2021高考數(shù)學(xué)(文-江蘇專用)二輪復(fù)習(xí)-專題五-第二講-圓錐曲線18-【要點導(dǎo)學(xué)】

求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3),且點F(2,0)為其右焦點.(1)求橢圓C的方程;(2)已知動點P到定點Q(,0)的距離與點P到定直線l:x=2的距離之比為,求動點P的軌跡C'的方程.【分析】本題主要考查橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)學(xué)問,以及利用直接法和待定系數(shù)法求橢圓方程的基本方法.【解答】(1)依題意,可設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),且可知左焦點為F'(-2,0),從而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12.故橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)點P(x,y),依題意,得=,整理,得+=1.所以動點P的軌跡C'的方程為+=1.【點評】本題第一問已知焦點即知道了c,再利用橢圓定義先求得2a,從而利用橢圓中a,b,c的關(guān)系,求得b,從而得橢圓方程.本題還可以利用待定系數(shù)法設(shè)橢圓方程為+=1,代入已知點求解,明顯沒有利用定義來得簡潔.變式(1)已知橢圓兩焦點為F1(-4,0),F2(4,0),點P在橢圓上,若△PF1F2的面積的最大值為12,則橢圓方程為;(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-,0),B(,0),E為動點,且直線EA與直線EB的斜率之積為-,則動點E的軌跡C的方程為.【答案】(1)+=1(2)+y2=1(x≠±)【解析】(1)當(dāng)點P為橢圓的短軸頂點時,△PF1F2的面積最大,此時△PF1F2的面積的最大值為S=×8×b=12,所以b=3,所以a2=b2+c2=25,所以橢圓方程為+=1.(2)設(shè)動點E的坐標(biāo)為(x,y),依題意可知·=-,整理得+y2=1(x≠±).所以動點E的軌跡C的方程為+y2=1(x≠±).求離心率的值或范圍例2(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓+=1(a>b>0)的左頂點為A,左焦點為F,上頂點為B,若∠BAO+∠BFO=90°,則橢圓的離心率是;(2)點M是橢圓+=1(a>b>0)上的點,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F,圓M與y軸相交于點P,Q,若△PQM是鈍角三角形,則橢圓離心率的取值范圍是.【答案】(1)(2)【分析】(1)構(gòu)建三角形,用a,b,c表示這兩個角,即可建立方程解出離心率e;(2)依據(jù)△PQM是等腰三角形,故將其鈍角三角形這一條件轉(zhuǎn)化為頂角的一半小于45°,從而轉(zhuǎn)化為a,b,c的不等式,求出e的取值范圍.【解析】(1)方法一:由于∠BAO+∠BFO=90°,所以sin∠BFO=cos∠BAO=cos∠BAF.在△ABF中,由正弦定理得===,即=,所以=,所以a2=b,即a4=(a2-c2)(2a2-c2),化簡得e4-3e2+1=0,解得e2=,,故e=(負(fù)根舍去).方法二:易知∠BAF=∠FBO,所以Rt△BFO∽Rt△ABO,則=,即=,所以ac=b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0.即e2+e-1=0,解得e=(負(fù)根舍去).方法三:設(shè)橢圓右頂點為C,連接BC,則∠BCO=∠BAF,所以∠BCO+∠BFC=90°,則BF2+BC2=CF2,即a2+a2+b2=(a+c)2,所以2a2-c2=2ac+c2,即c2+ac-a2=0,所以e2+e-1=0,解得e=(負(fù)根舍去).(2)由題意可知圓M的半徑為,點M到y(tǒng)的距離為c.由于△PQM是等腰三角形,故只能是∠PMQ為鈍角,從而只須>c即可,即ac<b2=a2-c2,兩邊同時除以a2并整理得e2+e-1<0,解得<e<,而0<e<1,所以e∈.【點評】(1)橢圓離心率的求解主要是將所給幾何條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,建立關(guān)于a,b,c的齊次方程.本題對于所給條件∠BAO+∠BFO=90°實行了三種轉(zhuǎn)化,分別是正弦定理、余弦定理以及相像三角形,但目的都是全都的;(2)本題為求離心率的范圍的問題,主要是將幾何條件“∠PMQ為鈍角”轉(zhuǎn)化為邊長之間的不等式,再將該不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式,解不等式即可得到離心率e的取值范圍,不能遺忘橢圓的離心率在(0,1)中.變式(1)(2022·無錫期末)若雙曲線-=1(a>0,b>0)右支上一點P到左焦點的距離是到右準(zhǔn)線距離的6倍,則該雙曲線離心率的取值范圍為;(2)若橢圓+=1(a>b>0)上存在一點M,它到左焦點的距離是它到右準(zhǔn)線距離的2倍,則橢圓離心率的最小值為.【答案】(1)(1,2]∪[3,6)(2)【解析】(1)記雙曲線-=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F2,設(shè)點P到右準(zhǔn)線的距離為d,則由題意得點P到左焦點的距離PF1=6d,由于PF1-PF2=2a,所以PF2=6d-2a,所以=,所以d=.又由于d≥a-,所以即解得1<e≤2或3≤e<6,故雙曲線的離心率e的取值范圍是(1,2]∪[3,6).(2)由題意,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x,依據(jù)焦半徑公式得a+ex=2,x=,有-a≤≤a,不等式各邊同除以a,得-1≤≤1,則-1≤e+2,即e2+3e-2≥0,又0<e<1,所以≤e<1,所以該橢圓離心率的最小值為.與向量相關(guān)的圓錐曲線問題例3(2022·蘇州期末)如圖,已知橢圓+=1(a>b>0)的右頂點為A(2,0),點P在橢圓上(e為橢圓的離心率).(例3)(1)求橢圓的方程;(2)若點B,C(C在第一象限)都在橢圓上,滿足=λ,且·=0,求實數(shù)λ的值.【分析】第一小問依據(jù)A,P這兩點坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出;其次小問中兩個向量條件分別說明白OC∥BA,OC⊥OB,可利用這兩個條件求解參數(shù)λ.【解答】(1)由已知,a=2,e=,將P代入橢圓的方程,得+=1.由于b2+c2=4,所以b2=1,c2=3.所以橢圓的方程為+y2=1.(2)明顯直線OC的斜率存在.設(shè)直線OC的斜率為k,則直線OC的方程為y=kx,代入橢圓方程+y2=1,即x2+4y2=4,得(1+4k2)x2=4,所以xC=.則C.又直線AB的方程為y=k(x-2),代入橢圓方程x2+4y2=4,得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.由于xA=2,所以xB=.則B.由于·=0,所以·+·=0.所以k2=.由于點C在第一象限,所以k>0,k=.由于=.==.由=λ,得λ=.由于k=,所以λ=.【點評