微積分基本定 理

微積分基本定理一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系

為了討論質(zhì)點(diǎn)在變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)間的聯(lián)系，有必要沿質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向建立坐標(biāo)軸.設(shè)時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置st，速度vtvt≥0.已知質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔T1,T2內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程可以用速度函數(shù)vt在T1,T2上的定積分來(lái)表示；另一方面，這段路程又可通過(guò)位置函數(shù)st在區(qū)間T1,T2上的增量

因?yàn)閟′t=vt，所以上式表示，速度函數(shù)vt在區(qū)間T1,T2上的定積分等于vt的原函數(shù)st在區(qū)間T1,T2上的增量.上述從變速直線運(yùn)動(dòng)這個(gè)特殊問(wèn)題中得出來(lái)的關(guān)系，在一定條件下具有普遍性.請(qǐng)看下面的分析.一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，x是［a,b］上的一點(diǎn)，則由（5-1）所定義的函數(shù)稱為積分上限的函數(shù)（或變上限的函數(shù)）.式（5-1）中積分變量和積分上限有時(shí)都用x表示，但它們的含義并不相同，為了區(qū)別它們，常將積分變量改用t來(lái)表示，即Φ(x)的幾何意義是：右側(cè)直線可移動(dòng)的曲邊梯形的面積.如圖5-7所示，曲邊梯形的面積Φ(x)隨x的位置的變動(dòng)而改變，當(dāng)x給定后，面積Φ(x)就隨之確定.圖5-7二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在［a,b］上可導(dǎo)，且（5-2）證明設(shè)x∈(a,b)，x獲得增量Δx，其絕對(duì)值足夠的小，使得x+Δx∈（a,b），則有其中ξ在x與x+Δx之間.二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)其中ξ在x與x+Δx之間.又函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，而Δx→0時(shí)，ξ→x,所以若x為區(qū)間［a,b］的端點(diǎn),則只需將上面證明中的x換成a或b,再分別限制Δx>0或Δx<0,即能證明Φ′+(a)=f(a),Φ′-(b)=f(b).綜上所述,即有(a≤x≤b).這個(gè)定理指出了一個(gè)重要結(jié)論：連續(xù)函數(shù)f(x)取變上限x的定積分然后求導(dǎo)，其結(jié)果還原為f(x)本身.二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【例1】【例2】二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【例3】二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),且u(x),v(x)皆可導(dǎo),證明【例4】二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓-萊布尼茨公式定理2

若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則函數(shù)

就是f(x)在［a,b］上的一個(gè)原函數(shù).由定理2知，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，并且可以通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分.定理3

若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的一個(gè)原函數(shù)，則（5-3）公式（5-3）稱為牛頓-萊布尼茨公式.三、牛頓-萊布尼茨公式

證明已知函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，又根據(jù)定理2知，也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，所以F(x)－Φ(x)=C，x∈［a,b］，在上式中令x=a，得F(a)－Φ(a)=C，而所以F(a)=C，故在上式中再令x=b，即得公式（5-3）.該公式也常記為三、牛頓-萊布尼茨公式當(dāng)a>b時(shí)，牛頓-菜布尼茨公式仍成立.注意三、牛頓-萊布尼茨公式由于f(x)的原函數(shù)F(x)一般可通過(guò)求不定積分求得，因此，牛頓-萊布尼茨公式巧妙地把定積分的計(jì)算問(wèn)題與不定積分聯(lián)系起來(lái)，轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間［a,b］上的增量問(wèn)題.定理3通常稱為微積分基本定理，牛頓