高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第十二章-§12-3-離散型隨機變量及其分布列、均值與方差

第十二章概率、隨機變量及其分布§12.3

離散型隨機變

量及其分布列、

均值與方差考試要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認識分布列刻畫隨機現(xiàn)象的重要

性，會求某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列.2.了解超幾何分布，并能進行簡單應(yīng)用.3.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念.會求簡單離散型隨機變量的均值、

方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.離散型隨機變量的分布列(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量.所有取值可以________的隨機變量稱為離散型隨機變量.(2)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表一一列出Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的__________.概率之和2.兩點分布如果隨機變量X的分布列為其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從_________.其中p＝P(X＝1)，稱為成功概率.X01P1－pp兩點分布3.超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱隨機變量X服從超幾何分布.其分布列為X01…mP…4.離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝____________________________為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機變量取值的__________.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平(2)方差稱D(X)＝______________為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，并稱其算術(shù)平方根_______為隨機變量X的標(biāo)準差.5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝_________.(2)D(aX＋b)＝_______.(a，b為常數(shù))aE(X)＋ba2D(X)1.E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù).2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).3.D(X)＝E(X2)－(E(X))2.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(

)(2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點分布.(

)(4)方差或標(biāo)準差越小，則隨機變量的偏離程度越小.(

)X25P0.30.7×√×√1.甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示A.甲贏三局B.甲贏一局輸兩局C.甲、乙平局二次D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次√因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故{ξ＝3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.2.已知X的分布列為設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A. B.4 C.－1 D.1√3.若離散型隨機變量X的分布列為則X的方差D(X)＝___.∴X的分布列為探究核心題型第二部分例1

(1)若隨機變量X的分布列為則當(dāng)P(X<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)

題型一分布列的性質(zhì)由隨機變量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故當(dāng)P(X<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1,2].X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1√(2)(2022·銀川模擬)若隨機變量X的分布列為則P(|X|＝1)等于由隨機變量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)X－101Pac√離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X－101P2－3qq2√由已知得隨機變量X的分布列為∴隨機變量X的分布列為題型二離散型隨機變量的均值、方差例2

(1)已知隨機變量X的分布列為下列選項不正確的是X－101P

m3m√(2)(2023·成都模擬)甲、乙、丙三人參加2022年冬奧會北京、延慶、張家口三個賽區(qū)的志愿服務(wù)活動，若每人只能選擇一個賽區(qū)，且選擇其中任何一個賽區(qū)是等可能的.記X為三人選中的賽區(qū)個數(shù)，Y為三人沒有選中的賽區(qū)個數(shù)，則下列命題中正確的是①E(X)＝E(Y)；

②E(X)≠E(Y)；③D(X)＝D(Y)；

④D(X)≠D(Y).A.①③

B.②④C.①④

D.②③√由題意得，隨機變量X的所有可能取值為1,2,3，隨機變量Y的所有可能取值為0,1,2，故E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y).求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每個值的概率.(3)寫出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ).思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2022·懷化模擬)已知ξ的分布列如表所示.其中，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此計算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤

，正確的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3√ξ012P？?。吭O(shè)“？”＝a，“！”＝b，則a，b∈[0,1]，2a＋b＝1.①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正確；②D(ξ)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正確；(2)學(xué)習(xí)強國新開通一項“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是比賽兩局，首局勝利積3分，第二局勝利積2分，失敗均積1分，某人每局比賽勝利的概率為

，設(shè)他參加一次答題活動得分為ξ，則D(ξ)＝___.由題意知，ξ的所有可能取值為5,4,3,2，超幾何分布例3

2022年12月4日，神舟十四號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員順利出艙，神舟十四號載人飛行任務(wù)圓滿完成.為紀念中國航天事業(yè)成就，發(fā)揚并傳承中國航天精神，某校高一年級組織2000名學(xué)生進行了航天知識競賽(滿分：100分)并進行記錄，根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.題型三(1)用頻率估計概率，從該校隨機抽取2名同學(xué)，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；每名學(xué)生得分低于70分的概率為1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率為0.02×10＝0.2.(2)從得分在[60,90]的學(xué)生中利用分層抽樣的方法選出8名學(xué)生，若從中選出3人參加有關(guān)航天知識演講活動，求選出的3人中競賽得分不低于70分的人數(shù)X的分布列及均值.由頻率分布直方圖可得，8人中分數(shù)在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值為1,2,3，故X的分布列為(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的分布列.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價矛盾，保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，某省推出了省內(nèi)居民階梯電價的計算標(biāo)準：以一個年度為計費周期，月度滾動使用.第一階梯：年用電量在2160度以下(含2160度)，執(zhí)行第一檔電價0.5653元/度；第二階梯：年用電量在2161度到4200度內(nèi)(含4200度)，超出2160度的電量執(zhí)行第二檔電價0.6153元/度；第三階梯：年用電量在4200度以上，超出4200度的電量執(zhí)行第三檔電價0.8653元/度.用戶編號12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600某市的電力部門從本市的用戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下：(1)計算表中編號為10的用戶該年應(yīng)交的電費；因為第二檔電價比第一檔電價每度多0.05元，第三檔電價比第一檔電價每度多0.3元，編號為10的用戶一年的用電量是4600度，所以該戶該年應(yīng)交電費4600×0.5653＋(4200－2160)×0.05＋(4600－4200)×0.3＝2822.38(元).(2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進行進一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列.用戶編號12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600設(shè)取到第二階梯的戶數(shù)為X，易知第二階梯有4戶，則X的所有可能取值為0,1,2,3,4.故X的分布列為課時精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則X的均值E(X)等于A.0.3 B.0.8 C.1.2 D.1.3√1234567891011121314依分布列的性質(zhì)可得0.2＋a＋0.5＝1，解得a＝0.3，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3.X012P0.2a0.52.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品，檢驗員從中隨機抽取2件進行檢測，記取到的正品數(shù)為ξ，則均值E(ξ)為1234567891011121314ξ的所有可能取值為0,1,2，√1234567891011121314√1234567891011121314設(shè)P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，12345678910111213144.某次國際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負一局得0分，某參賽隊員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負的概率為c(a，b，c∈[0,1))，已知他比賽一局得分的均值為1，則ab的最大值為√1234567891011121314由題意得，比賽一局得分的均值為3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1，5.(2023·包頭模擬)某聽眾打電話參加廣播臺猜商品名稱節(jié)目，能否猜對每件商品的名稱相互獨立，該聽眾猜對三件商品D，E，F(xiàn)的名稱的概率及猜對時獲得的獎金如表所示：規(guī)則如下：只有猜對當(dāng)前商品名稱才有資格猜下一件商品，你認為哪個答題順序獲得的獎金的均值最大A.FDE

B.FED C.DEF D.EDF√1234567891011121314商品DEF猜對的概率0.80.50.3獲得的獎金/元1002003001234567891011121314按照FDE的順序獲得的獎金的均值為300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138(元)；按照FED的順序獲得的獎金的均值為300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132(元)；按照DEF的順序獲得的獎金的均值為100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝196(元)；按照EDF的順序獲得的獎金的均值為200×0.5×0.2＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝176(元)，綜上所述，按照DEF的順序獲得的獎金的均值最大.12345678910111213146.設(shè)0<m<1，隨機變量ξ的分布列為當(dāng)m在(0,1)上增大時，下列命題中正確的是①E(ξ)減小；

②E(ξ)增大；A.①③

B.①④C.②③

D.②④√1234567891011121314所以當(dāng)m在(0,1)上增大時，E(ξ)增大，故①錯誤，②正確；1234567891011121314所以當(dāng)m在(0,1)上增大時，D(ξ)先減小后增大，12345678910111213147.已知離散型隨機變量ξ的分布列如表所示.ξ－202Pab若隨機變量ξ的均值E(ξ)＝

，則D(2ξ＋1)＝___.111234567891011121314所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11.ξ－202Pab12345678910111213148.某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，規(guī)定至少答對2道題才算合格.則合格的概率為____.1234567891011121314設(shè)此人答對題目的個數(shù)為ξ，則ξ的所有可能取值為0,1,2,3，9.某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；1234567891011121314當(dāng)日需求量n≥16時，利潤y＝80；當(dāng)日需求量n<16時，利潤y＝10n－80.(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：1234567891011121314日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、均值及方差.1234567891011121314X的所有可能取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.則X的分布列為X607080P0.10.20.7故E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.123456789101112131410.為普及空間站相關(guān)知識，某部門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率均為

，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；12345678910111213141234567891011121314(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和均值，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.1234567891011121314由題意知，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3，故X的分布列為12345678910111213141234567891011121314給出下列命題：①P(X＝2)的值最大；

②P(X＝0)<P(X＝1)；③E(X)隨著p的增大而減小；

④E(X)隨著p的增大而增大.其中正確的是A.①② B.①③ C.②③ D.②④√綜合提升練X012Pp－p21－pp21234567891011121314即P(X＝0)<P(X＝1)，②正確；12.冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一.冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端(投擲線MN的左側(cè))有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心O的遠近決定勝負，甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的中心落在圓O中得3分，冰壺的中心落在圓環(huán)A中得2分，冰壺的中心落在圓環(huán)B中得1分，其余情況均得0分.已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為

甲、乙得2分的概率分別為

甲、乙得1分的概率1234567891011121314分別為

甲、乙所得分數(shù)相同的概率為___；若甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X，則X的均值為___.12345678910111213141234567891011121314因為甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X，則X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6，12345678910111213141234567891011121314123456789101112131413.為排查某種病毒，現(xiàn)有兩種檢測方式：(1)逐份檢測；(2)混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為(k＋1)次.假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨立的，拓展沖刺練12