ch5直流動態(tài)電路分析-2

5.5二階電路的分析凡是能用二階線性常微分方程描述的動態(tài)電路稱為二階（線性）電路。5.5.1二階串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

若電容的初始電壓uC(0+)=uC(0－)=U0，電感中的初始電流i(0+)=i(0－)=I0。在t=0時合上開關(guān)S。圖RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)+uC

+uL

+uR

St=0CR

iL按照KVL

將代入上式得

上式是一個以uC為未知量的二階、線性、常系數(shù)、齊次微分方程，設(shè)齊次解為Kest，將它代入上式，可得特征方程圖RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)+uC

+uL

+uR

St=0CR

iL根號前有正負(fù)兩個符號，所以特征根有兩個值。特征根是電路的固有頻率，它將決定零輸入響應(yīng)的形式。由于R、L、C參數(shù)不同,特征根S1，S2可能出現(xiàn)三種不同情況：其特征根為(2)當(dāng)

(R/2L)2=1/LC時，S1，S2是兩個相同負(fù)實根；(1)當(dāng)

(R/2L)2>1/LC時，S1，S2是兩個相異負(fù)實根；(3)當(dāng)

(R/2L)2<1/LC時，S1，S2是兩個共軛復(fù)根，其實部為負(fù)數(shù)。所以，RLC電路的零輸入響應(yīng)也分為三種情況來討論。時，稱為過阻尼情況。1.此時特征根是兩個相異實根，而且均為負(fù)根，過渡過程為非振蕩放電過程，其通解可表示為其中K1和K2為兩個待定的系數(shù)。由電路的初始條件決定，該電路有兩個儲能元件，相應(yīng)的初始條件有兩個，即電容電壓和電感電流的初始值時，稱為過阻尼情況。1.此時特征根是兩個相異實根，而且均為負(fù)根，過渡過程為非振蕩放電過程，其通解可表示為其中K1和K2為兩個待定的系數(shù)。由電路的初始條件決定，該電路有兩個儲能元件，相應(yīng)的初始條件有兩個，即電容電壓和電感電流的初始值因，所以有得將這兩個初始條件代入式以上兩個方程聯(lián)立求解，可得常數(shù)K1和K2。把K1和K2代入式整理可得電容電壓電路電流根據(jù)

并利用

可得

電感電壓根據(jù)可得U0≠0，I0=0相當(dāng)于充了電的電容器對沒有電流的線圈放電的情況。因為S1，S2是兩個負(fù)實數(shù)，所以電容電壓由兩個單調(diào)下降的指數(shù)函數(shù)組成，其放電過程是單調(diào)的衰減過程。又因為

S1>S2，根據(jù)電流i可知

，放電電流i始終為負(fù)，在t=0時，i=0，在

t=∞時電容的電場能量全部為電阻消耗，電流也是零。在中間某一時刻t=tm時，電流i數(shù)值最大。由di/dt

=0，可算出圖非振蕩放電過程uC

、uL、i隨時間的變化曲線Otm

2tmtiuC，uL，i

U0uLuCU0非振蕩放電過程中，在0~tm期間，電容中的電場能量一部分消耗在電阻上，另一部分則變?yōu)殡姼兄械拇艌瞿芰?。?dāng)t>tm時，電容中剩余的電場能量和電感中的磁場能量都逐漸消耗在電阻上。當(dāng)t=tm時，電感電壓過零點，當(dāng)t=2tm時，電感電壓為最大。圖非振蕩放電過程uC

、uL、i隨時間的變化曲線Otm

2tmtiuC，uL，i

U0uLuCU0時，稱為臨界阻尼情況2.此時特征根是兩個相等的負(fù)實根，

S1=S2=－R/2L=

－α，微分方程的通解為由初始條件

因所以有

將這兩個初始條件代入式得電路電流時，稱為欠阻尼情況

3.此時過渡過程為振蕩放電過程其中

特征根為

可得

其中可見uC(t)是衰減振蕩的，振蕩頻率為

圖振蕩放電過程uC隨時間的變化曲線振蕩頻率與電路參數(shù)有關(guān)，而與電源的頻率無關(guān)。稱為自由振蕩。

從能量關(guān)系看，在振蕩放電過程中，電容中的電場能量和電感中的磁場能量反復(fù)交換，電容反復(fù)地充電放電，其兩端電壓和電路電流以及電感電壓均周期變化，這種過程稱為電磁振蕩。由于電阻消耗能量，故振蕩過程中電磁能量不斷減少，即電容電壓和電路電流不斷減少，最終全部消耗在電阻上，各電壓電流都衰減到零。放電過程中電容電壓和電路電流分別為：其中當(dāng)R=0時，α=0，則電容電壓和電路電流分別為可以看出：uC，i

的振幅并不衰減，這時的響應(yīng)為等幅振蕩，其振蕩角頻率為ω0

。可以看出：uC，i

的振幅并不衰減，這時的響應(yīng)為等幅振蕩，其振蕩角頻率為ω0

。當(dāng)L、C為任意正值時，可以得出對所有t≥0，總有即任何時刻儲能總等于初始時刻的儲能，能量不斷往返于電場與磁場之間，永不消失。綜上所述，電路的零輸入響應(yīng)的性質(zhì)取決于電路的固有頻率s，固有頻率可以是復(fù)數(shù)、實數(shù)或虛數(shù)，從而決定了響應(yīng)為衰減振蕩過程、非振蕩過程或等幅振蕩過程。例5-14

如圖所示電路中，已知US=10V，C=1μF，R=4KΩ，L=1H，開關(guān)S原來閉合在1點，在t=0時，開關(guān)S由1合向2點。求（1）uC，uR，uL，i；(2)imax。圖5-42例5-14電路圖

解

（1）在t=0

時，電容用開路線代替，得

t

0后該電路無激勵，為零輸入響應(yīng)。由R、L、C參數(shù)知放電過程為非振蕩的，特征根為

（2）電流最大值發(fā)生在時刻，即例5-15

某RLC串聯(lián)電路的R=1

，固有頻率為－3±j5。電路中的L、C保持不變，試計算：（1）為獲得臨界阻尼響應(yīng)所需的R值；（2）為獲得過阻尼響應(yīng)，且固有頻率之一為s1=－10時所需的R值。解

（1）固有頻率

現(xiàn)要使

（2）要使

解得

R=2.23

RLC串聯(lián)電路，若電容C原先已充電，其初始電壓uC(0+)=uC(0－)=U0

，電感中的初始電流i(0+)=i(0－)=I0

。在t=0時合上開關(guān)S，由于電路中有直流激勵源，即為RLC串聯(lián)電路完全響應(yīng)。5.5.2二階串聯(lián)電路的完全響應(yīng)對圖示電路，按照KVL可寫出將代入上式得

其解由該方程的特解（穩(wěn)態(tài)分量）和對應(yīng)的齊次微分方程的通解（暫態(tài)分量）組成。穩(wěn)態(tài)時電容相當(dāng)于開路，故特解

uCP=US齊次解設(shè)為

uCh=Kest

，得特征方程

LCs2+RCs+1=0

其特征根為：由于RLC參數(shù)不同,特征根s1，s2可能是兩個相異實根、兩個共軛復(fù)根或兩個相等的實根，所以RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)也分為三種情況來討論。

為過阻尼情況。特征根是兩個相異實根，而且均為負(fù)根，其通解可表示為1.2.臨界阻尼情況。特征根是兩個相等的負(fù)實根，即

S1=S2=－R/2L=

－α，其通解為

3.為欠阻尼情況。此時特征根是兩個共軛復(fù)根，則特征根為

其中其通解為

以上幾式中K1和K2為兩個待定的系數(shù)。由電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)=uC(0－)=U0

，i(0+)=i(0－)=I0決定。例5-16

電路如圖（a）所示，當(dāng)t

0時，uS(t)=－1V，在t=0時，uS(t)突然增至1V，以后一直保持為此值，如圖（b）所示。試求電容電壓和電感電流。

例5-16電路及輸入波形解t=0

時，電容用開路線代替，電感用短路線代替，可知uC(0－)=－1V，i(0－)=0A，根據(jù)電容電壓和電感電流的連續(xù)性有

uC(0+)=－1V，i(0+)=0A，t

0后為全響應(yīng)，電路方程為

因為R=0

，所以

對應(yīng)的特征根為s1，2=±j

，其通解為

根據(jù)uC(0)=－1V，i(0)=0A，得

K1=－2，K2=0

所以

5.5.3二階并聯(lián)電路的響應(yīng)

圖GCL并聯(lián)電路如圖所示為一GCL并聯(lián)電路,若電容C原先已充電，其初始電壓uC(0+)=uC(0－)=U0

，電感中的初始電流i(0+)=i(0－)=I0。在t=0時合上開關(guān)S，按照KCL可寫出代入上式得

這是一個以iL為未知量的二階、線性、常系數(shù)、非齊次微分方程，可看出：把串聯(lián)電路方程中的uC換成iL，L換成C，C換成L，R換成G，US換成IS就會得到以上并聯(lián)電路的方程。因此按照上述對偶原理，不難從已有的RLC串聯(lián)電路的解答得到GCL并聯(lián)電路的解答，此處不再詳解。

例5-17

圖所示GCL并聯(lián)電路，已知u(0)=0V，iL(0)=0A，IS=1A(t>0)，L=1H，C=1F。求：t>0時iL(t)

的響應(yīng)，若(1)G=10S，(2)G=2S，(3)G=0.1S。解該電路為GCL并聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)，微分方程為根據(jù)RLC串聯(lián)電路和GCL并聯(lián)電路的對偶原理，得特征根為且特解iLP=IS=1A(1)G=10S時，(G/2C)2>1/LC

屬于過阻尼，特征根為

則通解根據(jù)u(0)=0V，iL(0)=0A，得由此解得所以(2)G=2S時，(G/2C)2=1/LC屬于臨界阻尼，特征根為s1=s2=－1則通解

根據(jù)u(0)=0V，iL(0)=0A得由此解得K1=K2=－1，所以(3)G=0.1S時，(G/2C)2<1/LC屬于欠阻尼，特征根為則通解

根據(jù)u(0)=0V，iL(0)=0A得由此解得K1=－1，K2=－α/ω=－0.05所以三種情況iL的波形如圖5-46所示。圖5-46例5-17的電流波形5.4一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)

5.4.1一階電路的階躍響應(yīng)1．階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)用ε(t)表示，其定義t1ε(t)O該函數(shù)在（0

，0+）時間內(nèi)發(fā)生單位躍變，在t=0時的值未定（可取0、1/2或1）。在時間t0時發(fā)生躍變的單位階躍函數(shù)為延時單位階躍函數(shù)，用ε(t-t0)表示，其定義為t1ε(t)t0O利用階躍函數(shù)的組合可以方便地表示許多函數(shù)。例如下圖所示的矩形脈沖函數(shù)可以看成階躍函數(shù)的組合，即tAf(t)Ot0tAf1(t)Ot-Af2(t)O2．一階電路的階躍響應(yīng)零狀態(tài)電路對（單位）階躍函數(shù)的響應(yīng)稱為（單位）階躍響應(yīng)，并用s（t）表示。如果電路是一階的，則其響應(yīng)就是一階電路的階躍響應(yīng)。由于時不變電路的電路參數(shù)不隨時間變化，因此，若單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)為s（t），則在延時單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)為s（t-t0

），這一性質(zhì)稱為時不變性。如果電路的輸入是幅度為A的階躍函數(shù)，則根據(jù)零狀態(tài)的比例性可知As（t）即為該電路的零狀態(tài)響應(yīng)。

例5-11給如圖（a）所示RC串聯(lián)電路加一脈沖電壓如圖（b）所示，試求電容電壓。+

uC

RC

+uS

tUsus(t)Ot0圖（a）圖（b）解此題可用兩種方法求解方法一將電路的工作過程分段求解在0≤t≤t0區(qū)間為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)在t0

≤t≤∞區(qū)間為RC電路的零輸入響應(yīng)方法二將us(t)用階躍函數(shù)表示，求階躍響應(yīng)將us(t)用階躍函數(shù)表示為

作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為利用疊加定理，得5.4.2一階電路的沖激響應(yīng)1．沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)用δ(t)表示，其數(shù)學(xué)定義為單位沖激函數(shù)又稱為δ函數(shù)，它在t≠0處為零，但在t=0時為奇異。圖（a）矩形脈沖OtOtδ(t)圖（b）單位沖激函數(shù)δ(t)1單位沖激函數(shù)又稱為δ函數(shù)，它在t≠0處為零，但在t=0時為奇異。單位沖激函數(shù)可看作是如圖（a）所示矩形脈沖在Δ趨于0時的極限。當(dāng)其寬度趨于零時，則脈沖的幅度就變?yōu)闊o限大，而面積仍為1。沖激函數(shù)所包含的面積稱為其強(qiáng)度，函數(shù)是用它的強(qiáng)度而不是用它的幅度來表征的。2．沖激函數(shù)常數(shù)A與δ(t)的乘積稱為沖激函數(shù)，此沖激函數(shù)的積分表明函數(shù)的圖形面積為A，A是該函數(shù)的強(qiáng)度。Aδ(t)的圖形如圖（a）所示。延時t0出現(xiàn)的沖激函數(shù)可記為，它的圖形如圖（b）所示。OtAδ(t)AOtδ(t-t0)t01圖（a）Aδ(t)的圖形圖（b）δ(t-t0)的圖形沖激函數(shù)的兩個重要性質(zhì)：1）沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)單位沖激函數(shù)的定義，可得即單位沖激函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（2）沖激函數(shù)的篩分性

若函數(shù)f(t)在t=0處連續(xù)，有

若函數(shù)f(t)在t=t0

處連續(xù)，有

利用沖激函數(shù)的篩分性，可以得到兩個重要的積分公式

這說明，沖激函數(shù)能把f(t)在沖激存在時刻的函數(shù)值“篩選”出來，這一性質(zhì)稱為沖激函數(shù)的篩分性。2．一階電路的沖激響應(yīng)零狀態(tài)電路對單位沖激函數(shù)的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，并用h（t）表示。求沖激響應(yīng)時，可以分兩個階段進(jìn)行。（1）在t=0

到t=0+

的區(qū)間內(nèi)，這是電路在沖激函數(shù)作用下引起的零狀態(tài)響應(yīng)，電容電壓或電感電流發(fā)生躍變，而儲能元件得到能量；（2）t＞0+后電路中的響應(yīng)相當(dāng)于由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)。

例5-12如圖（a）所示RC并聯(lián)電路，試求此電路在沖激電流源激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。icAδ(t)RC+uc-解

在t=0

到t=0+

的區(qū)間內(nèi)，電容支路相當(dāng)于短路，等效電路如圖5-36（b）所示。沖激電流Aδ(t)全部通過電容，對電容充電，致使電容電壓發(fā)生變化，其值為圖（a）icAδ(t)R圖（b）t≥0+時，沖激電流源相當(dāng)于開路，等效電路如圖（c）所示。電容電壓為icRC+uc-圖（c）電容電流為上式說明了t<0時電容電流為零。t=0時只有沖激電流通過電容，（因為沖激電流量值很大，因而上式中t=0時第一項為有限值可以忽略）。t>0+時，電容電流以-A/RC為初始值按指數(shù)規(guī)律衰減。5.6動態(tài)電路的應(yīng)用5.6.1微分電路

+uo

+uC

+ui

CR圖RC微分電路設(shè)uc(0-)=0，輸入信號ui是占空比為50%的脈沖序列。ui的脈沖幅度為U，在0≤t<tw時，電路相當(dāng)于接入階躍電壓。由RC電路的充電過程，其輸出電壓為uoU

U0tt0T/2TuiU

tw圖(b)RC微分電路的波形在T>t≥tw時，輸入信號ui為零，輸入端短路，電路相當(dāng)于電容初始電壓值為U的放電過程，其輸出電壓為uoU

U0tt0T/2TuiU

tw圖(b)RC微分電路的波形當(dāng)時間常數(shù)τ<<tw時，電容的放電過程很快完成，輸出uo是一個峰值為

U的負(fù)尖脈沖.因為τ<<tw，電路充放電很快，除了電容剛開始充電或放電的一段極短的時間外，有

ui=uC+uo≈uC

因而輸出電壓可見輸出電壓uo近似地與輸入電壓ui對時間的微分成正比，因此習(xí)慣上稱這種電路為微分電路。注意：在輸入周期性矩形脈沖信號作用下，RC微分電路必須滿足兩個條件：（1）時間常數(shù)遠(yuǎn)小于輸入脈沖的寬度，即τ<<tw；（2）從電阻兩端取輸出電壓uo。+uo

+uC

+ui

CR圖5-50RC積分電路5.6.2積分電路+uo

+uC

+