《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)-第九章-第3講-二項(xiàng)式定理-輕松闖關(guān)

1．(2021·東北三校模擬)在(x2－eq\f(1,x))5的二項(xiàng)開(kāi)放式中，其次項(xiàng)的系數(shù)為()A．10 B．－10C．5 D．－5解析：選D.開(kāi)放式中的其次項(xiàng)為T(mén)2＝Ceq\o\al(1,5)(x2)5－1(－eq\f(1,x))1，所以其系數(shù)為－Ceq\o\al(1,5)＝－5.2．二項(xiàng)式(1－x)4n＋1(n∈N)的開(kāi)放式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為()A．第(2n＋1)或(2n＋2)項(xiàng)B．第(2n＋1)項(xiàng)C．第(2n＋2)項(xiàng)D．第2n或(2n＋1)項(xiàng)解析：選B.開(kāi)放式中共有(4n＋2)項(xiàng)，其中第(2n＋1)項(xiàng)與第(2n＋2)項(xiàng)的系數(shù)確定值相等，但第(2n＋1)項(xiàng)的系數(shù)為正，而第(2n＋2)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，故第(2n＋1)項(xiàng)的系數(shù)最大．3．(2021·黃岡模擬)設(shè)復(fù)數(shù)x＝eq\f(2i,1－i)(i是虛數(shù)單位)，則Ceq\o\al(1,2015)x＋Ceq\o\al(2,2015)x2＋Ceq\o\al(3,2015)x3＋…＋Ceq\o\al(2015,2015)x2015＝()A．i B．－iC．－1－i D．1＋i解析：選C.x＝eq\f(2i,1－i)＝－1＋i，Ceq\o\al(1,2015)x＋Ceq\o\al(2,2015)x2＋…＋Ceq\o\al(2015,2015)x2015＝(1＋x)2015－1＝i2015－1＝－i－1.4．已知(x－eq\f(a,x))8開(kāi)放式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則開(kāi)放式中各項(xiàng)系數(shù)的和是()A．28 B．38C．1或38 D．1或28解析：選C.由題意知Ceq\o\al(4,8)·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得開(kāi)放式各項(xiàng)系數(shù)和為(1－a)8＝1或38.5．(2021·江西臨川一中等九校聯(lián)考)二項(xiàng)式(ax＋eq\f(\r(3),6))6的開(kāi)放式的其次項(xiàng)的系數(shù)為－eq\r(3)，則eq\i\in(－2,a,)x2dx的值為()A.eq\f(7,3) B．3C．3或eq\f(7,3) D．3或－eq\f(10,3)解析：選A.二項(xiàng)開(kāi)放式的其次項(xiàng)T2＝Ceq\o\al(1,6)(ax)5×eq\f(\r(3),6)，則由題意有eq\f(\r(3),6)×Ceq\o\al(1,6)a5＝－eq\r(3)，解得a＝－1，所以eq\i\in(－2,－1,)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(－1,－2)＝－eq\f(1,3)－(－eq\f(8,3))＝eq\f(7,3).6．(2021·貴陽(yáng)市適應(yīng)性考試)若(2x＋eq\f(a,x))4(a＞0)的開(kāi)放式中常數(shù)項(xiàng)為96，則實(shí)數(shù)a等于________．解析：(2x＋eq\f(a,x))4的開(kāi)放式通項(xiàng)為Ceq\o\al(r,4)(2x)4－r(eq\f(a,x))r＝24－rarCeq\o\al(r,4)x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴22a2Ceq\o\al(2,4)＝96，∴a2＝4，∴a＝2.答案：27．(2021·昆明市第一次調(diào)研)(eq\f(2,x)＋x)(1－eq\r(x))4的開(kāi)放式中x的系數(shù)是________．解析：(1－eq\r(x))4開(kāi)放式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(－eq\r(x))r＝(－1)rCeq\o\al(r,4)xeq\s\up6(\f(r,2))，(eq\f(2,x)＋x)(1－eq\r(x))4的開(kāi)放式中含x的項(xiàng)為eq\f(2,x)·(－1)4Ceq\o\al(4,4)x2＋x·(－1)0Ceq\o\al(0,4)xeq\s\up6(\f(0,2))＝eq\f(2,x)·x2＋x·1＝3x，故系數(shù)是3.答案：38．(2021·福州質(zhì)檢)在(1－x2)20的開(kāi)放式中，假如第4r項(xiàng)和第r＋2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則r＝________．解析：由題意得，Ceq\o\al(4r－1,20)＝Ceq\o\al(r＋1,20)，故4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，即r＝eq\f(2,3)或r＝4.由于r為整數(shù)，故r＝4.答案：49．已知二項(xiàng)式(eq\r(3,x)＋eq\f(1,x))n的開(kāi)放式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256.(1)求n；(2)求開(kāi)放式中的常數(shù)項(xiàng)．解：(1)由題意，得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)該二項(xiàng)開(kāi)放式中的第r＋1項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(3,x))8－r·(eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,8)·xeq\s\up6(\f(8－4r,3))，令eq\f(8－4r,3)＝0，得r＝2，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T(mén)3＝Ceq\o\al(2,8)＝28.10．已知(a2＋1)n開(kāi)放式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(5)的開(kāi)放式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2＋1)n開(kāi)放式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)等于54，求a的值．解：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(5)，得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))eq\s\up12(5－r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(5－r)·Ceq\o\al(r,5)·xeq\s\up6(\f(20－5r,2)).令Tr＋1為常數(shù)項(xiàng)，則20－5r＝0，∴r＝4，∴常數(shù)項(xiàng)T5＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(16,5)＝16.又(a2＋1)n開(kāi)放式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n.由題意得2n＝16，∴n＝4.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2＋1)4開(kāi)放式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3，∴Ceq\o\al(2,4)a4＝54，∴a＝±eq\r(3).1．(2022·高考浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的開(kāi)放式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60C．120 D．210解析：選C.由于f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)Ceq\o\al(n,4)，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)＝120.2．(2021·山東棗莊模擬)若(x＋y)9按x的降冪排列的開(kāi)放式中，其次項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，且x＋y＝1，xy<0，則x的取值范圍是()A．(－∞，eq\f(1,5)) B．[eq\f(4,5)，＋∞)C．(－∞，－eq\f(4,5)] D．(1，＋∞)解析：選D.二項(xiàng)式(x＋y)9的開(kāi)放式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·x9－r·yr.依題意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,9)·x9－1·y≤Ceq\o\al(2,9)·x9－2·y2,x＋y＝1,xy<0))，由此得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x8·（1－x）－4x7·（1－x）2≤0,x（1－x）<0))，解之得x>1，即x的取值范圍為(1，＋∞)．3．(2021·荊州模擬)已知a＝4eq\i\in(0,\f(π,2),)cos(2x＋eq\f(π,6))dx，則二項(xiàng)式(x2＋eq\f(a,x))5的開(kāi)放式中x的系數(shù)為_(kāi)_______．解析：依題意得a＝4eq\i\in(0,\f(π,2),)cos(2x＋eq\f(π,6))dx＝2sin(2x＋eq\f(π,6))eq\x\le(\o(\s\do4(0),\s\up8(\f(π,2))))＝－2，即a＝－2，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－2)rx10－3r，當(dāng)r＝3時(shí)，T4＝－80x.故二項(xiàng)式(x2＋eq\f(a,x))5的開(kāi)放式中x的系數(shù)為－80.答案：－804．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．解析：在已知等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：105．已知(eq\f(1,2)＋2x)n.(1)若開(kāi)放式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求開(kāi)放式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；(2)若開(kāi)放式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求開(kāi)放式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解：(1)∵Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)＝2Ceq\o\al(5,n)，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，當(dāng)n＝7時(shí)，開(kāi)放式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5.∴T4的系數(shù)為Ceq\o\al(3,7)(eq\f(1,2))423＝eq\f(35,2)，T5的系數(shù)為Ceq\o\al(4,7)(eq\f(1,2))324＝70，當(dāng)n＝14時(shí)，開(kāi)放式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8.∴T8的系數(shù)為Ceq\o\al(7,14)(eq\f(1,2))727＝3432.(2)∵Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，∵(eq\f(1,2)＋2x)12＝(eq\f(1,2))12(1＋4x)12，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,12)4k≥Ceq\o\al(k－1,12)4k－1,Ceq\o\al(k,12)4k≥Ceq\o\al(k＋1,12)4k＋1.))∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.∴開(kāi)放式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)11，T11＝Ceq\o\al(10,12)·(eq\f(1,2))2·210·x10＝16896x10.6．(選做題)某二項(xiàng)開(kāi)放式中，相鄰a項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1∶2∶3∶…∶a，求二項(xiàng)式的次數(shù)及a的值．解：設(shè)該二項(xiàng)式為(m＋t)n，其二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(r,n)(r＝0，1，2，…，n)．不妨設(shè)Ceq\o\al(r,n)∶Ceq\o\al(r＋1,n)∶Ceq\o\al(r＋2,n)∶…∶Ceq\o\al(r＋a－1,n)＝1∶2∶3∶…∶a，由Ceq\o\al(r,n)∶Ceq\o\al(r＋1,n)＝1∶2，得n＝3r＋2；由Ceq\o\al(r,n)∶Ceq\o\al(r＋2,n)＝1∶3，得eq\f(（r＋2）（r＋1）,（n－r）（n－r－1）)＝eq\f(1,