2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三上冊第三次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、選擇題（共8題，每題5分，共40分）1.設(shè)復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】C解析：，.故選：C.2.設(shè)集合，，若，則（）．A.2 B.1 C. D.【正確答案】B解析：因?yàn)椋瑒t有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：故選：B.3.擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一枚點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“第二枚點(diǎn)數(shù)大于4”，則與關(guān)系為（）A.互斥 B.互為對立 C.相互獨(dú)立 D.相等【正確答案】C解析：由題意，擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子共有基本事件個，其中事件有，共12個，事件有，共12個，事件有，共4個基本事件，所以,所以，故相互獨(dú)立，答選：C4.在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.【正確答案】B解析：因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．5.下列選項(xiàng)中，與不相等的是（）A. B. C. D.【正確答案】D解析：，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：D6.已知直三棱柱中，，，點(diǎn)到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C解析：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，平面，又平面，，，，平面，且，平面，平面，，易知，，，，，則，設(shè)外接圓圓心為，外接圓圓心為，則，即，且三棱柱外接球球心為中點(diǎn)，則外接球半徑，表面積為，故選.7.在平面直角坐標(biāo)系中，以軸非負(fù)半軸為始邊作角和角，，它們的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)，，設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，則角的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B解析：由題意可得，，則，由可得，即，解得，即，又，則時，.故選：B8.已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋堑膶?dǎo)數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（）A80 B.75 C.70 D.65【正確答案】B解析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，求導(dǎo)可得，因?yàn)?，，則，可得，且，則，可得，即，可得，可知8為的一個周期，且，對于，，令，可得，，可得，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（共3題，每題6分，共18分）9.以下四個命題表述正確的是（）A.圓的圓心到直線的距離為2B.直線恒過定點(diǎn)C.圓與圓恰有三條公切線D.圓與的公共弦所在直線方程為【正確答案】BC解析：對于A，由圓得圓心，所以圓心到直線的距離為，故A錯誤；對于B，因?yàn)橹本€，令，則，所以該直線恒過定點(diǎn)，故B正確；對于C，由圓得，故，；由圓得，故，；所以，故圓與圓外切，恰有三條公切線，故C正確；對于D，由減，得，即，故兩圓的公共弦所在直線方程為，故D錯誤.故選：BC.10.某校在運(yùn)動會期間進(jìn)行了一場“不服來戰(zhàn)”對抗賽，由籃球?qū)I(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進(jìn)行對抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學(xué)連續(xù)投球3次，乙組的同學(xué)每人各投球1次.若甲組同學(xué)和乙組3名同學(xué)的命中率依次分別為，則（）A.乙組同學(xué)恰好命中2次的概率為B.甲組同學(xué)恰好命中2次的概率小于乙組同學(xué)恰好命中2次的概率C.甲組同學(xué)命中次數(shù)方差為D.乙組同學(xué)命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為【正確答案】BCD解析：對于A中，設(shè)“乙組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，所以A錯誤；對于B中，設(shè)“甲組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，因?yàn)椋訠正確；對于C中，因?yàn)榧捉M同學(xué)每次命中的概率都為，設(shè)甲組同學(xué)命中次數(shù)為，則，可得，所以C正確；對于D中，設(shè)乙組同學(xué)命中次數(shù)為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為，所以，，，故，所以D正確.故選：BCD.11.如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）A. B.C. D.【正確答案】CD解析：設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.三、填空題12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________.【正確答案】解析：由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，解得或，由于是單調(diào)遞增函數(shù)，所以要求的遞增區(qū)間，只需求二次函數(shù)的遞增區(qū)間即可，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得的遞增區(qū)間為，結(jié)合函數(shù)定義域可得的遞增區(qū)間為，故答案為.13.盒中有個紅球，個黑球，今隨機(jī)地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．【正確答案】##解析：記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故答案為.14.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．【正確答案】解析：由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故四、解答題（15題13分，16、17題15分，18、19題17分，要求有必要的解答過程）15.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求．【正確答案】（1）（2）【小問1解析】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可知：，所以.小問2解析】由（1）可知：，顯然為等比數(shù)列，且公比，設(shè)，因?yàn)?，所以?shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.16.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）判斷的形狀；（2）若，且的面積為，求角．【正確答案】（1）等腰三角形（2）【小問1解析】由正弦定理，，因，則，，則為等腰三角形；【小問2解析】由（1）設(shè)等腰三角形兩腰，即c，a為x，則由圖結(jié)合勾股定理可得，邊b對應(yīng)的高為，則，即為等邊三角形，則角為.17.已知雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動點(diǎn)在雙曲線上，當(dāng)時，.（1）求的離心率；（2）已知，，兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若，求的面積.【正確答案】（1）2；（2）.【小問1解析】設(shè)，將代入雙曲線方程得，此時，所以，即，，則，所以（負(fù)值舍去），故的離心率為2.【小問2解析】因?yàn)椋桑?）知，雙曲線方程為：，漸近線方程為，設(shè)，則，所以，又在雙曲線上，所以，整理得：，由漸近線方程為得，所以的面積為.18.如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【小問1解析】連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問2解析】法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.法二：因?yàn)?，過點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，在中，，在中，，設(shè)，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；【小問3解析】法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.法二：平面的法向量為，平面的法向量為，所以，因?yàn)?，所以，故二面角的正弦值?19.函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，曲線上兩點(diǎn)，連線的斜率記為.（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）求證.（3）盒子中有編號為1-100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回地隨機(jī)抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為，求證.【正確答案】（1）遞增區(qū)間為：和，遞減區(qū)間為：（2）（?。áⅲ┳C明見解析（3）證明見解析【小問1解析】當(dāng)時，函數(shù)，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，解得或