《狀元之路》2022屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)：必修部分-開卷速查54-拋物線

開卷速查(五十四)拋物線A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練1．已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|∶|MN|＝()A．2∶eq\r(5) B．1∶2C．1∶eq\r(5) D．1∶3解析：射線FA的方程為x＋2y－2＝0(x≥0)．如圖所示，知tanα＝eq\f(1,2)，∴sinα＝eq\f(\r(5),5).過M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)G，由拋物線的定義知|MF|＝|MG|，∴eq\f(|FM|,|MN|)＝eq\f(|MG|,|MN|)＝sinα＝eq\f(\r(5),5)＝eq\f(1,\r(5)).故選C.答案：C2．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4eq\r(2)，則△POF的面積為()A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4解析：利用|PF|＝xP＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，可得xP＝3eq\r(2)，∴yP＝±2eq\r(6).∴S△POF＝eq\f(1,2)|OF|·|yP|＝2eq\r(3).故選C項(xiàng)．答案：C3．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|＝x0＋eq\f(p,2)＝5，則x0＝5－eq\f(p,2).又點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以以MF為直徑的圓的方程為(x－x0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))＋(y－y0)y＝0.將x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即eq\f(y\o\al(2,0),2)－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由yeq\o\al(2,0)＝2px0，得16＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)))，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程為y2＝4x或y2＝16x.故選C.答案：C4．點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是()A.y＝12x2B.y＝12x2或y＝－36x2C.y＝－36x2D.y＝eq\f(1,12)x2或y＝－eq\f(1,36)x2解析：將y＝ax2化為x2＝eq\f(1,a)y，當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－eq\f(1,4a)，由已知得3＋eq\f(1,4a)＝6，∴eq\f(1,a)＝12，∴a＝eq\f(1,12).當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y＝－eq\f(1,4a)，由已知得|3＋eq\f(1,4a)|＝6，∴a＝－eq\f(1,36)或a＝eq\f(1,12)(舍)．∴拋物線方程為y＝eq\f(x2,12)或y＝－eq\f(1,36)x2，故選D.答案：D5．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A.若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x解析：由拋物線方程知焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，∴直線l為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，與y軸交點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2))).∴S△OAF＝eq\f(1,2)·|OA|·|OF|＝eq\f(1,2)·|－eq\f(a,2)|·|eq\f(a,4)|＝eq\f(a2,16)＝4.∴a＝±8.∴拋物線方程為y2＝±8x，故選B.答案：B6．已知直線y＝k(x－m)與拋物線y2＝2px(p＞0)交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB于D.若動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足方程x2＋y2－4x＝0，則m＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：設(shè)點(diǎn)D(a，b)，則由OD⊥AB于D，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－\f(1,k)，,b＝ka－m，))則b＝－eq\f(km,1＋k2)，a＝－bk；又動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足方程x2＋y2－4x＝0，即a2＋b2－4a＝0，將a＝－bk代入上式，得b2k2＋b2＋4bk＝0，即bk2＋b＋4k＝0，－eq\f(k3m,1＋k2)－eq\f(km,1＋k2)＋4k＝0，又k≠0，則(1＋k2)(4－m)＝0，因此m＝4，故選D.答案：D7．已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線y2＝4x上，且動(dòng)圓恒與直線x＝－1相切，則此動(dòng)圓必過定點(diǎn)__________．解析：由于動(dòng)圓的圓心在拋物線y2＝4x上，且x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，所以由拋物線的定義知，動(dòng)圓確定過拋物線的焦點(diǎn)(1,0)．答案：(1,0)8．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交y軸于點(diǎn)A，拋物線上有一點(diǎn)B滿足eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△BOF的面積是__________．解析：由題可知F(1,0)，可設(shè)過焦點(diǎn)F的直線方程為y＝k(x－1)(可知k存在)，則A(0，－k)，∴B(1，－k)，由點(diǎn)B在拋物線上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，S△BOF＝eq\f(1,2)·|OF|·|yB|＝eq\f(1,2)×1×2＝1.答案：19．已知直線y＝k(x－2)(k＞0)與拋物線y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則k的值為__________．解析：直線y＝k(x－2)恰好經(jīng)過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－2，))可得ky2－8y－16k＝0，由于|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，則yA＋yB＝－2yB＋yB＝eq\f(8,k)，所以yB＝－eq\f(8,k)，yA·yB＝－16，所以－2yeq\o\al(2,B)＝－16，即yB＝±2eq\r(2)，又k＞0，故k＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)10．已知拋物線E：x2＝2py(p＞0)，直線y＝kx＋2與E交于A、B兩點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線E的方程；(2)點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，－2)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)－2k2為定值．解析：(1)將y＝kx＋2代入x2＝2py，得x2－2pkx－4p＝0.其中Δ＝4p2k2＋16p＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋eq\f(x\o\al(2,1),2p)·eq\f(x\o\al(2,2),2p)＝－4p＋4.由已知，－4p＋4＝2，p＝eq\f(1,2).所以拋物線E的方程x2＝y(tǒng).(2)由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.k1＝eq\f(y1＋2,x1)＝eq\f(x\o\al(2,1)＋2,x1)＝eq\f(x\o\al(2,1)－x1x2,x1)＝x1－x2，同理k2＝x2－x1，所以keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16.B級(jí)力氣提升練11．已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．2 D.eq\r(5)－1解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為eq\f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值為eq\r(5)－1.答案：D12．已知拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F與雙曲線eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在拋物線上，且|AK|＝eq\r(2)|AF|，則△AFK的面積為()A．4 B．8C．16 D．32解析：由題可知拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(4,0)．過點(diǎn)A作直線AA′垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為A′，依據(jù)拋物線定義知，|AA′|＝|AF|，在△AA′K中，|AK|＝eq\r(2)|AA′|，故∠KAA′＝45°，所以直線AK的傾斜角為45°，直線AK的方程為y＝x＋4，代入拋物線方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8.所以△AFK為直角三角形，故△AFK的面積為eq\f(1,2)×8×8＝32.答案：D13．如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．解析：(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)．∵點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1.(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，∴kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得yeq\o\al(2,1)＝4x1，①yeq\o\al(2,2)＝4x2，②∴eq\f(y1－2,\f(1,4)y\o\al(2,1)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(1,4)y\o\al(2,2)－1)，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．14．[2022·安徽]如圖，已知兩條拋物線E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，過原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點(diǎn)，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(diǎn)．(1)證明：A1B1∥A2B2；(2)過O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點(diǎn)．記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求eq\f(S1,S2)的值．解析：(1)設(shè)直線l1，l2的方程分別為y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x，,y2＝2p1x，))得A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k\o\al(2,1))，\f(2p1,k1)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x，,y2＝2p2x，))得A2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k\o\al(2,1))，\f(2p2,k1))).同理可得B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k\o\al(2,2))，\f(2p1,k2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k\o\al(2,2))，\f(2p2,k2))).所以eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k\o\al(2,2))－\f(2p1,k\o\al(2,1))，\f(2p1,k2)－\f(2p1,k1)))＝2p1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k\o\al(2,2))－\f(1,k\o\al(2,1))，\f(1,k2)－\f(1,k1)))，eq\o(A2B2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k\o\al(2,2))－\f(2p2,k\o\al(2,1))，\f(2p2,k2)－\f(2p2,k1)))＝2p2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k\o\al(2,2))－\f(1,k\o\al(2,1))，\f(1,k2)－\f(1,k1))).故eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\f(p1,p2)eq\o(A2B2,\s\up6(→))，所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1