二次根式性質(zhì)

二次根式性質(zhì)一、基本概念1.二次根式：形如√a的式子，其中a為非負(fù)實(shí)數(shù)，成為二次根式。2.被開(kāi)方數(shù)a稱為二次根式的被開(kāi)方數(shù)，a≥0。3.開(kāi)方號(hào)稱為二次根式的根號(hào)，記作。4.如果二次根式化簡(jiǎn)之后仍然是二次根式，則稱為真二次根式，否則稱為假二次根式。5.當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是完全平方數(shù)時(shí)，二次根式可進(jìn)行化簡(jiǎn)為有理數(shù)，反之則不能。二、化簡(jiǎn)二次根式化簡(jiǎn)二次根式的基本思路是化簡(jiǎn)根號(hào)下的被開(kāi)方數(shù)。（一）、化簡(jiǎn)根號(hào)下的正整數(shù)1.完全平方式的化簡(jiǎn)若a=k^2(k為正整數(shù))，則有√a=√k^2=k2.非完全平方式的化簡(jiǎn)a=p×q(p、q均為正整數(shù)，且p、q互質(zhì))，則有√a=√p×q=√p×√q（根號(hào)下相乘）（二）、化簡(jiǎn)根號(hào)下的分?jǐn)?shù)a=c/b(c、b為正整數(shù)，且c、b互質(zhì))√a=√c/b=√c/√b（即根號(hào)下添上約分后的分母）（三）、化簡(jiǎn)根號(hào)下的二次根式一般可以采用分子有理化的方法，去掉根號(hào)下的分母。也可以采用“倒扣法”計(jì)算式子:設(shè)x=√a+√b，則x^2=a+b+2√ab,即2√ab=x^2-a-b,從而可以解出√ab；進(jìn)而將二次根式化為一個(gè)式子。（四）、化簡(jiǎn)混合根式就是根號(hào)下含有分?jǐn)?shù)和正整數(shù)的根式。常用的方法：1.分子有理化法2.“倒扣法”3.結(jié)合規(guī)律即3√3×√12=3×√3×√4×√3=6√3（將部分項(xiàng)先合并）（五）、分解質(zhì)因數(shù)最后不行化簡(jiǎn)再分解質(zhì)因數(shù)（六）、倍增、約減如果遇到開(kāi)平方數(shù)很復(fù)雜的二次根式，可以將被開(kāi)方數(shù)簡(jiǎn)化為較小的數(shù)，再逐步推導(dǎo)出化簡(jiǎn)形式。三、加減乘除二次根式（I）、加減二次根式同類項(xiàng)相加減，不同類項(xiàng)按一下規(guī)則化公式：化簡(jiǎn)(√a±√b)±(√a?√b)時(shí)，考慮式子包含的兩個(gè)根號(hào)內(nèi)的因數(shù)組合(1).同類項(xiàng)的加減表達(dá)式情況1：兩根號(hào)為同類，則直接合并兩根號(hào)下的數(shù)即可，以(3√3)為例：3√3+2√3=(3+2)√3=5√3。情況2：兩根號(hào)不同類，需化公共項(xiàng)，以√2+√7為例，化為(√2+√7)×(1+√4/√7-1)=(√2+√7+2√2-√7)/√7=(√2+2√7)/√7情況3：兩根號(hào)相加減的式子中含有分?jǐn)?shù)，以1/√2+2√2為例子，應(yīng)化為：1/√2+2√2=√2/(√2×√2)+2√2=√2/2+2√2=(√2+4√2)/2=5√2/2(2).非同類項(xiàng)的加減(√a±√b)±(√c±√d)是不可以直接進(jìn)行加減的，此時(shí)需要使用倍增法。方法：1.化簡(jiǎn)2.合并同類項(xiàng)3.最后將非同類的、同次冪的和并即可如：（3√2+2√3）+（4√3-5√2）化簡(jiǎn)為（-2√2+7√3）后，合并同類項(xiàng)即可。（II）、乘法運(yùn)算(1)化簡(jiǎn)√a×√b即如何將根式相乘簡(jiǎn)化為含根式的最簡(jiǎn)形式。時(shí)常采用正反合并法或化為同次冪法?；?jiǎn)規(guī)律：1.同類項(xiàng)相乘2.不同類項(xiàng)相乘先將兩個(gè)因數(shù)中含根號(hào)的項(xiàng)全部提取出來(lái)，兩兩相乘，然后兩兩相加a×√a=a2a×√ab=a×√a×√b=a√ab（2）乘方運(yùn)算式中含有二次根式的情況。當(dāng)二次根式中有含變量的因數(shù)時(shí)，詢問(wèn)是否解出變量；當(dāng)二次根式中有含參數(shù)和實(shí)數(shù)的因數(shù)時(shí)，直接化簡(jiǎn)為有理數(shù)即可。（III）、除法運(yùn)算將根式分子分母都化成簡(jiǎn)化后的最簡(jiǎn)形式后，分別除以分母的化簡(jiǎn)式，并提取根號(hào)，最終得到含根式的有理數(shù)。四、二次根式的應(yīng)用應(yīng)用廣泛，尤其在勾股定理、三角恒等式、立方差公式的推導(dǎo)中，二次根式能更直觀、簡(jiǎn)潔地表達(dá)式子，方便運(yùn)算。（一）、勾股定理由于√2不是有理數(shù)，所以在證明勾股定理時(shí)，需要使用二次根式的性質(zhì)。勾股定理成立的證明原理主要是基于勾股定理成立的幾何關(guān)系，可以用平方的運(yùn)算來(lái)證得。由于構(gòu)造勾股定理三元組的時(shí)候需要用到的√2不是有理數(shù)，所以在證明勾股定理的過(guò)程中，涉及了二次根式的性質(zhì)。（二）、三角恒等式三角恒等式中超出了基本的幾何定理，還需要通過(guò)二次根式的運(yùn)算來(lái)完成求解。如sinα±sinβ、cosα±cosβ以及tanα±tanβ等二次根式的展開(kāi)與化簡(jiǎn)，在推導(dǎo)三角恒等式時(shí)有著廣泛應(yīng)用。（三）、立方差公式立方差公式常常用于求兩個(gè)數(shù)之積、差、和。求解