⑶加

【解析】

r/rr\

【分析】（1）先求出向量〃+2b的坐標(biāo)，再根據(jù)題目所給定義求出（。+2人）的值.

（2）根據(jù)所給條件求出a-b的值，再利用向量夾角的余弦值公式計(jì)算即可.

r

b

（3）結(jié)合條件得出「的范圍、向量d與石的夾角的余弦值的范圍，再根據(jù)題目所給定義和題目條件，求出

a

a

萬⑤〃的值，將“（8）6轉(zhuǎn)化為MC°se,即可求出〃九人的取值范圍.

b

【小問1詳解】

因?yàn)閍=（5,3）,丘=（-3,2）,所以5+2力=（5,3）+2（—3,2）=（—1,7）,

rr.a-（a+2Z?）_5x（-l）+3x7_16_8

-2戶仿+2喬=（力+千-'

故「③伍+26）的值為

【小問2詳解】

因?yàn)橄蛄縜、b是單位向量，所以同=1,忖=1,

由僅+力）區(qū)（25一力）=：,

,（著4（2kb）_2笳+1力」21+i_5

Hlr~9-T*Tf—-ri1"-

/2a-b\4（22-4a-b+b25-4a?b16

解得

4

由"力y=黯―21力+力2=m，可得L=JL=4=日,

rr[a-^a-bj超一1力1-1I-

4_N6

cos<a^a—b>——r—=，—r-

rrrr1點(diǎn)4

同a-b同a-blx——

2

故向量a與a-b夾角的余弦值為邁.

4

【小問3詳解】

TT

設(shè)向量a與b的夾角為凡由題意可知0<。<5,則0<cos6<l,

rI,r

因?yàn)橥?gt;3^bcos6?<--

3

r1rr

因?yàn)閆?0a=a<一,0<4（&0a）<-.

33

因?yàn)?（力（8）4是整數(shù)，所以4（力③司=1,

rr1\b\1

所以少（8）a=—,U=_*_

4|a|4cos。

\ii3

而小,即0<--—<-，所以一<cos8<l,

4cos<934

?a.ba）八

因?yàn)椤Ｒ?至--