中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專(zhuān)題23 梯子模型 （原卷版）

專(zhuān)題23梯子模型模型的概述：如下圖，一根長(zhǎng)度一定的梯子斜靠在豎直墻面上，當(dāng)梯子底端滑動(dòng)時(shí)，探究梯子上某點(diǎn)（如中點(diǎn)）或梯子構(gòu)成圖形上的點(diǎn)的軌跡模型（圖2），就是所謂的梯子模型。圖1圖2【考查方向】已知一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，求線段最值問(wèn)題。模型一：如圖所示，線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，∠ACB=∠AOC=90°，AC的中點(diǎn)為P，連接OP、BP、OB，則當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)線段OB最大值。思路：∵OP+BP≥OB（三點(diǎn)共線時(shí)，取相等）∴OB≤OP+BP∴當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)線段OB取最大值OB=OP+BP=12AC+BC2+PC2即已知Rt?ACB中AC、BC的長(zhǎng)，就可求出梯子模型中OB的最值。模型二：如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點(diǎn)A在邊OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨之在ON上運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點(diǎn)為P，連接OP、PD、OD，則當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)線段OD取最大值。思路：∵OP+PD≥OD（三點(diǎn)共線時(shí)，取相等）∴OD≤OP+PD∴當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)線段OD取最大值OD=OP+DP=12AB+AP2+AD2即已知矩形ABCD中AB、AD的長(zhǎng)，就可求出梯子模型中OD的最值?！九鄡?yōu)過(guò)關(guān)練】1．如圖，，矩形在的內(nèi)部，頂點(diǎn)，分別在射線，上，，，則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離是（

）A． B． C． D．2．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)進(jìn)行捕捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，長(zhǎng)度始終保持不變，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為6和4，在此滑動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離的最小值為（

）A． B． C． D．3．如圖所示，一架長(zhǎng)5m的梯子（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，這時(shí)梯子的頂端A距地面4m．梯子的正中間P點(diǎn)處有一只老鼠，梯子頂端A的正下方墻角O處有一只貓．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．梯子的底端B到墻的距離為3mB．P處的老鼠離地面的距離為2mC．梯子頂端沿墻下滑的長(zhǎng)度和梯子底端沿地面向右滑行的距離不一定相等D．梯子下滑的時(shí)候老鼠就會(huì)離貓?jiān)絹?lái)越近4．如圖，有互相垂直的兩面墻，，梯子，兩端點(diǎn)A，B分別在兩面墻上滑動(dòng)（長(zhǎng)度不變），P為的中點(diǎn)，柱子，底端C到墻角O的距離為6m．在此滑動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)P的距離的最小值為_(kāi)______m．5．已知AB=10的梯子斜靠在墻上，AC⊥BC，∠BAC=30°，當(dāng)梯子下滑到A′B′時(shí)，∠CA′B′=60°，記梯子的中點(diǎn)為M，則下滑的過(guò)程中，中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是__________．6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值是多少cm．7．我們知道，圓可以看成到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．我們又知道了在平面內(nèi)點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系．如圖1，點(diǎn)P在⊙O外，點(diǎn)A是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PO交⊙O于點(diǎn)B，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，線段PA長(zhǎng)最短．（1）利用圖1，說(shuō)明PA>PB；（2）如圖2，一架10米長(zhǎng)的梯子沿墻壁下滑，一只距離墻壁12米，距離地面5米的小鳥(niǎo)看到梯子的中點(diǎn)位置有食物，小鳥(niǎo)想用最短時(shí)間吃到食物，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出小鳥(niǎo)飛行的路徑，并計(jì)算出小鳥(niǎo)飛行的距離；（3）如圖3，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出PA+PG的最小值．8．如圖（1）所示，一架長(zhǎng)米的梯子斜靠在與地面垂直的墻壁上，梯子與地面所成的角為度.（1）求圖（1）中的與的長(zhǎng)度;（2）若梯子頂端沿下滑，