【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年新課標(biāo)B版高中數(shù)學(xué)必修5-綜合測(cè)試題

必修5綜合測(cè)試(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在下列四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的)1．已知集合M＝{x|eq\f(x,x－13)≥0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，則M∩N等于()A．{x|x>1}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x<0}D．?解析∵M(jìn)＝(－∞，0]∪(1，＋∞)，N＝[1，＋∞)，∴M∩N＝(1，＋∞)．答案A2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1,2nan＋1＝(n＋1)an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A.eq\f(n,2n) B.eq\f(n,2n－1)C.eq\f(n,2n－1) D.eq\f(n＋1,2n)解析2a2＝2a1,2×2a3＝3a2,2×3a4＝2(n－1)an＝nan－1.上述式子相乘，2n－1an＝na1，∵a1＝1，∴an＝eq\f(n,2n－1).答案B3．設(shè)x∈R，記不超過(guò)x的最大整數(shù)為[x]，令{x}＝x－[x]，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))，eq\f(\r(5)＋1,2)()A．是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列解析可分別求得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))＝1，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))＝eq\f(\r(5)－1,2)，則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列．答案B4．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前三項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5＝()A．33 B．72C．84 D．189解析∵a1＋a2＋a3＝21，a1＝3，∴q＝2，或q＝－3.∵an>0，∴q＝2，a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)q2＝21×4＝84.答案C5．已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a<b，則下列命題成立的是()A．a(chǎn)2<b2B．a(chǎn)2b<ab2C．2a－2b<0D.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)解析∵y＝2x在R上單調(diào)遞增，a<b，∴2a<2b∴2a－2b答案C6．二次方程x2＋(a2＋1)x＋a－2＝0，有一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比－1小，則a的取值范圍是()A．－3<a<1B．－2<a<0C．－1<a<0D．0<a<2解析令f(x)＝x2＋(a2＋1)x＋a－2，由題意，可知f(1)<0，f(－1)<0，∴a∈(－1,0)．答案C7．已知O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，P，Q的坐標(biāo)滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－25≤0，,x－2y＋2≤0，,x－1≥0，))則cos∠POQ的最小值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D．0解析畫(huà)出可行域如圖陰影部分，若P，Q在可行域內(nèi)，則∠POQ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性，可知當(dāng)P，Q位于可行域的邊界點(diǎn)時(shí)，cos∠POQ最小，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,4x＋3y－25＝0，))得P(1,7)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,4x＋3y－25＝0，))得Q(4,3)．所以(cos∠POQ)min＝eq\f(1×4＋3×7,\r(12＋72)\r(42＋32))＝eq\f(\r(2),2).答案A8．對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，拋物線y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1與x軸相交于An，Bn兩點(diǎn)，|AnBn|表示該兩點(diǎn)間的距離，則|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2009B2009|＝()A.eq\f(2006,2007) B.eq\f(2007,2008)C.eq\f(2008,2009) D.eq\f(2009,2010)解析∵|AnBn|＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|AnBn|＝eq\f(1,1)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2009B2009|＝eq\f(2009,2010).答案D9．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,3)和(1,1)兩點(diǎn)，若0<c<1，則a的取值范圍是()A．(1,3) B．(1,2)C．[2,3) D．[1,3]解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝3，,a＋b＋c＝1，))∴a＋c＝2，c＝2－a.∵0<c<1，∴0<2－a<1，∴1<a<2.答案B10．在△ABC中，已知∠A<∠B(∠B≠90°)，那么下列結(jié)論肯定成立的是()A．cotA<cotB B．tanA<tanBC．cosA<cosB D．sinA<sinB解析∵∠A<∠B，∴a<b，∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA<sinB.答案D11．如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同始終線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為β，α(α<β)，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝()A.eq\f(asinαsinβ,sinβ－α) B.eq\f(asinαsinβ,cosα－β)C.eq\f(asinαcosβ,sinβ－α) D.eq\f(acosαsinβ,cosα－β)解析在△ADC中，∠DAC＝β－α，∴eq\f(a,sinβ－α)＝eq\f(AC,sinα)，∴AC＝eq\f(asinα,sinβ－α)，∴AB＝AC·sinβ＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α)，故選A.答案A12．已知a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，且0<logm(ab)<1，則m的取值范圍是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(0,8) D．(8，＋∞)解析∵a，b，a＋b成等差數(shù)列，∴2b＝2a＋b，b＝2∵a，b，ab成等比數(shù)列，∴a≠0，b≠0，b2＝a2b，∴b＝a2.∴a2＝2a，a＝2，∴b＝4，∴ab∵0<logm(ab)<1，∴m>8.答案D二、填空題(每題5分，共4個(gè)小題，共20分)13．函數(shù)y＝eq\f(3x,x2＋x＋1)(x<0)的值域是________．解析y＝eq\f(3,x＋\f(1,x)＋1)，∵x<0，∴x＋eq\f(1,x)≤－2.∴x＋eq\f(1,x)＋1≤－1，∴y∈[－3,0)．答案y∈[－3,0)14．已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍為_(kāi)_______．解析作出該不等式組表示的可行域，∵a>0，且僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，∴a>eq\f(1,2).答案a>eq\f(1,2)15．已知△ABC中，三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tanC的值為_(kāi)_______．解析∵2S＝absinC＝(a＋b)2－c2，c2＝a2＋b2＋2ab－absinC，∴2ab－absinC＝－2abcosC.∴sinC－2cosC＝2.∴sin2C＋4cos2C－4sinCcos∴tan2C＋4－4tanC＝4tan2∴3tan2C＋4tanC∴tanC＝0(舍)，或tanC＝－eq\f(4,3).答案－eq\f(4,3)16．①數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋2n(n∈N*)，則eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,an＋2)＋…＋eq\f(1,a2n)≥eq\f(1,5)；②數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an－1(n∈N*)，則a11＝1023；③數(shù)列{an}滿足an＋1＝1－eq\f(1,4an)，bn＝eq\f(2,2an－1)(n∈N*)，則數(shù)列{bn}是從其次項(xiàng)開(kāi)頭的等比數(shù)列；④已知a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n＋1(n∈N*)，則an＝2n以上命題正確的有________．解析∵Sn＝n2＋2n，∴an＝2n＋1，eq\f(1,an＋1)＋eq\f(1,an＋2)＋…＋eq\f(1,a2n)＝eq\f(1,2n＋3)＋eq\f(1,2n＋5)＋…＋eq\f(1,4n＋1)≥eq\f(n,4n＋1)＝eq\f(1,4＋\f(1,n))≥eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)等號(hào)成立，故①正確；∵an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)．∴eq\f(an＋1－1,an－1)＝2.∴{an－1}是等比數(shù)列，an－1＝2n－1.∴an＝2n－1＋1，a11＝210＋1＝1025，故②錯(cuò)誤；bn＋1＝eq\f(2,2an＋1－1)＝eq\f(2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4an)))－1)＝eq\f(2,2an－1)＋2＝bn＋2，∴{bn}是公差為2的等差數(shù)列，故③錯(cuò)誤；④中當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝22＝4，不滿足an＝2n－1，∴④錯(cuò)誤．答案①三、解答題(本題共6小題，共70分，其中17題10分，18、19、20、21、22題每題12分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(10分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝eq\r(3)，b2＋c2－eq\r(2)bc＝3.(1)求∠A；(2)設(shè)cosB＝eq\f(4,5)，求邊c的大?。?1)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2－2bccosA＝3.∴eq\r(2)bc＝2bccosA，∴cosA＝eq\f(\r(2),2)，∴∠A＝eq\f(π,4).(2)∵cosB＝eq\f(4,5)，∴sinB＝eq\f(3,5)，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＝eq\f(7\r(2),10).eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(\r(3)·\f(7\r(2),10),\f(\r(2),2))＝eq\f(7\r(3),5).18．(12分)在銳角△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊，且eq\r(3)a＝2csinA.(1)確定∠C的大小；(2)若c＝eq\r(7)，△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，求a＋b的值．解(1)由eq\r(3)a＝2csinA及正弦定理，得eq\f(a,c)＝eq\f(2sinA,\r(3))＝eq\f(sinA,sinC)，∵sinA≠0，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∴△ABC是銳角三角形，∴∠C＝eq\f(π,3).(2)解法1：∵c＝eq\r(7)，∠C＝eq\f(π,3).由面積公式得eq\f(1,2)absineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，即ab＝6.①由余弦定理，得a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝7，即a2＋b2－ab＝7.②由②變形得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.解法2：前同解法1，聯(lián)立①、②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝7，,ab＝6，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝13，,ab＝6，))消去b并整理，得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4，或a2所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，))故a＋b＝5.19．(12分)解關(guān)于x的不等式eq\f(ax＋1,x＋a)>1(其中|a|≠1)．解eq\f(ax＋1－x－a,x＋a)>0?(x＋a)[(a－1)x＋1－a]>0.當(dāng)a－1>0時(shí)，原不等式變?yōu)?x＋a)(x－1)>0，其解集為{x|x>1，或x<－a}．當(dāng)－1<a<1時(shí)，原不等式變?yōu)?x＋a)(x－1)<0，其解集為{x|－a<x<1}．當(dāng)a<－1時(shí)，原不等式變?yōu)?x＋a)(x－1)<0，其解集為{x|1<x<－a}．20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,2|x|).(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對(duì)于t∈[1,2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－eq\f(1,2x).由條件可知，2x－eq\f(1,2x)＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±eq\r(2).∵2x>0，∴x＝log2(1＋eq\r(2))．(2)當(dāng)t∈[1,2]時(shí)，2teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22t－\f(1,22t)))＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(1,2t)))≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)．∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]．故m的取值范圍是[－5，＋∞)．21．(12分)已知數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(2n＋2,n)an(n＝3ax2)．(1)證明：數(shù)列{eq\f(an,n)}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解(1)∵an＋1＝eq\f(2n＋2,n)an＝eq\f(2n＋1,n)an，∴a2＝2×eq\f(2,1)a1，a3＝2×eq\f(3,2)a2，a4＝2×eq\f(4,3)a3，…，an＝2×eq\f(n,n－1)an－1.上述式子相乘，an＝2n－1·na1，∴an＝n·2n－1.(2)Sn＝1×20＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2