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文檔簡介

二、幾個初等函數的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應用應用目的－用多項式近似表示函數.理論分析近似計算泰勒公式

第三章特點:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x

的一次多項式1.求

n

次近似多項式要求:故令則公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項

.泰勒(Taylor)中值定理:階的導數,時,有①其中②則當公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)

余項

.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④*

可以證明:④式成立特例:(1)當n=0

時,泰勒公式變?yōu)?2)當n=1

時,泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差稱為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個初等函數的麥克勞林公式其中麥克勞林公式其中麥克勞林公式麥克勞林公式類似可得其中其中麥克勞林公式已知其中因此可得麥克勞林公式三、泰勒公式的應用1.在近似計算中的應用誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數n;2)已知項數

n

和x,計算近似值并估計誤差;3)已知項數

n和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.例1.

計算無理數e的近似值,使誤差不超過解:已知令x=1,得由于欲使由計算可知當n=9

時上式成立,因此的麥克勞林公式為說明:注意舍入誤差對計算結果的影響.本例若每項四舍五入到小數點后6位,則各項舍入誤差之和不超過總誤差限為這時得到的近似值不能保證誤差不超過因此計算時中間結果應比精度要求多取一位.例2.

用近似公式計算cosx

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當時,由給定的近似公式計算的結果能準確到0.005.2.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必達法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項,3.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:+內容小結1.泰勒公式其中余項當時為麥克勞林公式.2.常用函數的麥克勞林公式

(P142~P144)3.泰勒公式的應用(1)近似計算(3)其他應用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數泰勒多項式逼近6422464224O泰勒多項式逼近642246O4224思考與練習

計算解:原式作業(yè)P1452;7;9(2);10(3)

泰勒

(1685–1731)英國數學家,他早期是牛頓學派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林(1698–1746)英國數學家,著作有:《流數論》(1742)《有機幾何

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