2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解：專題14 統(tǒng)計(jì) 含解析

一.知識列表

高考要求

本講模塊高考考點(diǎn)

了解理解掌握

頻率估計(jì)概率A

古典概型互斥事件與對立事件C

古典概型C

長度型幾何概型B

幾何概型面積型幾何概型C

體積型幾何概型B

回歸宜線B

獨(dú)立性檢驗(yàn)C

統(tǒng)計(jì)

離散型隨機(jī)變量的分布列及期望

C

方差

二.基礎(chǔ)知識：

古典概型

1.頻率和概率

(1)在相同條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件4是否出現(xiàn)，則〃次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的

次數(shù)根為事件4出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例力(A)=-為事件A出現(xiàn)的頻率；

n

(2)如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率0(4)穩(wěn)定在某個(gè)營數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記

為P(A),稱為事件A的概率.簡稱為A的概率；

(3)頻率和概率有本質(zhì)區(qū)別，頻率隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)；對于給定

的事件4,由于事件A發(fā)生的頻率力(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率尸(A),因此可以

用頻率￡(A)來估計(jì)概率P(A).概率的取值范圍：0<P(A)<1

2.互斥事件：如果ACI8為不可能事件408=。，則稱事件A與事件8互斥，即事件A與

事件B在任何一次試驗(yàn)中不會同時(shí)發(fā)生.互斥事件的概率加法公式：

尸(AUB)=P(A+B)=尸(A)+P(B)

P（AU&U…U4）=P（A）+尸（&）+…+尸（4）

3.對立事件：若Ap|B為不可能事件，而AUB為必然事件，那么事件A與事件3互為對

立事件，其含義是事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生.

對立事件的概率：P（A）=1-P（A）

4.古典概型

（1）基本事件：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件.

基本事件的特點(diǎn)：

①任何兩個(gè)基本事件是互斥.

②任何事件都可以表示成基本事件的和.

（2）古典概型的兩大特點(diǎn)：

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

5.古典概型的概率計(jì)算公式：

P（A）=，黨磐言氏數(shù)二竺（〃為總的基本事件個(gè)數(shù)，》為事件A的結(jié)果數(shù)）.

,7總的基本事件個(gè)數(shù)〃

6.幾何概型

（1）幾何概型的概念

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率

模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

（2）幾何概型的概率公式

zX構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面枳或體積）

［廠試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的的區(qū)域的長度（面積或體積）

7.統(tǒng)計(jì)

1.抽樣方法

（D抽樣要具有隨機(jī)性、等可能性，這樣才能通過對樣本的分析和研究更準(zhǔn)確的反映總體的

情況，常用的抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.

（2）簡單隨機(jī)抽樣是指一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為四（較小的有限數(shù)），通過逐個(gè)抽取一個(gè)樣本，且每

次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等.簡單隨機(jī)抽樣的兩種常用方法為抽簽法和隨機(jī)數(shù)表

法.

（3）分層抽樣是總體由差異明顯的幾部分組成，常將總體按差異分成幾個(gè)部分，然后按各部

分所占比例抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

(4)系統(tǒng)抽樣是當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，將總體均分成幾部分，按事先按確定的在各部分抽

取.

2.總體分布的估計(jì)

(1)作頻率分布直方圖的步驟：

①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)

②決定組距與組數(shù)

③將數(shù)據(jù)分組

④列頻率分布表(下圖)

分組頻數(shù)頻率累計(jì)頻率

［仙八)弓/1

楂，G)r2f^fi

…?????????

4A￡+&+…+￡=1

⑤畫頻率分布直方圖，將區(qū)間［〃，份標(biāo)在橫軸上，縱軸表示頻率與組距的比值，以每個(gè)組

距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫矩形，共得A個(gè)矩形，這樣得到的圖形叫頻率

分布直方圖.

頻率分布直方圖的性質(zhì)：①第i個(gè)矩形的面積等于樣本值落入?yún)^(qū)間4)的頻率；②由于

工+人+…+￡=1,所以所有小矩形的面積的和為1.

(2)連接頻率分布直方圖中各小長方形上邊的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量

的增加，折線圖會越來越近似于一條光滑曲線，稱之為總體密度曲線.

(3)統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是中格中間的一列數(shù)，葉是從莖旁邊

長出來的一列數(shù).

用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始信息的損失，所有的數(shù)據(jù)信

息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖可以在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄與表示.

3.平均數(shù)和方差的計(jì)算

-1

(1)如果有〃個(gè)數(shù)據(jù)X],Xn,則1二—(3+/+…+工”)

n

2

叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，/=A[(X1-X)2+(X2-X)2+...+(Xn-X)]

n

叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差.

1—2

⑵公式/=—?J+1,2+-/?)-nx]

n

(3)當(dāng)一組數(shù)據(jù)%,電，…，豆中各數(shù)較大時(shí)，可以將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)〃，得到

112

x^=x-a,x2—x2—a,-,x^=x~a,則=_[(芭'2+12'2+...+工“2)一〃X]

n

4.利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征

(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以

估計(jì)中位數(shù)值.

(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.

(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(4)極差=最大數(shù)一最小的數(shù).

5.兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系

(1)如果兩個(gè)變量之間沒有函數(shù)關(guān)系所具有的確定性，它們的關(guān)系帶有隨機(jī)性，則稱這兩個(gè)

變量具有相關(guān)關(guān)系.

(2)有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，若一個(gè)變量的值由小到大時(shí)，另一個(gè)變量的值也是由小到大，

這種相關(guān)稱為正相關(guān)；反之，一個(gè)變量的值由小到大，另一個(gè)變量的值由大到小，這種相關(guān)

稱為負(fù)相關(guān).

(3)如果散點(diǎn)圖中，具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量所有觀察值的數(shù)據(jù)點(diǎn)，分布在一條直線附近，

則稱這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，方程為

人ZRM一欣A

其中石=々-----------a=y-bx

f七2一〃⑸2

(4)樣本的相關(guān)系數(shù)

Z%y一欣.其

r=./=1------------

岳…)2$。「剪2

V/=1i=i

當(dāng)，＞0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)rvO時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，|川越接近于1,

表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)：|一|越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)

關(guān)系.通常當(dāng)|r|>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

6.獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)分類變量

用變量的不同“值”，表示個(gè)體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量.例如：是否

吸煙，宗教信仰，國籍等.

(2)列聯(lián)表：即列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表：一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量［和亍，它們的

值域分別為｛石,4｝和｛%，％｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為：

%合計(jì)

y2

*aba+b

X2Cdc+d

合計(jì)a+cb+dn

其中〃=a+Z?+c+d為樣本容量.

(3)可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較為準(zhǔn)確地給出這種

判斷的可靠程度，具體做法是：根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算由公式犬2=^―__

(a+b\(a+c)(c+d)(b+d)

所給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量的觀測值上并且女的值越大，說明“x與y有關(guān)系”成立的可能

性越大，同時(shí)可以利用以下數(shù)據(jù)來確定“x與丫有關(guān)系”的可信程度.

這種利用隨機(jī)變量K?來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法

稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

3.典例分析

例1.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲蓄所一個(gè)營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:

排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少;

(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少.

【答案】C

記“無人排隊(duì)等候”為事件A,“1人排隊(duì)等候”為事件“2人排隊(duì)等候”為事件C,“3

人排隊(duì)等候”為事件“4人排隊(duì)等候”為事件E,“5人及5人以上徘隊(duì)等候”為事件產(chǎn)，

則事件比F互斥.

(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G,則6=4+8+。，所以

尸(G)=P(4)+P(5)+P(Q=0.1+0.16+03=0.56.

(2)方法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件”，則〃=。+七+/，所以

P(H)=尸(。)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件〃，則其對立事件為事件G,所以

P(//)=1-P(G)=1-0.56=0.44.

練習(xí)1.在12件瓷器中，有10件一級品，2件二級品，從中任取3件.

(1)”3件都是二級品”是什么事件？

(2)“3件都是一級品”是什么事件？

(3)“至少有一件是一級品”是什么事件？

【答案】(1)不可能事件(2)隨機(jī)事件(3)必然事件

(1)因?yàn)?2件瓷器中，只有2件二級品，取出3件都是二級品是不可能發(fā)生的，故是不

可能事件.

(2)“3件都是一級品”在題設(shè)條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機(jī)事件.

(3)“至少有一件是一級品”是必然事件，因?yàn)?2件瓷器中只有2件二級品，取三件必有

一級品.

練習(xí)2.盒中僅有4只白球5只黑球，從中任意取出一只球.

(1)“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？

(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？

(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

4

【答案】(1)0,(2)-(3)1

9

【解析】(1)“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下根本不可能發(fā)生，因此它是不可能事件，其概率為0.

(2)“取出的球是白球”是隨機(jī)事件，它的概率是：4.

9

(3)“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2.已知〃力,c為集合4={1,2.3,4,5,6}中三個(gè)不同的數(shù)，通過右邊框圖給出的一個(gè)算法

輸出一個(gè)整數(shù)〃，則輸出的數(shù)〃=5的概率是()

￡

D.

5

【答案】A

根據(jù)框圖判斷，本框圖輸出的。為輸入的一:個(gè)數(shù)。g,c?中的最大值

最大值是3的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,1種情況

最大值是4的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3里兩個(gè)以及4,3種情況

最大值是5的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,4里兩個(gè)數(shù)以及5,6種情況

最大值是6的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,4,5里兩個(gè)數(shù)及6,10種情況

〃二5的概率:

2

故答案為

練習(xí)1.五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己

的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人繼續(xù)坐著.那么,

沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為

【答案】C

【解析】五個(gè)人的編號為12345

由題意，所有事件共有2,=32種，沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的基本事件有

(1),(2),(3),(4),(5),(13),(1,4),(2,4),再力吐(25),(3,5)

沒有人站起來的可能有1種，共11種情況,

所以沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為二

32

故答案選。

練習(xí)2.一鮮花店一個(gè)月（30天）某種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:

日銷售量

0?4950?99100?149150?199200?250

（枝）

銷售天數(shù)

3天3天15天6天3天

（天）

將日銷售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率.

（1）試求這30天中日銷售量低于100枝的概率；

（2）若此花店在日銷售量低于1Q0枝的6天中選擇2天作促銷活動，求這2天的日銷售量

都低于50枝的概率（不需要枚舉基本事件）.

【答案】（1）（2）-

55

3|3I

(1)設(shè)日銷售量為工，則尸(O?x<49)=3=一,P(50<x<100)=—=—

'73010'73010

由互斥事件的概率加法公式,

P（0<x<100）=P（0<x<49）+P（50<x<100）=y-+-p=1.

注：直接按照古典概型的計(jì)算公式，得尸（0<x<10（））=噤=（.同樣給分.

（2）日銷售量低于100枝共有6天，從中任選兩天促銷共有〃=15種情況；日銷售量低于

50枝共有3天，從中任選兩天促銷共有6=3種情況.

由古典概型的概率計(jì)算公式，所求概率尸=±3=上1.

155

【防陷阱措施】求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事

件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法,

具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.

例3.在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p,則方程/一座+3P-8=0有兩個(gè)正根的概率

為（）

A.-B.-C.-D.-

3324

【答案】因

A>0

Q

方程爐-px+3〃一8=0有兩個(gè)正根，則有<西+/>0，即解得或5cpM4,

（中2>0

又p￡[0,4],由幾何概型概率公式可得方程Y―*+3〃-8=0有兩個(gè)正根的概率為

)8

4—]

p=--------=—,故選0.

4-03

練習(xí)1.在棱長為〃的正方體中隨機(jī)地取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與正方體各表面的距離都大于色的

3

概率為（）

A.—B.—C.-I）.一

271693

【答案】A

符合條件的點(diǎn)2落在棱長為-的正方體內(nèi)，

3

葭

根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得P---

a327

練習(xí)2.正方體43CO—AgGA中，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動（包括端點(diǎn)），則研與AR所成

角的取值范圍是（）

717171717171471

A.B.C.D.

7,742『563

【答案】1）

【解析】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，D4、DC、DD］分別為*y.z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為b設(shè)點(diǎn)

P坐標(biāo)為（％』一毛%）,則於=（x—L—%x）,屬=（-LOJ）設(shè)麗函的夾角為a,所以

肉商二麻一423虛二瓦」三項(xiàng)＞所以當(dāng)時(shí)，cosa取最大值

3)3

當(dāng)x=l時(shí)，cosa取最小值」,a=工.

23

因?yàn)?CJ/AQ.

故選D.

例4.太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖形圖案，它形象化地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)，相反相成

是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美.按照太極圖的構(gòu)圖

方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓。被y=3sin^x的圖象分割為兩個(gè)對稱的魚形圖案，其中

6

小圓的半徑均為1,現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）

【答案】B

設(shè)大圓的半徑為R,則：/?=-=-x—=6,

22￡

6

則大圓面積為：y=4氏2=36笈，小圓面積為：§2=4x/x2=2/r,

2乃1

則滿足題意的概率值為：p=—=—.本題選擇B選項(xiàng).

36418

練習(xí)1.北宋歐陽修在《賣油翁》中寫道：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓

酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，因曰：“我亦無他，唯手熟爾.”可見技能都能通過反復(fù)苦

練而達(dá)至熟能生巧之境地.若銅錢是半徑為1.2?！ǖ膱A，中間有邊長為0.4c機(jī)的正方形孔，

你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油滴(油滴的大小忽略不計(jì)?)正好落入孔中的概率為()

4151

A.—B.—C.—D.—

9兀9冗6乃67r

【答案】B

0421

概率為幾何概型，測度為面積，概率=-^=——，選B.

1.2~49兀

練習(xí)2.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位停靠6小時(shí)，假定它們在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)地

到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待的概率是()

(91八7

A.—Bn.-C.—D

16216-I

【答案】@

【解析】設(shè)甲到達(dá)的時(shí)刻為x,乙到達(dá)的時(shí)刻為則所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?/p>

Q={(x,y)|0<x<24,0<j<24},設(shè)“這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待”為事件4則

事件X包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)锳={{xty)|0<x<24,0<j<24;|x-y|<6},如圖中陰影部分

所

乙

船

到

達(dá)

時(shí)

間

t

18x187

由幾何概型概率公式得P(A)=—,即這兩艘船中至少有一艘在停靠

24x2416

泊位時(shí)必須等待的概率為工，選口.

16

【防陷阱措施】求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，從

而正確選擇合理的測度，進(jìn)而利用概率公式求解.

幾何概型應(yīng)注意：

(1)求與長度有關(guān)的兒何概型的方法，是把題中所表示的兒何模型轉(zhuǎn)億為線段的長度，然后

求解；

(2)依據(jù)幾何概型的特點(diǎn)判斷基本密件應(yīng)從“等可能”的角度入手，選擇恰當(dāng)合理的觀察角

度；

（3）求與角度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)億成角度，然后求解.

例5.雙十一網(wǎng)購狂歡，快遞業(yè)務(wù)量猛增.甲、乙兩位快遞員11月12日到18日每天送件數(shù)

量的莖葉圖如圖所示.

（I）根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)快遞員的平均送件數(shù)量較多（寫出結(jié)論即可）；

（II）求甲送件數(shù)量的平均數(shù)；

（III）從乙送件數(shù)量中隨機(jī)抽取2個(gè)，求至少有一個(gè)送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的概率.

甲乙

64245

43I2526

8226359

277

【答案】（I）乙快遞員的平均送件數(shù)量較多（II）工=254（III）—

（I）由莖葉圖知甲快遞員11月12日到18FI每天送件數(shù)量相對乙來說位于莖葉圖的左.上方

偏多,

,乙快遞員的平均送件數(shù)量較多.

（II）甲送件數(shù)量的平均數(shù)：

x=1（244+246+251+253+254+262+268）=254

（III）從乙送件數(shù)量中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本事件總數(shù)九=21，

至少有一個(gè)送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的對立事件是抽取的2個(gè)送件量都不大于254,

???至少有一個(gè)送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的概率：

,120

p=1——=——,

2121

練習(xí)1.在某公司的職工食堂中，食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購進(jìn)面包，然后以5元

1個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格賣給飼料加工廠.根據(jù)以往

統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如圖所示.食堂某天購進(jìn)了90個(gè)面

包，以x（個(gè)）（其中60VXW110）表示面包的需求量，T（元）表示利潤.

0.02S

0.020

0.015

(1)根據(jù)直方圖計(jì)算需求量的中位數(shù)；

(2)估計(jì)利潤了不少于100元的概率；

【答案】⑴85個(gè);(2)0.75;(3)142.

【解析】(1)需求量的中位數(shù)三3=85(個(gè))(其它解法也給分)

2

(2)由題意，當(dāng)60WXW90時(shí)，利潤丁=5X+L(9O—X)-3x90=4X-180,

當(dāng)90<XW110時(shí),利潤丁=5x90—3x90=180,

4X-180(60<X<90)

即T={

180(90<T<110)

設(shè)利潤7不少于100元為事件A,利潤T不少于100元時(shí)，即4X-180N100,

AX>70,即70<X<110,由直方圖可知，當(dāng)70Kx<110時(shí)，

所求概率：P(A)=1-P(A)=1-0.025x(70-60)=0.75

練習(xí)2.2017年“十一”期間，高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型

汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)

查，將他們在某段高速公路的車速(bn/t)分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),

[75,80),[80,85),[85,90),后得到如圖的頻率分布直方圖.

0.010

(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；

(2)若從車速在［60,70)的車輛中任抽取2輛，求車速在［65,70)的車輛恰有輛的概率.

Q

【答案】(1)77.5,77.5.(2)P=—.

15

【解析】(D眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)'艮除數(shù)的估計(jì)值等于77.5,

設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為X,則中位數(shù)的估計(jì)值為：

0.01X5+0.02X5+0.04X5+0.06x(x-75)=0.5,解得x=77.5.

即中位數(shù)的估計(jì)值為77.5.

(2)從圖中可知，車速在［60,65)的車輛數(shù)為：g=0.01x5x40=2(輛)，

車速在［65,70)的車輛數(shù)為：色=0.02x5x40=4(輛)，

設(shè)車速在［60,65)的車輛設(shè)為。，b,車速在［65,70)的車輛設(shè)為c,d,ef，，則

所有基本事件有：(。,8)，(a,c),(〃J)，("c)，(b,d),(0,c),

(bj)，(c,d)(c,e),(cj)(d,e)，(dJ),(ej)共15種,

其中車速在［65,70)的車輛恰有一輛的事件有：(a,c),(a,d),(a,/),

Q

伍,d),(b,e),(力J)共8種.所以，車速在［65,70)的車輛恰有一輛的概率為尸=宜.

例6.某媒體為調(diào)查喜愛娛樂節(jié)目A是否與觀眾性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了30名男性和30名女

性觀眾，抽查結(jié)果用等高條形圖表示如圖：

o

?gII育歡節(jié)目X

o?s

or?

o?6II不喜歡節(jié)目X

o?5

o?二

o■

，

o??

?2

O1

O

(1)根據(jù)該等高條形圖，完成下列2x2列聯(lián)表，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析，能否在犯錯(cuò)

誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目A與觀眾性別有關(guān)。

喜歡節(jié)目A不喜歡節(jié)目A總計(jì)

男性觀眾

女性觀眾

總計(jì)60

(2)從性觀眾中按喜歡節(jié)目A與否，用分層抽樣的方法抽取5名做進(jìn)一步調(diào)查.從這5名

中任選2名，求恰有1名喜歡節(jié)目A和1名不喜歡節(jié)目4的概率.

附：

P[K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

產(chǎn)二〃(皿"J

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)列聯(lián)表見解+析，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目A

2

與觀眾性別有關(guān)；(2)y.

(1)由題意得2x2列聯(lián)表如表：

喜歡節(jié)目A不喜歡節(jié)目4總計(jì)

男性觀眾24630

女性觀眾151530

總計(jì)392160

假設(shè)“。：喜歡娛樂節(jié)目A與觀眾性別無關(guān),

60(24x15—15x6)2540

則A：z的觀測值女=二---------L=—?5.934>3.841

39x21x30x3091

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目A與觀眾性別有關(guān).

(2)利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中喜歡娛樂節(jié)目4的人數(shù)為

24乂9=4,不喜歡節(jié)目A的人數(shù)為6x』=l.

3030

被抽取的喜歡娛樂節(jié)目A的4名分別記為a,b,c,d；不喜歡節(jié)目A的1名記為B.

則從5名中任選2人的所有可能的結(jié)果為：{a,。},{a,c},{a,d},{5耳，{九c},

他力，他周,{c,d[{b.c},{d,3}共有10種,其中恰有1名喜歡節(jié)目A和1

名不喜歡節(jié)目A的有{a,8},他8},{b,c},材,研共4種，

42

所以所抽取的觀眾中恰有1名喜歡節(jié)目A和1名不喜歡節(jié)目A的觀眾的概率是一=一.

105

練習(xí)1.假設(shè)某種設(shè)備使用的年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬元）有以下統(tǒng)計(jì)資料:

使用年限了23456

維修費(fèi)用y24567

若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求：

（1）求蘢9；（2）線性回歸方程y=H+〃；（3）估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

附：利用“最小二乘法”計(jì)算〃力的值時(shí)，可根據(jù)以下公式：

人工王切_就;人

b=^----------a=y-hx

基：一〃（無產(chǎn)

i=l

【答案】（1）x=4,y=4.8（2）y=1.2x（3）維修費(fèi)用為12萬元

AA

試題分析：（1）利用焉》的計(jì)算公式即可得出；（2）利用力的計(jì)算公式得出結(jié)果，再求°；

（3）利用第（2）問得出的同歸方程，計(jì)算x=10時(shí)的結(jié)果.

試題解析：

,、_2+34-4+5+6_2+4+5+64-7.

（1）x=----------------=44,y=-----------------=4.8o

55

（2）

2Xy1=2x2+3x44-4x5+5x64-6x7=108,呻=5x4x4.8=96>

i-l

屆、…/=繇

2>/=22+32+42+52+62=90542

i-l

之=》一短=4.8-12x4=0,所以，線性回歸方程為y=1.2%.

（3）當(dāng)x=10時(shí)，y-12,所以該設(shè)備使用10年，維修費(fèi)用為12萬元.

練習(xí)2..在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威脅、為了

考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下聯(lián)表：

感染未感染總計(jì)

服用104050

未服用203050

總計(jì)3070100

參考一公式：/、=（.+以n二（ad州-bc/\0）僅+〃）

P[K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參照附表，在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過__________（填百分比）的前提下，可認(rèn)為“該種疫

苗由預(yù)防埃博拉病毒感染的效果”.

【答案】5%

、100x（10x30-20x40）

由題意可得，k2=------------------4.762>3,841,參照附表，可得：在犯錯(cuò)

50x50x30x70

誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“小動物是否被感染與有沒有服用疫苗有關(guān)”，故答

案為5%.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：（1）

n^ad-bcy

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式K?計(jì)算K?

(a+b)(a+d)(〃+c)(b+d)

的值；（3）查表比較K?與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.（注意：在實(shí)際問題中，獨(dú)立

性檢驗(yàn)的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯(cuò)誤.）

【防陷阱措施】1.頻率分布直方圖的有關(guān)特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn)；中

位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值;平均數(shù)等于各個(gè)小矩形的面積乘以對應(yīng)的矩

形的底邊中點(diǎn)的和等知識.把統(tǒng)計(jì)和概率結(jié)合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應(yīng)引起

重視.

2.求解回歸方程問題的三個(gè)易誤點(diǎn)：

①易混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，兩者的區(qū)別是函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是

一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴

隨關(guān)系.

②回歸分析中易誤認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實(shí)質(zhì)上回歸直線必過GJ）點(diǎn)，可能所

有的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)都不在直線上.

③利用回歸方程分析問題時(shí)，所得的數(shù)據(jù)易誤認(rèn)為準(zhǔn)確值，而實(shí)質(zhì)上是預(yù)測值（期望值）.

類型7.兩點(diǎn)分布

1,正面向上/、

例7.拋擲一枚硬幣，記X={心?，則七（戈）=（）

-L反面向上、）

甌回［包

2

【答案】因

E（X）=lxl+（-l）x-=O,a@

練習(xí)1.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的0倍，用隨機(jī)變量因描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則因的

值可以是_______.

【答案】篁

這里“成功率是失敗率的0倍”是干擾條件，對1次試驗(yàn)的成功次數(shù)沒有影響，故因可能

取值有兩種，即位1

練習(xí)2.籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中的。分.已知某運(yùn)動員罰球命中率為0.7,求

他一次罰球得分的分布列及均值.

【答案】

001

0.30.7

E（X）=0x0.3+lx0.7=0.7

類型8超幾何分布

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X1???Xj…

Xx2

pPlP2???Pi???Pn

則稱

E(X)"P[+X2p2+…+%化+…+M

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

若y=〃x+〃，其中。力為常數(shù)，則y也是隨機(jī)變量，因?yàn)?/p>

尸(y=%+b)=P(X=%),i=L2「.,〃

所以，y的分布列為

……

Yaxx+bax2+baxi+b"“+b

……

PPiPiPiPn

于是

E(Y)=(叫+加巧+(ax2+力科+…+a5+b)p：+…+a(x“+b)pa

=。(玉Pl++???+XiPi+…+ZP〃)+b(P[+必+…+Pi+…+%)

=aE(X)+h

方差DX=￡a_Exyp「

i=l

方差刻畫了離散型隨機(jī)變量與均值的平均偏離程度.

離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：(1)>0(/=1,2,3,......〃)；(2)￡々=1.

i=l

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則

P(X=k)=M?*#=0」,2,…八

CN

其中相=min{M,〃},且"N,M￡N、N,M,nwN”,如果隨機(jī)變量具有:

X01…m

廠1廠〃一1

^的?"w?

P???

則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

例8.一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤，在不透明n袋中裝入除顏色外無差別的2個(gè)白球和3個(gè)

紅球.游客向攤主付2元進(jìn)行1次游戲.游戲規(guī)則為：游客從口袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，若摸

出的小球同色，則游客獲得3元獎勵(lì)；若異色則游客獲得1元獎勵(lì).則攤主從每次游戲中獲

得的利潤（單位：元）的期望值是（）

【答案

C；+C；「2

游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為,所以攤主從每次游戲中獲得的利潤分布

Cl5

列為,

X-11

23

p

55

23

因此EX=—lxW+lx'=0.2

55

所以選回

練習(xí)1.某人喜歡玩有三個(gè)關(guān)卡的通關(guān)游戲，根據(jù)他的游戲經(jīng)驗(yàn)，每次開啟一個(gè)新的游戲，

這三個(gè)關(guān)卡他能夠通關(guān)的概率分別為2（這個(gè)游戲的游戲規(guī)則是：如果玩者沒有通過

234

上一個(gè)關(guān)卡，他照樣可以玩下一個(gè)關(guān)卡，但玩該游戲的得分會有影響），則此人在開啟一個(gè)

這種新的游戲時(shí)，他能夠通過兩個(gè)關(guān)卡的概率為_________,設(shè)X表示他能夠通過此游戲

的關(guān)卡的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為_________.

113

【答案】--.

412

隨機(jī)變量X的所有可能取值為I速1

又P（X=2）=（l—g11If11I

X—X—+—X——I——x—x

342134234

\_

P（X=O）=II-1x

344

P（X=1）=

1111

P（X=3）=—x—x—=——

23424

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

1111

P

424424

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望儀X）=Ox%x導(dǎo)2亭3$*

練習(xí)2.一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有1件次品.月戶先對產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)

抽檢以決定是否接受.抽檢規(guī)則如下：至多抽檢3次，每次抽檢?件產(chǎn)品（抽檢后不放回）,

只要檢驗(yàn)到次品就停止繼續(xù)抽檢，并拒收這箱產(chǎn)品；若3次都沒有檢驗(yàn)到次品，則接受這箱

產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是一

【答案】—

10

根據(jù)題意用戶抽檢次數(shù)的可能取值為|1,2,太那么可知

Q

尸(>1)磊尸(3)=4['「（『）=篇=2,故根據(jù)期望公式可知

10

j1c1