【創(chuàng)新設(shè)計】2022屆-數(shù)學一輪(理科)蘇教版-江蘇專用-第五章-平面向量-課時作業(yè)5-2

第2講平面對量基本定理及坐標表示基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．(2021·泰州檢測)已知在?ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,8)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,4)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.解析由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,12)．答案(－1,12)2．(2022·福建卷)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是________(填序號)．①e1＝(0,0)，e2＝(1,2)；②e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)；③e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；④e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)．解析由題意知，①中e1＝0，③，④中兩向量均共線，都不符合基底條件，只有②適合．答案②3．(2022·青島質(zhì)量檢測)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析由題意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件．答案充要4．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c＝________(用a，b表示)．解析設(shè)c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.答案eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數(shù)x的值為________．解析由于a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又由于u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為________．解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.解析以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設(shè)每個小正方形邊長為1)，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝4.答案48.(2021·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，eq\o(BG,\s\up6(→))＝2eq\o(GO,\s\up6(→))，若eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(AG,\s\up6(→))，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ的值為________．解析由于eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(AG,\s\up6(→))，由向量共線定理可得存在實數(shù)k，使得eq\o(CD,\s\up6(→))＝keq\o(AG,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))，又由BO是邊AC上的中線，eq\o(BG,\s\up6(→))＝2eq\o(GO,\s\up6(→))得點G為△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(k,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，由平面對量的基本定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＝\f(k,3)，,λ－1＝\f(k,3)，))解得λ＝eq\f(6,5).答案eq\f(6,5)二、解答題9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標原點，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．10．如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).解法一設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則a＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b))，①b＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a)).②將②代入①，得a＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a))))，∴a＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(2d－c)，③將③代入②，得b＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(2,3)(2c－d)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．法二設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.因M，N分別為CD，BC的中點，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，因而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2d－c，,b＝\f(2,3)2c－d，))即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．力量提升題組(建議用時：25分鐘)1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為________．解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.答案60°2．在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點且∠AOC＝eq\f(π,4)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.解析由于|OC|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)3．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是________．解析由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2－m,1－m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，則－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠eq\f(5,4).答案m≠eq\f(5,4)4.如圖，已知點A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標．解如圖所示，以A，B，C為頂點的平行四邊形可以有三種狀況：①?ABCD；②?ADBC；③?ABDC.設(shè)D的坐標為(x，y)，①若是?ABCD，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x＝－1，,－2－y＝2，))∴x＝0，y＝－4.∴D點的坐標為(0，－4)(如圖中所示的D1)．②若是?ADBC，由eq\o(CB,\s\up6(