《機械基礎(chǔ)》課件第2章 構(gòu)件的外力和平衡計算

2.1基本概念2.2基本理論及定理2.3構(gòu)件的受力圖2.4構(gòu)件的平衡計算2.5摩擦及考慮摩擦時的平衡問題習題2第2章構(gòu)件的外力和平衡計算2.1基本概念

構(gòu)件指機器、機械和工程結(jié)構(gòu)的基本單元，如起重機（如圖2-1所示）的橫梁AB、拉桿BC等。它們在工作中都會受到力的作用。構(gòu)件為剛體，受力后不產(chǎn)生變形。圖2-1起重機

外力指作用在構(gòu)件上的各種形式的載荷，包括重力、推力、拉力、轉(zhuǎn)動力矩等。外力對構(gòu)件的外效應(yīng)是構(gòu)件的位置或運動狀態(tài)的變化，內(nèi)效應(yīng)是構(gòu)件形狀、大小的變化。平衡指構(gòu)件處于靜止或勻速直線運動狀態(tài)。力的作用線指在紙面上表示力的大小和方向（用箭頭表示）的直線，作用線的長短由力的大小按比例畫出，如圖2-2所示。圖2-2力的作用線圖2-3力矩示例

力系指作用于構(gòu)件上的一群力。力矩是表示力使構(gòu)件繞某點轉(zhuǎn)動作用大小的力學量，等于力乘以力到該點的垂直距離，符號為mO(F)，單位為N·m。并規(guī)定力繞該點逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負(如圖2-3所示)。mO(F)=±Fh，其中，O稱為矩心，

h稱為力臂。在實際計算中矩心可以任選。力偶指在同一物體上兩個數(shù)值相等、作用線互相平行而指向相反的力，符號為m或m(F，F(xiàn)′)，如圖3-4所示。汽車駕駛員兩只手作用于方向盤上時即可看作力偶的作用，如圖2-5所示。力偶只能使構(gòu)件產(chǎn)生轉(zhuǎn)動作用。圖2-4力偶圖2-5方向盤的力偶

兩共點力的合成：已知平面上有力的作用線相交的兩個力，它們的合力（以R表示）是以該兩力為相鄰邊完成的平行四邊形的對角線，合力的起點就是兩力交點，終點是對面的頂點，如圖2-6(a)中的AC。由此可得多個共點力合成，即連續(xù)作力的平行四邊形，最后確定的對角線就是該多個共點力的合力，如圖2-6(b)中的R。每個力就稱為該合力的分力。2.2基本理論及定理圖2-6共點力的合力

合力投影定理

合力在任一坐標軸上的投影等于各分力在同一坐標軸上投影的代數(shù)和，表示為

Rx=∑Fx

同理可得合力與各分力在Y軸上的投影關(guān)系

Ry=∑Fy

在直角坐標系中，式中，α為合力R與x軸所夾銳角。

圖2-7力的投影圖2-8直角坐標系中力的投影

二力平衡定理

構(gòu)件受等值、反向、共線的兩個力作用時，必處于平衡狀態(tài)。此定理的逆定理也成立，如圖2-9所示。符合此條件的構(gòu)件稱為二力構(gòu)件或二力桿。此兩力的合力為零。圖2-9二力桿

作用與反作用定律

兩構(gòu)件相互作用時，它們之間的作用與反作用力必然等值，反向，共線，但分別作用于兩個構(gòu)件上，如圖2-10所示。

合力矩定理

構(gòu)件上的一組力（稱為力系）對平面上一點的力矩的代數(shù)和等于該組力的合力對該點的力矩。即

mO(F1)+mO(F2)+…+mO(Fn)=∑mO(Fi)=mO(R)

如圖2-11所示。

圖2-10作用力與反作用力示例圖2-11合力矩

如合力矩為零，則該組力對構(gòu)件無轉(zhuǎn)動作用，亦即力矩平衡。

構(gòu)件的平衡條件

作用于同一構(gòu)件上的所有外力對兩直角坐標軸投影的代數(shù)和分別為零，同時各力對同一點的力矩的代數(shù)和也為零，即∑mO(F)=0∑Fx=0，∑Fy=0

此時構(gòu)件在外力作用下，既無移動效應(yīng)，也無轉(zhuǎn)動效應(yīng)，即處于平衡狀態(tài)。2.3構(gòu)件的受力圖2.3.1約束及約束反作用力作用于構(gòu)件上的力，可分為主動力和約束反作用力兩類。主動力一般為已知力，它包括構(gòu)件受的重力、載荷等。約束，是指對選定的構(gòu)件（稱為研究對象）的運動進行限制的周圍物體，它在工程中有各種各樣的形式。約束反作用力就是研究對象所受的與它相關(guān)聯(lián)的構(gòu)件的作用力。約束反作用力又稱為約束反力、約束力和反力，一般為未知力。對工程中的約束進行分析歸納以后，可抽象成以下四種形式。1.光滑面約束約束反力N的作用線過兩構(gòu)件的接觸點，沿接觸面的法線方向指向被研究構(gòu)件，見圖2-12。圖2-12光滑面約束2.柔性約束約束反力T的作用線過約束與構(gòu)件的接觸點，沿約束背離構(gòu)件，見圖2-13。圖2-13柔性約束3.鉸鏈約束兩個帶孔的構(gòu)件由銷釘連接，可以有相對轉(zhuǎn)動。連接處可以看成光滑面接觸。由于接觸處不確定，約束反力可以假設(shè)成兩個正交的力，它們的作用點在銷釘中心，兩力的方向分別為x軸和y軸的正向（見圖2-14）。此類約束常稱為固定鉸鏈約束。圖2-14固定鉸鏈約束

當兩構(gòu)件中的一個被滾動體支承時，約束反力便只有一個，它的作用線垂直于支承面并通過銷釘?shù)闹行模ㄒ妶D2-15）。此類約束又稱為活動鉸鏈約束。圖2-15活動鉸鏈約束4.固定端約束固定端約束的特點是構(gòu)件對于約束既不能移動也不能轉(zhuǎn)動，即相當于構(gòu)件受到兩正交的反作用力和一個反作用力偶的作用，見圖2-16。這兩個反力的作用點即是構(gòu)件與約束的接觸點，其方向假設(shè)成x軸和y軸的正向NAx、NAy；而約束反力偶mA則假定為逆時針方向（見圖2-16（c））。此類約束又稱為插入端約束。圖2-16固定端約束2.3.2受力圖在工程結(jié)構(gòu)中，選定要進行計算的構(gòu)件（即研究對象），把它從與它相接觸的構(gòu)件中分離出來，畫出其簡圖，在其相應(yīng)的位置加上原來所受的主動力及約束反作用力，此圖便稱為構(gòu)件的受力圖。

畫受力圖時應(yīng)注意的事項是：①畫出研究對象的輪廓；②研究對象在工程結(jié)構(gòu)中所受的約束的類型，以確定各接觸處反力的個數(shù)和方向；③反力的方向不能確定時可假設(shè)方向（通過后面所講的平衡計算可以確定反力的實際方向）；④主動力和約束反力不能多畫也不能漏畫。

【例2-1】

一小球重量為G，用繩BC連接在墻上，小球靠在光滑的墻面上（見圖3-17（a））。畫小球受力圖。

解

以小球為研究對象。球受的重力G向下，使球有向下運動的趨勢，這個力稱為主動力。分析球所受的約束：繩BC為柔性約束，墻面對球為光滑面約束。取球為分離體，在球的B點畫出繩對球的反力TBC，它沿繩背離球心O；在A點出墻面對球的反力NA。此三力交于球心O，見圖2-17（b）。圖2-17例2-1圖

【例2-2】

水平梁AB在C處受到F力的作用（見圖2-18（a））。A處為固定餃鏈支座，B處為活動鉸鏈支座。畫梁AB的受力圖。

解

以梁AB為研究對象。分析梁的受力情況：受主動力F的作用，梁有向左下運動的趨勢；A處為固定鉸鏈支座，可假設(shè)有兩個垂直相交的反力NAx、NAy；

B處為活動鉸鏈支座，有一個反力NB，垂直于支承面向上（見圖2-18（b））。梁AB的受力圖見圖2-18（c）。圖2-18例3-2圖【例2-3】圖2-19（a）所示的三角支架中，A、C處為固定鉸鏈，B為銷釘，其上掛有重量為G的物體。畫銷釘B的受力圖。

解先分析圖中的桿AB和BC。桿AB在A、B兩處受鉸鏈約束，可假設(shè)在A、B處均有兩個反力NAx、NAy和NBx、NBy（見圖2－19（b）），但桿AB處于平衡狀態(tài)，即A、B兩點的反力應(yīng)該數(shù)值相等、方向相反、處在同一條直線即桿的軸線上。由此分析桿AB是二力桿（見圖2－19(c)）。同樣，桿BC也是二力桿（見圖2－19（d））?？疾熹N釘B，其上掛有重物，再根據(jù)約束反力的方向應(yīng)與物體運動趨勢相反的規(guī)律，畫出銷釘B的受力圖（見圖2－19（e））。

圖2-19例2-3圖

【例2-4】

三鉸拱橋由左右拱橋組成，如圖2-20（a）所示。設(shè)各半拱重量不計。在半拱AC上作用有載荷F，畫出半拱AC、BC的受力圖。

解整體觀察拱橋，兩半拱AC、BC由鉸鏈C連接，支座A、B為外部約束。先以右半拱BC為研究對象。半拱BC僅在B、C兩處受到鉸鏈的約束反力，因此，半拱BC為二力構(gòu)件，反力方向可以假設(shè)，畫出其內(nèi)力圖（見圖2－20（b））。再以左半拱AC為研究對象，畫出其輪廓及主動力F。C處有右半拱的反作用力NBC″，它與NBC′等值、反向、共線；A處則按約束性質(zhì)可畫出兩正交反力NAx、NAy（圖2－20(c)）。進一步分析，此時左半拱AC在NBC″、F及支座A的反力的共同作用下處于平衡狀態(tài)，故三力應(yīng)相交于一點。由F和NBC″的作用線可確定交點D，故支座A的反力（即NAx與NAy的合力）的作用線必過D點。連A、D，即為A處反力的作用線。由左半拱在F力的作用下的運動趨勢，可畫出反力NA的方向，如圖2－20（d）所示。圖2－20例2－4圖【例2-5】

圖2-21(a)為壓榨機簡圖。它由杠桿ABC、連桿CD和滑塊D組成。不計各構(gòu)件的自重和摩擦，試畫出各構(gòu)件的受力圖。

解分析壓榨機的工作原理：當杠桿的手柄A處受力F[WTBX]作用時，杠桿可繞B點轉(zhuǎn)動，推動連桿CD壓緊工件E。該機構(gòu)受主動力F作用。B處為鉸鏈支座；C、D均為銷釘，故連桿CD為二力構(gòu)件；滑塊D與滑槽、工件之間均為光滑接觸。以杠桿ABC為研究對象，解除桿CD及支座B對它的約束，畫上主動力F、約束反力NBx、NBy及桿CD的反力NCD″，如圖2－21(b)所示。連桿CD為二力桿，其受力情況如圖2－21(c)所示。滑塊D在連桿CD的作用力、滑槽及工件的反力作用下平衡，其受力圖如圖2－21(d)所示。如以滑塊、連桿和杠桿一起作為研究對象（稱物體系統(tǒng)，簡稱物系），則受力圖如圖2－21(e)所示。圖2-21例2-5圖2.4構(gòu)件的平衡計算

在平面問題中，利用三個平衡方程可以求解三個未知數(shù)。計算構(gòu)件平衡問題的步驟大致如下。確定研究對象；對研究對象進行受力分析；畫出研究對象的受力圖；建立直角坐標系，列出兩個投影方程；任選力矩中心，建立力矩方程；對所建方程進行求解，便可求出未知力。

【例2-6】

起重機起吊一重量G=300N的減速箱蓋，圖2-22（a）所示。求鋼絲繩AB和AC所受的拉力。

解以箱蓋為研究對象，其受的力有：重力G、鋼絲繩的拉力TB和TC，此三力交于A點（見圖3-22（b））。建立坐標系A(chǔ)xy（圖3-22（c）），列投影方程：∑Fy=0，TBsin30°+TCsin60°-G=0∑Fx=0，TBcos30°-TCcos60°=0

得

TB=150N

TC=260N圖2-22例2-6圖

【例2-7】

簡易起重裝置如圖2-23(a)所示。構(gòu)件重量G=10kN，用鋼絲繩掛在滑輪B上，鋼絲繩的另一端繞在絞車D上。桿AB和BC鉸接，并以鉸鏈A與墻連接。兩桿和滑輪的自重不計，并忽略摩擦力和滑輪的大小，求平衡時桿AB和BC所受的力。

解（1）桿AB和BC都是二力桿。假設(shè)桿AB受拉力，桿BC受壓力，如圖2－23（b）所示。（2）取滑輪B為研究對象?；喪艿綐?gòu)件的拉力G、鋼絲繩的拉力T和桿AB、BC對滑輪的約束反力NAB、NBC的作用。因為滑輪的大小可以忽略，所以此四力可看做交于一點B。（3）畫滑輪受力圖，建立坐標系Bxy，如圖2－23(c)所示。圖2-23例2-7圖（4）建立平衡方程：(5）解方程得:NAB為負值，說明假設(shè)方向與實際方向相反。

【例2-8】

壓緊工件的裝置如圖2-24（a）所示。

A、B、C處均為鉸鏈，在B處有鉛垂載荷P=1000N，α=8°，各桿重量不計，忽略各接觸處的摩擦，求工件所受到的壓緊力。

解工件所受的壓緊力等于工件給壓塊C的約束反力，可通過求解桿BC上的力來解決。桿AB、BC均為二力構(gòu)件，它們的反力與力P在B處相交，B處銷釘?shù)氖芰D如圖2－24（b）所示。圖2-24例2-8圖建立如下的平衡方程：解得

再以C處的壓塊為研究對象，其受力圖如圖2－24（c）所示，有方程其中，NBC′與NBC是作用力與反作用力的關(guān)系，N2是工件給壓塊的約束反力。于是解得工件所受到的壓力與N2大小相等、方向相反?！纠?-9】一懸臂起重機如圖2-25（a）所示。橫梁AB長l=4m，自重G=2.5kN，橫梁上的電動葫蘆連同起吊物的重量Q=8kN，拉桿BC自重不計。當電動葫蘆與鉸鏈支座的距離a=3m時，求拉桿的拉力與鉸鏈支座A的約束反力。

圖2-25例2-9圖

解以橫梁AB為研究對象。桿BC為二力桿，橫梁AB受力為：桿BC對橫梁的拉力TB；梁的A端為固定鉸鏈，受到假設(shè)的兩正交約束反力NAx、NAy的作用；還受到重力G以及載荷Q的作用。畫橫梁AB的受力圖如圖2－25(b)所示。建立如下的平衡方程：(1)(2)(3)由(3)式解得將TB代入(1)式，得將TB代入(2)式，得2.5考慮摩擦時的平衡問題2.5.1靜滑動摩擦兩構(gòu)件接觸面間有相對滑動的趨勢時出現(xiàn)的摩擦，稱為靜滑動摩擦，又稱為靜摩擦。圖2-26(a)所示的實例說明了靜滑動摩擦定律。

放在桌面上的物體受水平拉力T的作用，T的大小與所加砝碼的重量相同（此時忽略滑輪的摩擦）。T有使物體向右運動的趨勢，桌面對物體的摩擦力Ff阻礙物體向右運動。當T的值小于某一值時，物體處于平衡狀態(tài)，其受力圖如圖2-26(b)所示。圖2-26靜滑動磨擦

由平衡方程∑Fx=0

得

T=Ff

當砝碼的重量逐漸增加，即表明拉力在逐漸增加，但其數(shù)值在某一確定值以下時，物體始終保持靜止；當拉力達到某一數(shù)值時，物體處在將滑動而未滑動的狀態(tài)，稱為臨界狀態(tài)。這時摩擦力達到最大值，稱為最大靜摩擦力Ffmax。

由以上實驗可知，靜摩擦力隨外力的增減而增減，但必有最大值，即

0≤Ff≤Ffmax

大量實驗證明，最大靜摩擦力的大小與物體所受的法向反力的大小成正比，其方向與物體的運動方向相反，并有以下關(guān)系：

Ffmax=fN

其中，f為靜滑動摩擦系數(shù)（簡稱靜摩擦系數(shù)），它的大小與物體接觸面的材料及表面情況（如粗糙度、干濕度、溫度等）有關(guān)，而與接觸面的大小無關(guān)。表2-1常用材料的滑動摩擦系數(shù)摩擦定律給我們指出了利用或減小摩擦力的途徑。如要增大摩擦力，可增大正壓力或增大摩擦系數(shù)。如火車在冰雪天行駛或上坡時，在鐵軌上撒沙子可增大車輪與鐵軌間的摩擦力，防止車輪打滑。如要減小摩擦力，可減小摩擦系數(shù)，如降低接觸面的粗糙度，加入潤滑劑，或改用滾動摩擦來代替滑動摩擦。2.5.2動滑動摩擦兩物體接觸面間有相對滑動而表現(xiàn)出的摩擦稱為動滑動摩擦（簡稱動摩擦）。阻礙物體運動的力稱動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力?？赏ㄟ^實驗得到與靜滑動摩擦相似的定律。動滑動摩擦力以Ff′表示。Ff’的方向與物體的運動方向相反，其大小與接觸面間的法向反力的大小成正比，即

Ff′=f′N

其中，f′為動滑動摩擦系數(shù)，它的大小除與兩物體接觸面的材料及表面情況有關(guān)，還與兩物體的相對速度有關(guān)。常用材料在低速情況下的f′值見表2-1。2.5.3考慮摩擦時的平衡問題考慮摩擦時的平衡問題也是用靜力平衡條件求解，其方法和步驟與前面的相同，只是在畫受力圖時必須加上摩擦力Ff。由于在工程實際中，許多情況下只需平衡時的臨界狀態(tài)，這時摩擦力達到最大值，便可在靜力平衡方程之外加上摩擦定律Ffmax=fN進行求解，然后再分析討論。

【例2-10】

設(shè)物體重量G=1000N，置于傾角α=30°的斜面上（見圖2-27（a）），沿斜面有一推力P=480N。已知斜面與物塊的摩擦系數(shù)f=0.1，求物塊所處的狀態(tài)。

解

以物塊為研究對象，設(shè)物塊有上滑趨勢（見圖2-27（b）），則摩擦力Ff沿斜面向下。取坐標系Oxy，建立如下平衡方程：

∑Fx=0，P-Ff-Gsinα=0

∑Fy=0，

N-Gcosα=0

解得求出的Ff為負值，說明Ff的假設(shè)方向與實際方向相反，故物塊有下滑趨勢?，F(xiàn)假設(shè)下滑達臨界狀態(tài)，則有最大靜摩擦力（沿斜面向上）

Ffmax=fN=0.1×866N=86.6N

而實際產(chǎn)生的靜摩擦力Ff=20N（向上），即

Ff＜Ffmax，因此物塊靜止，但有下滑趨勢。

圖2－27例2－10圖【例2-11】制動裝置如圖2-28(a)所示。已知載荷Q=1000N，制動輪與制動塊之間的摩擦系數(shù)f=0.4，制動輪半徑R=20mm，鼓輪半徑r=10mm，其他尺寸為:a=100mm，b=20mm，e=5mm。問：制動力P多大才能阻止重物下降。圖2-28例2-11圖

解當鼓輪剛停止轉(zhuǎn)動時，制動力P以最小力使輪子處于平衡狀態(tài)，此時有最大靜摩擦力Ffmax=fN。以鼓輪為研究對象，其受力圖如圖2-28（b）所示。建立如下平衡方程：解得則

再以手柄AC為研究對象，受力圖如圖3-25(c)所示，建立如下平衡方程：

∑mA(F)=0，Pa+fNe-N’b=0

則可見，設(shè)計時，在可能的情況下，r、b應(yīng)取小值，a、R、f應(yīng)取大值，閘瓦的厚度也可適當設(shè)計得厚一些，以使制動力減小，這樣效果更好?！纠?-12】變速機構(gòu)中的滑移齒輪如圖2-29（a）所示。已知齒輪孔與軸間的摩擦系數(shù)為f，兩者接觸面的長度為b，齒輪重量不計。問：撥叉作用在齒輪上的力P到軸線間的距離a為多大時，齒輪才不被卡??？圖2-29例2-12圖

解輪孔與軸之間有一定間隙，齒輪在力P作用下發(fā)生傾斜，此時齒輪與軸在A、B兩點接觸。以軸為研究對象，其受力圖如圖2-29（b）所示。設(shè)在臨界狀態(tài)時，有最大靜摩擦力Fmax=fNA，F(xiàn)max’=fNB。建立如下平衡方程：

∑Fy=0，NA-NB=0

∑Fx=0，F(xiàn)fA+FfB-P=0

又

FfA=FfB=fNA=fNB

解得

NA=NB

2FfB=2fNB=P

所以又由得所以習題2

下列各題中，凡未標出自重的物體，自重不計。各接觸處均為光滑接觸（即不計摩擦）。

2-1畫出題2-1圖中圓球的受力圖。

2-2畫出題2-2圖中桿AB的受力圖。其中CD為繩。題2-1圖題2-2圖2-3畫出題3-3圖中指定構(gòu)件的受力圖。（1）圖（a）中桿AB；（2）圖（b）中杠桿OAB；

(3)圖（c）中桿AC、滑塊B。題2-3圖2-4畫出題2-4圖中構(gòu)件A的受力圖。

2-5夾緊裝置如題2-5圖所示，畫出滾子及杠桿的受力圖。

2-6如題2-6圖所示，固定在墻上的圓環(huán)受三條繩索的拉力作用，力P1沿水平方向，力P3沿鉛直方向，力P2與水平線成40°角。三力的大小分別為P1=1000N，P2=1500N，P3=200N。求三力的合力。題2-4圖題2-5圖題2-6圖2-7如題2-7圖所示，鉚接鋼板在孔心A、B和C處受三力作用。P1=200N，沿鉛直方向；P2=100N，沿水平方向；P3=100N。三力的作用線都通過點A。求力系的合力。

2-8如題2-8圖所示，五個力作用于一點O，圖中方格的邊長為1cm。求力系的合力。題2-7圖題2-8圖2-9如題2-9圖所示，A、B、C三處均為鉸鏈。若懸掛重物的重量G均為已知，求桿AB和AC所受的力。

2-10如題2-10圖所示，用鋼鏈條起吊一機械主軸。已知軸的重量G=24kN，求兩側(cè)鏈條所受的拉力。

2-11如題2-11圖所示，重G=10kN的物體，用兩根鋼索懸掛，鋼索重量不計，求鋼索所受的拉力。題2-9圖題2-10圖

題2-11圖2-12如題2-12圖所示，物體重量G=20kN，用繩子掛在支架的滑輪B上，繩子的另一端繞在絞車D上。設(shè)滑輪的大小及其中的摩擦不計，A、B、C三處均為鉸鏈連接。當物體處于平衡狀態(tài)時，求桿AB和CB所受的力。

2-13如題2-13圖所示，構(gòu)架ABC受力Q作用，Q=1000N，在銷釘D處掛有重物G=2000N。桿AB和CD在D點鉸接，點B和C均為固定鉸鏈。求桿CD所受的力和鉸鏈B的約束反力。

題2-12圖題2-13圖2-14如題2-1