【優(yōu)化方案】2021屆高考物理二輪復(fù)習(xí)綜合講義：專題四-萬有引力定律及其應(yīng)用(導(dǎo)學(xué)導(dǎo)練-含詳解)

萬有引力定律及其應(yīng)用熱點(diǎn)一萬有引力定律的應(yīng)用命題規(guī)律：萬有引力定律的應(yīng)用在高考中也時(shí)有考查．題型主要為選擇題，命題角度有以下幾點(diǎn)：(1)利用補(bǔ)償法求萬有引力的大小．(2)結(jié)合比例運(yùn)算求解重力加速度等問題．(3)考查重力與萬有引力的關(guān)系的應(yīng)用．1.(2022·南昌高三調(diào)研)我國于2021年成功放射攜帶月球車的“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星，并將月球車軟著陸到月球表面進(jìn)行勘察．假設(shè)“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星繞月球做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T，已知月球的半徑為R，月球車的質(zhì)量為m，則月球車在月球表面上所受到的重力為()A.eq\f(4π2mr,T2)B.eq\f(4π2mR,T2)C.eq\f(4π2mR3,T2r2)D.eq\f(4π2mr3,T2R2)[解析]“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星繞月球做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有eq\f(GMm′,r2)＝m′eq\f(4π2,T2)r；月球車在月球表面上所受到的重力等于其受到的萬有引力，則F＝eq\f(GMm,R2)，聯(lián)立可得：F＝eq\f(4π2mr3,T2R2)，選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤．[答案]D2.(2022·濰坊模擬)據(jù)報(bào)道，美國耶魯高校的爭辯人員發(fā)覺了一顆完全由鉆石組成的星球，通過觀測(cè)發(fā)覺該星球的半徑是地球的2倍，質(zhì)量是地球的8倍．設(shè)在該星球表面四周繞星球運(yùn)行的衛(wèi)星的角速度為ω1、線速度為v1，在地球表面四周繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星的角速度為ω2、線速度為v2，則eq\f(ω1v1,ω2v2)為()A．8 B．4C．2 D．1[解析]該星球與地球表面的重力加速度之比為：eq\f(g1,g2)＝eq\f(M1R\o\al(2,2),M2R\o\al(2,1))＝2，近地衛(wèi)星的向心加速度等于星球表面的重力加速度，即eq\f(g1,g2)＝eq\f(a1,a2)＝eq\f(ω1v1,ω2v2)＝2，故C正確．[答案]C3.(多選)為了探尋金礦區(qū)域的位置和金礦儲(chǔ)量，常利用重力加速度反?，F(xiàn)象．如圖所示，P點(diǎn)為某地區(qū)水平地面上的一點(diǎn)，假定在P點(diǎn)正下方有一空腔或密度較大的金礦，該地區(qū)重力加速度的大小就會(huì)與正常狀況有微小偏離，這種現(xiàn)象叫做“重力加速度反常”．假如球形區(qū)域內(nèi)貯存有金礦，已知金礦的密度為ρ，球形區(qū)域四周均勻分布的巖石密度為ρ0，且ρ＞ρ0.又已知引力常量為G，球形空腔體積為V，球心深度為d(遠(yuǎn)小于地球半徑)，則下列說法正確的是()A．有金礦會(huì)導(dǎo)致P點(diǎn)重力加速度偏小B．有金礦會(huì)導(dǎo)致P點(diǎn)重力加速度偏大C．P點(diǎn)重力加速度反常值約為Δg＝Geq\f(ρ－ρ0V,d2)D．在圖中P1點(diǎn)重力加速度反常值大于P點(diǎn)重力加速度反常值[解析]由于金礦對(duì)地球表面物體的引力大，所以有金礦會(huì)導(dǎo)致P點(diǎn)重力加速度偏大，即B正確，A錯(cuò)誤；依據(jù)萬有引力定律可知P點(diǎn)重力加速度反常值約為Δg＝Geq\f(ρ－ρ0V,d2)，即C正確；由于P1點(diǎn)較遠(yuǎn)，所以在圖中P1點(diǎn)重力加速度反常值小于P點(diǎn)重力加速度反常值，即D錯(cuò)誤．[答案]BC[總結(jié)提升]萬有引力定律公式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，故求一般物體間的萬有引力時(shí)，應(yīng)把物體進(jìn)行分割，使之能視為質(zhì)點(diǎn)后再用F＝Geq\f(m1m2,r2)求質(zhì)點(diǎn)間的各個(gè)作用力，最終求其合力.對(duì)于兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，可用萬有引力定律的公式來計(jì)算，式中的r是兩個(gè)球體球心間的距離；一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力也可用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算，式中r是球體球心到質(zhì)點(diǎn)的距離.對(duì)于一般狀況物體間的萬有引力中學(xué)階段無法求解，但某些特殊狀況下我們應(yīng)用“補(bǔ)償法”可以求出其萬有引力的大小.)熱點(diǎn)二天體質(zhì)量和密度的計(jì)算命題規(guī)律：天體質(zhì)量和密度的計(jì)算問題是近幾年來高考的熱點(diǎn)．命題規(guī)律一般體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：(1)結(jié)合星球表面重力加速度考查．(2)結(jié)合衛(wèi)星繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)考查．1.一衛(wèi)星繞某一行星表面四周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A.eq\f(mv2,GN)B.eq\f(mv4,GN)C.eq\f(Nv2,Gm)D.eq\f(Nv4,Gm)[解題指導(dǎo)]解答本題時(shí)應(yīng)明確以下兩點(diǎn)：(1)在行星表面四周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體軌道半徑約等于行星半徑．(2)萬有引力(約等于重力)供應(yīng)向心力．[解析]由N＝mg，得g＝eq\f(N,m)，據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg和Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得M＝eq\f(mv4,GN)，故選B.[答案]B2.天文學(xué)家新發(fā)覺了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍．已知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期約為1.4小時(shí)，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為()A．1.8×103kg/m3 B．5.6×C．1.1×104kg/m3 D．2.9×[解析]近地衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，所受萬有引力充當(dāng)其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R，由密度、質(zhì)量和體積關(guān)系有M＝ρeq\f(4,3)πR3，解得ρ＝eq\f(3π,GT2)≈5.6×103kg/m3，由已知條件可知該行星密度是地球密度的eq\f(25,4.7)倍，即ρ行＝5.6×103×eq\f(25,4.7)kg/m3＝2.98×104kg/m3，選項(xiàng)D正確．[答案]D3.(2022·高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G.地球的密度為()A.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0－g,g0)B.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g0－g)C.eq\f(3π,GT2)D.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g)[解析]物體在地球的兩極時(shí)，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物體在赤道上時(shí)，mg＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝Geq\f(Mm,R2)，以上兩式聯(lián)立解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg(shù)0,GT2g0－g).故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤．[答案]Beq\x(\a\vs4\al([總結(jié)提升]估算中心天體的質(zhì)量和密度的兩條思路,1測(cè)出中心天體表面的重力加速度g.,由G\f(Mm,R2)＝mg求出M，進(jìn)而求得ρ＝\f(M,V)＝\f(M,\f(4,3)πR3)＝\f(3g,4πGR).,2利用環(huán)繞天體的軌道半徑r、周期T.,由G\f(Mm,r2)＝m\f(4π2,T2)r可得出M＝\f(4π2r3,GT2),若環(huán)繞天體繞中心天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑r＝R，則ρ＝\f(M,\f(4,3)πR3)＝\f(3π,GT2).))熱點(diǎn)三人造衛(wèi)星的定軌問題命題規(guī)律：人造衛(wèi)星問題始終是近幾年高考的熱點(diǎn)，命題規(guī)律主要是結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律、萬有引力定律進(jìn)行考查：(1)考查衛(wèi)星在軌道運(yùn)行時(shí)線速度、角速度、周期的計(jì)算．(2)考查不同軌道衛(wèi)星各個(gè)物理量的比較．(3)結(jié)合宇宙速度考查．1.(2022·合肥質(zhì)檢)“北斗”系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星1和2在同一軌道上繞地心O沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，某時(shí)刻它們分別位于軌道上的A、B兩位置，如圖所示．已知地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計(jì)衛(wèi)星間的相互作用力．以下推斷中正確的是()A．這兩顆衛(wèi)星的向心加速度大小為a＝eq\f(r2,R2)gB．這兩顆衛(wèi)星的角速度大小為ω＝Req\r(\f(g,r))C．衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)至位置B所需的時(shí)間為t＝eq\f(πr,3R)eq\r(\f(r,g))D．假如使衛(wèi)星1加速，它就確定能追上衛(wèi)星2[解析]衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力充當(dāng)向心力，即：Geq\f(Mm,r2)＝ma，由萬有引力與重力關(guān)系，Geq\f(Mm,R2)＝mg，解兩式得：a＝eq\f(R2,r2)g，A項(xiàng)錯(cuò)；由a＝ω2r，將上式代入得：ω＝eq\r(g\f(R2,r3))，B項(xiàng)錯(cuò)；衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需時(shí)間為衛(wèi)星周期的eq\f(1,6)，由T＝eq\f(2π,ω)，t＝eq\f(πr,3R)eq\r(\f(r,g))，C項(xiàng)正確；衛(wèi)星1加速后做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入高軌道運(yùn)動(dòng)，不能追上衛(wèi)星2，D項(xiàng)錯(cuò)．[答案]C2.(2022·高考天津卷)爭辯表明，地球自轉(zhuǎn)在漸漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時(shí)．假設(shè)這種趨勢(shì)會(huì)持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，將來人類放射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比()A．距地面的高度變大 B．向心加速度變大C．線速度變大 D．角速度變大[解析]同步衛(wèi)星運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，由Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2有h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R，故T增大時(shí)h也增大，A正確．同理由eq\f(GMm,R＋h2)＝ma＝meq\f(v2,R＋h)＝m(R＋h)ω2可得a＝eq\f(GM,R＋h2)、v＝eq\r(\f(GM,R＋h))、ω＝eq\r(\f(GM,R＋h3))，故h增大后a、v、ω都減小，B、C、D皆錯(cuò)誤．[答案]A3.(2022·高考福建卷)若有一顆“宜居”行星，其質(zhì)量為地球的p倍，半徑為地球的q倍，則該行星衛(wèi)星的環(huán)繞速度是地球衛(wèi)星環(huán)繞速度的()A.eq\r(pq)倍B.eq\r(\f(q,p))倍C.eq\r(\f(p,q))倍D.eq\r(pq3)倍[解析]設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，依據(jù)eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)得地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度為v＝eq\r(\f(GM,R))，同理該“宜居”行星衛(wèi)星的環(huán)繞速度為v′＝eq\r(\f(GpM,qR))，故v′為地球衛(wèi)星環(huán)繞速度的eq\r(\f(p,q))倍．選項(xiàng)C正確．[答案]C[總結(jié)提升]人造衛(wèi)星的an、v、T、ω與r的關(guān)系(1)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星所受萬有引力完全供應(yīng)衛(wèi)星所需的向心力，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2,T2)r＝man可推導(dǎo)出eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(v＝\r(\f(GM,r)),ω＝\r(\f(GM,r3)),T＝\r(\f(4π2r3,GM)),an＝G\f(M,r2)))?當(dāng)r增大時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v減小,ω減小,T增大,an減小))(2)當(dāng)r＝R地時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝7.9km/s最大，為第一宇宙速度,ω為最大環(huán)繞角速度,T為最小周期,an為最大加速度g表))對(duì)衛(wèi)星變軌問題的考查命題規(guī)律：衛(wèi)星或航天器的變軌問題是高考熱點(diǎn)，估量命題角度有以下幾點(diǎn)：(1)放射過程中的變軌問題，考查衛(wèi)星的速度、周期、加速度．(2)考查航天器對(duì)接過程中的軌道把握．(3)考查變軌前后的速度、周期及機(jī)械能的比較．[解析]衛(wèi)星在1軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力定律和牛頓其次定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,1),r)，衛(wèi)星在2軌道A點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，則有Geq\f(Mm,r2)＜meq\f(v\o\al(2,2A),r)，故v1＜v2A，選項(xiàng)A正確；衛(wèi)星在2軌道B點(diǎn)做近心運(yùn)動(dòng)，則有Geq\f(Mm,r\o\al(2,B))＞meq\f(v\o\al(2,2)B,rB)，若衛(wèi)星在經(jīng)過B點(diǎn)的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，則Geq\f(Mm,r\o\al(2,B))＝meq\f(v\o\al(2,B),rB)，由于r＜rB，所以v1＞vB，故v2B＜vB＜v1＝7.7km/s，選項(xiàng)B正確；3軌道的高度大于2軌道的高度，故衛(wèi)星在3軌道所具有的機(jī)械能大于在2軌道所具有的機(jī)械能，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；衛(wèi)星在各個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有萬有引力做功，機(jī)械能守恒，在A點(diǎn)時(shí)重力勢(shì)能最小，動(dòng)能最大，速率最大，故衛(wèi)星在3軌道所具有的最大速率大于2軌道所具有的最大速率，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．[答案]AB[總結(jié)提升](1)衛(wèi)星從一個(gè)穩(wěn)定軌道變到另一穩(wěn)定軌道，稱為變態(tài)，即變軌問題，此過程不滿足F向＝F萬，應(yīng)結(jié)合離心運(yùn)動(dòng)和近心運(yùn)動(dòng)的學(xué)問以及能量守恒定律去解決．即假設(shè)當(dāng)衛(wèi)星速度減小時(shí)F向＜F萬，衛(wèi)星做近心運(yùn)動(dòng)而下降，此時(shí)F萬做正功，使衛(wèi)星速度增大，變軌成功后可在低軌道上穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)；當(dāng)衛(wèi)星速度增大時(shí)，與此過程相反．(2)天體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能與軌道是一一對(duì)應(yīng)的，不同的軌道對(duì)應(yīng)著不同的機(jī)械能，要轉(zhuǎn)變軌道必需轉(zhuǎn)變天體的機(jī)械能．最新猜想1(多選)我國將來將建立月球基地，并在繞月軌道上建筑空間站．如圖所示，關(guān)閉動(dòng)力的航天飛機(jī)在月球引力作用下向月球靠近，并將與空間站在B處對(duì)接，已知空間站繞月軌道半徑為r，周期為T，萬有引力常量為G，下列說法中正確的是()A．圖中航天飛機(jī)正加速飛向B處B．航天飛機(jī)在B處由橢圓軌道進(jìn)入空間站軌道必需點(diǎn)火減速C．依據(jù)題中條件可以算出月球質(zhì)量D．依據(jù)題中條件可以算出空間站受到月球引力的大小解析：選ABC.航天飛機(jī)飛向B處時(shí)，月球引力做正功，所以正在加速，即選項(xiàng)A正確；假設(shè)航天飛機(jī)在B處不減速，將連續(xù)在原來的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，所以必需點(diǎn)火減速，所以選項(xiàng)B正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得月球的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以選項(xiàng)C正確；由于空間站的質(zhì)量不知道，不能算出空間站受到月球引力的大小，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．最新猜想2(多選)2021年12月2日，我國探月衛(wèi)星“嫦娥三號(hào)”在西昌衛(wèi)星放射中心成功放射升空，飛行軌道示意圖如圖所示．“嫦娥三號(hào)”從地面放射后奔向月球，先在軌道Ⅰ上運(yùn)行，在P點(diǎn)從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，Q為軌道Ⅱ上的近月點(diǎn)，則“嫦娥三號(hào)”在軌道Ⅱ上()A．運(yùn)行的周期小于在軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期B．從P到Q的過程中速率不斷增大C．經(jīng)過P的速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過P的速度D．經(jīng)過P的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過P的加速度解析：選ABC.依據(jù)開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，可推斷“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的運(yùn)行周期小于在軌道Ⅰ上的運(yùn)行周期，A正確；由于P點(diǎn)是遠(yuǎn)地點(diǎn)，Q是近地點(diǎn)，故從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的過程中速率不斷增大，B正確；依據(jù)衛(wèi)星變軌特點(diǎn)可知，衛(wèi)星在P點(diǎn)從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ要減速，C正確；依據(jù)牛頓其次定律和萬有引力定律可推斷在P點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度是相同的，D錯(cuò)．[失分防范]1衛(wèi)星變軌時(shí)半徑的變化，依據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系推斷；穩(wěn)定在新軌道上的運(yùn)行速度變化由v＝eq\r(\f(GM,r)))推斷.變軌前后的速度較易發(fā)生誤判.2航天器在同一軌道上穩(wěn)定運(yùn)行過程中機(jī)械能守恒.,3同一航天器在不同軌道上穩(wěn)定運(yùn)行過程中，機(jī)械能不同，軌道半徑越大，動(dòng)能越小，機(jī)械能越大.)一、選擇題1．(2021·高考上海卷)小行星繞恒星運(yùn)動(dòng)，恒星均勻地向四周輻射能量，質(zhì)量緩慢減小，可認(rèn)為小行星在繞恒星運(yùn)動(dòng)一周的過程中近似做圓周運(yùn)動(dòng)．則經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，小行星運(yùn)動(dòng)的()A．半徑變大 B．速率變大C．角速度變大 D．加速度變大解析：選A.因恒星質(zhì)量M減小，所以萬有引力減小，不足以供應(yīng)行星所需向心力，行星將做離心運(yùn)動(dòng)，半徑R變大，A項(xiàng)正確，再由v＝eq\r(\f(GM,R))，ω＝eq\r(\f(GM,R3))，a＝eq\f(GM,R2)可知，速率、角速度、加速度均變小，故B、C、D均錯(cuò)誤．2．(2022·高考浙江卷)長期以來“卡戎星(Charon)”被認(rèn)為是冥王星唯一的衛(wèi)星，它的公轉(zhuǎn)軌道半徑r1＝19600km，公轉(zhuǎn)周期T1＝6.39天.2006年3月，天文學(xué)家新發(fā)覺兩顆冥王星的小衛(wèi)星，其中一顆的公轉(zhuǎn)軌道半徑r2＝48000km，則它的公轉(zhuǎn)周期A．15天 B．25天C．35天 D．45天解析：選B.依據(jù)開普勒第三定律得eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，所以T2＝eq\r(\f(r\o\al(3,2),r\o\al(3,1)))T1≈25天，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤．3．(2021·高考大綱全國卷)“嫦娥一號(hào)”是我國首次放射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×10A．8.1×1010kg B．C．5.4×1019kg D．解析：選D.設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m，月球的質(zhì)量為M，依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力Geq\f(mM,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，將h＝200000m，T＝127×60s，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，R＝1.74×106m，代入上式解得M＝7.4×1022kg4．(2022·高考江蘇卷)已知地球的質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球的半徑約為火星半徑的2倍，則航天器在火星表面四周繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率約為()A．3.5km/s B．C．17.7km/s D．解析：選A.由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得，對(duì)于地球表面四周的航天器有：Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv\o\al(2,1),r)，對(duì)于火星表面四周的航天器有：Geq\f(M′m,r′2)＝eq\f(mv\o\al(2,2),r′)，由題意知M′＝eq\f(1,10)M、r′＝eq\f(r,2)，且v1＝7.9km/s，聯(lián)立以上各式得v2≈3.5km/s，選項(xiàng)A正確．5．(2022·南通二模)我國古代神話中傳奇，地上的“凡人”過一年，天上的“神仙”過一天．假如把看到一次日出就當(dāng)作“一天”，某衛(wèi)星的運(yùn)行半徑為月球繞地球運(yùn)行半徑的eq\f(1,36)，則該衛(wèi)星上的宇航員24h內(nèi)在太空中度過的“天”數(shù)約為(已知月球的運(yùn)行周期為27天)()A．1 B．8C．16 D．24解析：選B.依據(jù)天體運(yùn)動(dòng)的公式Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R得eq\f(R\o\al(3,1),R\o\al(3,2))＝eq\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2))，解得衛(wèi)星運(yùn)行的周期為3h，故24h內(nèi)看到8次日出，B項(xiàng)正確．6．(2022·濰坊模擬)某月球探測(cè)衛(wèi)星先貼近地球表面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)其動(dòng)能為Ek1，周期為T1；再把握它進(jìn)行一系列變軌，最終進(jìn)入貼近月球表面的圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)其動(dòng)能為Ek2，周期為T2.已知地球的質(zhì)量為M1，月球的質(zhì)量為M2，則eq\f(T1,T2)為()A.eq\f(M1Ek2,M2Ek1)B.eq\f(M1Ek1,M2Ek2)C.eq\f(M1,M2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Ek2,Ek1)))3)D.eq\f(M1,M2)eq\r(\f(Ek1,Ek2))解析：選C.衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，Geq\f(M1m,R\o\al(2,1))＝meq\f(v\o\al(2,1),R1)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)))2R1，Ek1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝Geq\f(M1m,2R1)，T1＝2πeq\r(\f(R\o\al(3,1),GM1))；同理衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，Geq\f(M2m,R\o\al(2,2))＝meq\f(v\o\al(2,2),R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))2R2，Ek2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＝Geq\f(M2m,2R2)，T2＝2πeq\r(\f(R\o\al(3,2),GM2))，解各式得：eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(R\o\al(3,1)M2,R\o\al(3,2)M1))，eq\f(Ek1,Ek2)＝eq\f(M1R2,M2R1)，解兩式得：eq\f(T1,T2)＝eq\f(M1,M2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Ek2,Ek1)))3)，C項(xiàng)正確．7．(多選)(2022·高考廣東卷)如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球相對(duì)飛行器的張角為θ，下列說法正確的是()A．軌道半徑越大，周期越長B．軌道半徑越大，速度越大C．若測(cè)得周期和張角，可得到星球的平均密度D．若測(cè)得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度解析：選AC.設(shè)星球質(zhì)量為M，半徑為R，飛行器繞星球轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r，周期為T.由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大，選項(xiàng)A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r和ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)，又eq\f(R,r)＝sineq\f(θ,2)，所以ρ＝eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))，所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．8．(多選)(2022·浙江省六校聯(lián)考)如圖所示，衛(wèi)星由地面放射后，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)多次變軌最終進(jìn)入距離月球表面100公里，周期為118分鐘的工作軌道，開頭對(duì)月球進(jìn)行探測(cè)()A．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運(yùn)動(dòng)速度比月球的第一宇宙速度小B．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點(diǎn)的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)大C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運(yùn)動(dòng)周期比在軌道Ⅰ上短D．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能比在軌道Ⅱ上多解析：選ACD.由題圖知，rⅠ＞rⅡ＞rⅢ＞r月，由萬有引力定律、牛頓其次定律得，v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運(yùn)動(dòng)速度比月球的第一宇宙速度小，選項(xiàng)A正確；衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點(diǎn)的速度比在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)動(dòng)周期比在軌道Ⅰ上短，選項(xiàng)C正確；衛(wèi)星從軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到軌道Ⅱ要靠人為把握減速實(shí)現(xiàn)，故衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能比在軌道Ⅱ上多，選項(xiàng)D正確．9．人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為R，線速度為v，周期為T，若要使衛(wèi)星的周期變?yōu)?T，可以實(shí)行的方法是()A．R不變，使線速度變?yōu)関/2B．v不變，使軌道半徑變?yōu)?RC．使軌道半徑變?yōu)閑q\r(3,4)RD．使衛(wèi)星的高度增加R解析：選C.對(duì)于衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)R確定時(shí)，衛(wèi)星的線速度v＝eq\r(\f(GM,R))確定，周期T＝2πeq\r(\f(R3,GM))確定，所以只有當(dāng)軌道半徑變?yōu)閑q\r(3,4)R時(shí)，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期才可變?yōu)?T，即C選項(xiàng)正確．10．如圖所示，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m1、m2、M(M?m1，M?m2)．在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的周期之比Ta∶Tb＝1∶k；從圖示位置開頭，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，則()A．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k次B．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為(k＋1)次C．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k次D．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為(2k－2)次解析：選D.在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周過程中，a轉(zhuǎn)過了k圈，假設(shè)b不動(dòng)，則a轉(zhuǎn)過了(k－1)圈，所以a、b距離最遠(yuǎn)的次數(shù)為(k