2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高三上冊(cè)1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年浙江省嘉興市高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題考生注意：1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙上規(guī)定的位置.2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙上的相應(yīng)位置規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】直接根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義求解即可.【詳解】全集，集合，集合，，.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B.1 C. D.2【正確答案】A【分析】先根據(jù)條件求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，進(jìn)而直接求模即可.【詳解】，，.

故選：A.3.已知向量，若與平行，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先將與的坐標(biāo)表示出來(lái)，再根據(jù)向量平行的充要條件列出方程，解方程即可求解．【詳解】已知向量，，，由與平行，有，解得.故選：B4.袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和5個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，則取到的2個(gè)球顏色相同的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用組合數(shù)及古典概型的概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)“取到的2個(gè)球顏色相同”為事件為,則，所以取到的2個(gè)球顏色相同的概率為.故選：D.5.已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則過(guò)圓心且與直線垂直的直線的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用已知弦長(zhǎng)先求圓心坐標(biāo)，然后可求過(guò)圓心與直線L垂直的直線的方程.【詳解】由題意，設(shè)所求的直線方程為，并設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知：解得或，又因?yàn)閳A心在軸的正半軸上，所以，故圓心坐標(biāo)為，∵圓心在所求的直線上，所以有，即，故所求直線方程為．故選∶A．6.在某校的“迎新年”歌詠比賽中，6位評(píng)委給某位參賽選手打分，6個(gè)分?jǐn)?shù)的平均分為分，方差為，若去掉一個(gè)最高分分和一個(gè)最低分分，則剩下的4個(gè)分?jǐn)?shù)滿足（）A.平均分分，方差 B.平均分分，方差C.平均分分，方差 D.平均分分，方差【正確答案】C【分析】利用平均數(shù)和方差公式即可求解.【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)分別為，平均數(shù)為，方差為，的平均數(shù)為，方差為，則由題意可知，，所以，即，所以，所以，即，所以，所以剩下的4個(gè)分?jǐn)?shù)滿足平均分分，方差.故選：C.7.若，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由已知等式解出，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小.【詳解】，可得由已知得，，，比較和，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，故，即.同理比較和，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上.故選：A.8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，分別是底面與側(cè)面的中心，為該正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記點(diǎn)的軌跡所在的平面為，則過(guò)四點(diǎn)的球面被平面截得的圓的周長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到球心O和點(diǎn)的軌跡，求出到平面的距離，利用幾何法求截面圓的半徑和周長(zhǎng).【詳解】取面對(duì)角線中點(diǎn)，連接，，，，分別在上，且，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，，三棱錐中，為直角三角形，所以，因此點(diǎn)即為三棱錐的外接球球心，球半徑長(zhǎng)為，，，，，，共面，，，，，平面，，平面，平面，點(diǎn)的軌跡為矩形的四邊，如圖所示，，為平面的法向量，則球心到平面的距離為，球面被平面截得的圓的半徑，圓的周長(zhǎng)為.故選：B本題找球心O考查學(xué)生的空間想象能力，其余的計(jì)算和證明問(wèn)題，則利用空間向量法.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、作差比較法逐一判斷即可.【詳解】A：由，因此本選項(xiàng)不正確；B：由，因此本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)椋?，因此本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)椋?，因此本選項(xiàng)正確，故選：BCD10.在正四棱臺(tái)中，分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.與是異面直線B.與平面所成的角為C.正四棱臺(tái)的體積為D.正四棱臺(tái)的表面積為【正確答案】BC【分析】對(duì)于A：根據(jù)已知結(jié)合棱臺(tái)的性質(zhì)得出與交于一點(diǎn)，即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)已知設(shè)在平面中的投影為，則平面，且，即與平面所成的角為，即可計(jì)算得出，即可得出答案來(lái)判斷；對(duì)于C：根據(jù)正四棱臺(tái)的體積求法得出即可判斷；對(duì)于D:根據(jù)正四棱臺(tái)的表面積求法得出即可判斷；【詳解】對(duì)于A：為正四棱臺(tái)，四條側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)，記為，分別是棱中點(diǎn)，也過(guò)點(diǎn)，，與屬于同一平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：為正四棱臺(tái)，點(diǎn)在平面上的射影一定在上，記為，則平面，且，與平面所成的角為，，，，，，，故B正確；對(duì)于C：根據(jù)選項(xiàng)B中可得，即正四棱臺(tái)的高，設(shè)分別為正四棱臺(tái)上、下底面積，，故C正確；對(duì)于D：正四棱臺(tái)是四個(gè)全等的等腰梯形，梯形的上、下底分別為1、3，高為，則面積為，根據(jù)選項(xiàng)C可得，，則正四棱臺(tái)的表面積為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且在軸上方，點(diǎn)，，若，則（）A.拋物線的方程為B.點(diǎn)到軸的距離為8C.直線與拋物線相切D.三點(diǎn)在同一條直線上【正確答案】ACD【分析】由，先求設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，得拋物線方程，再驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，由，有，解得，所以拋物線的方程為，A選項(xiàng)正確；，點(diǎn)在拋物線上且在軸上方，到焦點(diǎn)距離為8，到準(zhǔn)線距離也為8，所以點(diǎn)到軸的距離為6，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；點(diǎn)在拋物線上且在軸上方，到軸的距離為6，有點(diǎn)橫坐標(biāo)為6，代入拋物線方程，可得，則直線的方程為，由消去得，，所以直線與拋物線相切，C選項(xiàng)正確；由，，，得，則三點(diǎn)在同一條直線上，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，若，，則（）A.是奇函數(shù) B.是周期函數(shù)C. D.【正確答案】BCD【分析】通過(guò)函數(shù)的奇偶對(duì)稱性和圖像的平移，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，得到函數(shù)的對(duì)稱性，得到周期，再由周期計(jì)算函數(shù)值驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】由知函數(shù)為偶函數(shù)，又，，則的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，有，即，設(shè)，則，（c為常數(shù)），，，所以；由，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，有，可知為奇函數(shù)，函數(shù)仍然是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，有；函數(shù)滿足以上函數(shù)的性質(zhì)，但不是奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；和，得，令，則有，所以函數(shù)為周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確；為的一個(gè)周期，則，所以，，所以，D選項(xiàng)正確；由周期為4知也是的一個(gè)周期，所以，即，即，C選項(xiàng)正確.故選：BCD.此題通過(guò)函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，尋找函數(shù)圖像的對(duì)稱中心是解題關(guān)鍵，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的聯(lián)系，奇偶性的聯(lián)系，都是解題的思路.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）.【正確答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理求所需項(xiàng)的系數(shù)即可得出.【詳解】的展開(kāi)式中的系數(shù)，是的展開(kāi)式中的系數(shù)與的展開(kāi)式中的系數(shù)之積，即故答案：14.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān).”則此人在第五天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出第1天行走的路程，即可計(jì)算作答.【詳解】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，而，因此，解得，所以此人在第五天行走的路程（里）.故1215.若函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性利用轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】，由函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為直線和函數(shù)在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值從增加到；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從減少到；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值從增加到，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，所以函數(shù)在上的函數(shù)圖象如下圖所示：因此要想直線和函數(shù)在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，只需，故16.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn).設(shè)，則當(dāng)取最小值時(shí)，的離心率為_(kāi)_________.【正確答案】##【分析】設(shè)，則，設(shè)，聯(lián)立與的方程根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合條件可得，進(jìn)而得出，然后根據(jù)基本不等式得出取最小值時(shí)的值，即可根據(jù)橢圓離心率的計(jì)算得出答案.【詳解】設(shè)，則所以，故可設(shè)，則點(diǎn)坐標(biāo)滿足，消去整理得，故，設(shè)，同理可得，得，所以，又，故，而，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，離心率為.故答案為.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且對(duì)于任意，都有.（1）求實(shí)數(shù)及；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）令中的，得出，根據(jù)已知即可得出，則，當(dāng)時(shí)，，兩式相減根據(jù)數(shù)列和與通項(xiàng)的關(guān)系得出，注意驗(yàn)證符不符合求出的式子；（2）根據(jù)小問(wèn)一與等比數(shù)列求和公式得出，即可根據(jù)分組求和法得出答案.【小問(wèn)1詳解】在中令，得，即，又，則，所以，當(dāng)時(shí)，，得，即，又，故；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，故?18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知三角形，角的平分線交邊于點(diǎn).（1）證明：；（2）若，求的周長(zhǎng).【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由結(jié)合三角形面積公式和余弦定理，解得，再根據(jù)角平分線和面積公式由得，化簡(jiǎn)既可；（2）由內(nèi)角平分線定理結(jié)合（1）中的結(jié)論，求出，再由余弦定理求，可得三角形周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由可知，，所以，又，故，如圖所示，所以，得，化簡(jiǎn)整理得；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，又，化?jiǎn)得，解得，又，故，所以的周長(zhǎng)為.19.為積極響應(yīng)“反詐”宣傳教育活動(dòng)的要求，某企業(yè)特舉辦了一次“反詐”知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定：滿分為100分，60分及以上為合格.該企業(yè)從甲?乙兩個(gè)車間中各抽取了100位職工的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本.對(duì)甲車間100位職工的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到了如圖所示的成績(jī)頻率分布直方圖.

（1）估算甲車間職工此次“反詐”知識(shí)競(jìng)賽的合格率；（2）若將頻率視為概率，以樣本估計(jì)總體.從甲車間職工中，采用有放回的隨機(jī)抽樣方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記被抽取的3人次中成績(jī)合格的人數(shù)為.求隨機(jī)變量的分布列；（3）若乙車間參加此次知識(shí)競(jìng)賽的合格率為，請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為此次職工“反計(jì)”知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)與其所在車間有關(guān)?2×2列聯(lián)表甲車間乙車間合計(jì)合格人數(shù)不合格人數(shù)合計(jì)附參考公式：①，其中.②獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表【正確答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析（3）表格見(jiàn)解析，有【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列的解題步驟，可得答案；（3）由題意，補(bǔ)全列聯(lián)表，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題步驟，可得答案.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可求得甲車間此次參加“反詐”知識(shí)競(jìng)賽的合格率，即.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，由于每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，故，所以，故隨機(jī)變量的分布列為0123【小問(wèn)3詳解】根據(jù)題中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可填寫列聯(lián)表如下，甲車間乙車間合計(jì)合格人數(shù)8060140不合格人數(shù)204060合計(jì)100100200所以有的把握認(rèn)為“此次職工‘反計(jì)’知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)與職工所在車間有關(guān)系”.20.如圖，在三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且平面，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可證得，再利用面面垂直的性質(zhì)的定理可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出點(diǎn)為的中點(diǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、所在直線分別為、軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線作軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：由得，，，，由余弦定理可得，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，故，而是的中點(diǎn)，故為中位線，得，又，故中點(diǎn)，由（1）可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、所在直線分別為、軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線作軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，，，所以，，解得，則，解得，故點(diǎn)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，所以，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.21.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，左?右頂點(diǎn)分別是，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，動(dòng)直線與以為直徑的圓相切，且與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程；（2）記直線的斜率分別為，求的最小值.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上，以及焦點(diǎn)到漸近線的距離得出雙曲線C的方程；（2）由直線與圓的位置關(guān)系得出，聯(lián)立直線和雙