第二節(jié)-定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用電子教案

第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一.平面圖形的面積1直角坐標情形xyy=f(x)A1A2A3bdA2ac(1)當f(x)>0時,以f(x)為曲邊的曲邊梯形面積(2)結(jié)合考慮f(x)<0的情形,則有(3)若在區(qū)間[a,b]上,f(x)變號,我們`有(5)對于任意曲線所圍成的圖形,可用直線將它們分割幾個部分,再用上述的方法計算.例1拋物線y2=2x將圓y2=4x-x2分割成三部分,求每一部分的面積。xydxA1A2A3y2=2xxyA2A3y2=2x2-2dyA1解法2例2計算拋物線y+1=x2,與直線y=x+1所圍區(qū)域的面積.xyy1=x2-1y2=1+x23-1分析:先求兩條線段的交點.x+1=x2-1x2-x-2=0→(x-2)(x+1)=0.x1=2,y1=3.x2=-1,y2=0.(2)劃分微元的方法有兩個.一是垂直的小條.上端為y2=1+x,下端為y1=x2-1.典型的垂直小條的面積為dA=(y2-y1)dxxyy1=x2-1y2=1+x23-1劃分的第二種方法是橫向條.分成兩部分處理.

1是y從-1到0,

2是y從0到3.

對于由兩曲線圍成的平面圖形,求其面積的主要步驟是作草圖,求出兩曲線的交點,選擇積分變量并選用相應(yīng)的積分公式,確定積分上下限并計算積分.為了減少計算量,應(yīng)該盡量利用對稱性和積分的幾何意義.例如本例中的A1=A2,如果平面曲線由參數(shù)方程表示例2求橢圓的面積,橢圓方程為：0xx+dxxdA1分析:將橢圓方程寫成參數(shù)式則可證明以(3)為曲邊梯形的面積參數(shù)式情形3.極坐標情形r(θ)r=r(θ)θdθ首先，用元素法推出由曲線及射線r=r(θ);θ=α,θ=β圍成的曲邊扇形面積的計算公式,其中r(θ)在[a,b]上連續(xù),且r(θ)>0,在小區(qū)間[θ,θ+dθ]上的窄圓扇形的面積為例3計算心形線r=a(1+cosθ)(a>0)所圍成圖形的面積r2axyθ二.體積側(cè)面積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。xyy=f(x)xx+dxyOxhrx+dxy例5連接坐標原點O及點P(h,r)的直線x=h及x軸圍成一個直角三角形把它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成一個底半徑為r,高為h的圓錐體,計算這圓錐體的體積.解:過原點O及點P(h,r)的直線方程為

y=rx/h.取橫坐標x為積分變量,它的變化區(qū)間為[0,h].圓錐體中任一小區(qū)間[x,x+dx]的薄片的體積近似于底半徑為rx/h,高為dx的扁圓柱體的體積.dv=π[rx/h]2dx于是所求圓錐體的體積為：2.平行截面面積為已知的立體的體積從計算旋轉(zhuǎn)體體積的過程中可看出:如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體,但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面的面積,那么,這立體的體積也可用定積分來計算.xabx+dxabx+dxx取上述定軸為x軸,設(shè)該立體在過點x=a,x=b且垂直于x軸的兩個平面之間.以A(x)表示過點x且垂直于x軸的截面面積,假定A(x)為x的已知的連續(xù)函數(shù),取x為積分變量,它的變化區(qū)間為[a,b];立體中相應(yīng)于[a,b]上任一小區(qū)間[x,x+dx]的一薄片的體積,近似于底面積為A(x),高為dx的扁柱體的體積,即dV=A(x)dx.則立體的體積為例4求橢圓柱面xyzo分析:立體顯然關(guān)于xoz平面是對稱的其y≥0部分如圖示.考慮垂直y軸的截面,則截面是一直角三角形.其兩條直角邊分別是和所以其面積為所圍成的立體的體積與平面yzo如果用垂直于x軸的截面得到一其面積矩形,邊長分別為z=cx/a,yx2+y2=R2-RRxαα例5一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角α.計算這平面截圓柱體所得立體的體積.解:底圓的方程為x2+y2=R2,立體中過x軸上的點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形它的兩條直角邊分別是y及ytanα;xy它的截面積為A(x)=(R2-x2)tgα/2于是它的體積是3旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxx+dxyyy=f(x)設(shè)平面光滑曲線y=f(x)(a<x<b)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體,其體積為若上述光滑曲線由參數(shù)式給出,則解(1)過x軸上的點g且垂直x軸的平面截橢球面,得到一橢圓:(2)求橢圓弧繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)橢球體的體積V和側(cè)面積S.例6求體積或面積(1)求橢球的體積三平面曲線的弧長1平面曲線的弧長的概念一根弧的長度可以看成由很多長度極限為0小的直線所組成.2直角坐標情形1平面曲線的弧長的概念一根弧的長度可以看成由很多長度極限為0小的直線所組成.2直角坐標情形dydxdLdydxdL三平面曲線的弧長3參數(shù)情形若曲線由參數(shù)方程給出4