向量內(nèi)積與向量組的正交化

向量內(nèi)積與向量組的正交化向量內(nèi)積與向量組的正交化定義3-15對Rn中的兩個(gè)向量α=a1,a2,…,anT和β=b1,b2,…,bnT，稱實(shí)數(shù)a1b1+a2b2+…+anbn為向量α和β的內(nèi)積，記為α·β或α,β.即α·β=a1b1+a2b2+…+anbn利用矩陣的運(yùn)算，向量的內(nèi)積也可表示成α·β=αT·β=βT·α.容易驗(yàn)證，內(nèi)積具有如下性質(zhì)：（1）α,β=β,α.（2）kα,β=kα,β.（3）α+β,γ=α,γ+β,γ.（4）α,α≥0，且α,α=0的充要條件是α=0.其中α，β，γ是Rn中的任意向量，k為任意實(shí)數(shù).已知α1=1,2,－1T,α2=0,－2,－1T,求:（1）α1,α2.（2）3α1+2α2,α1－α2.解（1）α1,α2=1×0+2×－2+－1×－1=－3（2）3α1+2α2,α1－α2=3α1,α1－α2+2α2,α1－α2=3α1,α1－3α1,α2+2α2,α1－2α2,α2=18+9－6－10=11有了內(nèi)積的概念就可以定義向量長度的概念了.【例3-21】定義3-16對Rn中的向量α=a1,a2,…,anT，稱實(shí)數(shù)α,α為向量α的長度或模，記作‖α‖.即

‖α‖=α,α=a21+a22+…+a2n長度為1的向量稱為單位向量.由向量長度的定義，可證得以下性質(zhì)：（1）‖α‖≥0，且‖α‖=0的充要條件是α=0.（2）對任意實(shí)數(shù)k，有‖kα‖=k‖α‖.（3）‖α,β‖≤‖α‖·‖β‖.（4）‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.定義3-17

對Rn中的任意兩個(gè)向量α和β，若α,β=0，則稱向量α和β正交.顯然，零向量與任何向量正交.自然基e1,e2,…,en兩兩正交.定義3-18設(shè)α1,α2,…,αs是一組非零的n維向量，若它們兩兩正交，則稱之為正交向量組；若αii=1,2,…,s還是單位向量，則稱α1,α2,…,αs為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.定理3-10若n維向量組α1,α2,…,αs是一組正交向量組，則α1,α2,…,αs線性無關(guān).證明

設(shè)存在一組數(shù)k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0用αii=1,2,…,s與上式兩邊做內(nèi)積，得k1α1+k2α2+…+ksαs,αi=0,αi即k1α1,αi+…+kiαi,αi+…+ksαs,αi=0由于αi與α1,…，αi－1,αi+1,…,αs均正交，即αi,αj=0,

j=1,…i－1,i+1,…s.所以有kiαi,αi=0，再由αi≠0，得ki=0,

i=1,2,…,s.所以，α1,α2,…,αs線性無關(guān).上述定理的逆命題不成立.即線性無關(guān)的向量組不一定是正交向量組.但可以通過線性組合的方式將一個(gè)線性無關(guān)的向量組改造成一個(gè)與之等價(jià)的正交向量組.將一個(gè)線性無關(guān)的向量組正交化的方法很多，此處不加證明地給出一種方法：施密特(Schmidt)正交化法.具體操作步驟如下：設(shè)向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān).取

β1=α1已知向量組α1=1,1,1,1T,α2=3,3,－1,－1T,α3=－2,0,6,8T線性無關(guān)，試將其正交化.解令β1=α1【例3-22】則β1,β2,β3兩兩正交.與正交向量組密切相關(guān)的是正交矩陣，下面介紹有關(guān)的知識.定義3-19如果n階方陣Q滿足QTQ=QQT=E

那么稱Q為正交矩陣.正交矩陣具有下列性質(zhì)：定理3-11若Q是正交矩陣，則（1）Q=±1.（2）Q－1=QT也是正交矩陣.證明

（1）因QTQ=E=1，所以Q2=1，故Q=±1.（2）因(Q－1)

T=(QT)T=Q=(Q－1)

－1，所以Q－1也